RI_OCR[4]
.pdfТеперь |
ясно, что |
rang А = 2, |
гапg В = 3. |
Согласно |
теореме Кронекера - |
Капелли, из |
того, что |
rang А =1= |
|
=1= rang В, |
следует несовместность исходной системы. .... |
|||
3. Решить однородную систему линейных алгебраиче |
||||
ских уравнений |
|
|
|
|
|
2xI - 4Х2 + 5хз = |
О,} |
|
|
|
XI + 2Х2 - 3Хз = |
О, |
|
|
|
3xI - |
Х2 + 2хз = |
о. |
|
~ Определитель системы
2 -4 5
дз= 1 2 -3 = II =1=0,
3 -1 2
поэтому система имеет единственное нулевое решение:
XI = Х2 = Хз = о.....
4. Решить однородную систему линейных алгебраиче
ских уравнений
3xI + 4Х2 |
- |
Хз = |
О,} |
||
XI - 3Х2 |
+ 5хз = О, |
||||
4xI |
+ |
Х2+4хз=0. |
|||
~ Так как |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
-1 |
|
|
|
|
|||
дз= |
1 |
-3 |
5 |
=0, |
|
|
4 |
|
1 |
4 |
|
то система имеет бесчисленное множество решений. По
скольkу rang А = 2, n = 3, возьмем любые два уравнения
системы (например, первое и второе) и найдем ее решение.
Имеем:
3xI |
+4Х2хз=О,} |
XI |
- 3Х2 + 5хз = о. |
Так как определитель из коэффициентов при неизвест ных XI и Х2 не равен нулю, то в качестве базисных неизвестных возьмем XI и Х2 (хотя можно брать и другие пары неизвестных) и переместим члены с Хз в правые части
уравнений:
3XI + 4Х2 = Хз, |
} |
XI - 3Х2 = -5хз. |
|
51
Реш аем последнюю систему по формулам Крамера (I.} 7) :
Хl = ~~l)/ ~2, Х2 = ~~2)/ ~2,
где
~2=1 ~ _~ 1= - 9 - 4= -13;
~~l)=1-5:: _~ 1= -3хз+2Охз= 17хз;
ХЗ/ = |
-16хз. |
|
-5хз |
|
|
Отсюда находим, что Хl = |
- 17Хз/13, Х2 = |
16хз/13. По |
лагая Хз = 13k, где k - |
произвольный |
коэффициент |
пропорциональности, получаем решение исходной си
стемы: Хl = -17k, Х2 = 16k, Хз = 13k. ....
1.6.ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 1( гл. 1
1.Доказать, что
Хl ХI
Х2 X~ = (Х2 - Xl) (Хз - Xl) (Хз - Х2).
Хз Х5
2. Вычислить определитель n-го порядка:
а) 1 |
а |
О |
О |
О |
1 |
l+a |
а |
О |
|
О |
||
|
О |
1 |
I+a |
О |
|
О |
|
|
О |
О |
|
О |
I+a а |
||
|
О |
О |
|
О |
1 |
|
l+a |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
б) |
х+1 |
|
|
||||
|
-1 |
Х |
О |
О |
О |
|
|
|
|
О |
-1 |
Х |
О |
О |
|
|
|
О |
О |
О |
Х |
О |
|
|
|
О |
О |
О |
-1 |
Х |
|
52
в) |
|
а+1 х х |
х х |
|
|
|
г) |
|
х а а |
а |
|
||||||
|
|
1 |
а |
х |
х |
х |
|
|
|
|
|
Ь |
х |
О |
О |
|
|
|
|
|
О |
а |
х |
х |
|
|
|
|
|
Ь |
О |
х |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
........ |
|
|
|||
|
|
|
о |
о |
а |
х |
|
|
|
|
|
Ь |
О |
О ... |
х |
|
|
|
|
1 |
2 О |
О О |
|
|
О |
|
е) |
|
|
1 2 3 1 5 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
д) |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3 |
8 О |
О О |
|
|
О |
|
|
|
|
О 1 О 5 1 |
|
||||
|
|
-2 |
3 2 -1 О |
|
|
О |
|
|
|
|
2 1 2 3 2 • |
||||||
|
|
7 |
2 3 |
2 О |
|
|
О |
|
|
|
|
О 3 О 1 3 |
|||||
|
|
5 |
-1 3 5 7 -5 |
|
|
|
3 2 1 3 4 |
|
|||||||||
|
|
2 |
3 |
7 |
2 2 |
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ответ: а) |
1; б) (xn+I-I)(х-I); в) |
an+(a_X)n-l; |
|||||||||||||||
г) ~ - (n - |
l)ab~-2; д) 42; |
е) 168.) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3. Решить данную систему уравнении при всех возмож |
|||||||||||||||||
ных значениях параметра t: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2х- У+ 3г= -7,} |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
х+2у- 6z=t, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
tx+5y-15z=8. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(Ответ; |
при |
t =1= |
-1 |
и t =1= 5 система |
несовместца; |
если |
|||||||||||
t = 5, то х = |
-9/5, у =(15a |
+ |
17)/5, z = а; |
если t = -1, |
|||||||||||||
то х = |
-3, |
у = |
3а |
+ 1, z = |
а, |
где |
|
а - |
произвольное |
число.)
4. При каких значениях л однородная система урав-
нении .
-лхl + Х2 + ... + |
ХN _ О,} |
xl -ЛХ2 + ... + |
ХN -о, |
.............. |
|
XI + Х2+ ••• - |
Лхn=О |
имеет ненулевые решения? (Ответ: л =n - 1, л = - 1.)
5_ Показать, что если одна из квадратных матриц n-го порядка А и В - особенная, то их произведение
АВ - также особенная матрица.
6. Наити
[~ 2
1 -2
53
7. Решить систему матричных уравнений
х+ У=[Ь ~J.}
2Х+ 3 У= [Ь |
~J. |
(ответ: Х~p ;]. y~[-~ |
=i].) |
8.Установить число линейно независимых уравнений
вданной системе и найти ее общее решение:
|
|
|
|
Хl + Х2 - |
|
Хз - |
2Х4 - |
2xs = О, } |
|
|
|
||||||||
|
|
|
2Хl +3Х2 -2хз - |
5Х4 - |
4xs = О, |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
Хl - |
Х2- |
|
Хз |
|
|
-2xs =0, |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Хl - |
2Х2 - |
|
Хз + |
|
Х4 - |
2xs = о. |
|
|
|
||||||
(Ответ: Хl = |
ХЗ + Х4 + 2xs, |
Х2 = |
Х4.) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
9. Привести к каноническому виду уравнение линии |
|||||||||||||||||||
r + у2 + |
3ХУ |
+ Х |
+ 4у = |
|
О |
и |
|
указать |
соответствующее |
||||||||||
преобразование системы координат. ( Ответ: |
52 |
||||||||||||||||||
- 2" х' + |
|||||||||||||||||||
+ .!.- у,2 = |
1, |
Х = _ 2 + х' + у' |
|
, у = |
1 + х' - у' .) |
||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. j2 - F2 |
|
|
|
|||||||
10. Убедиться, что линия, |
|
определяемая |
уравнением |
||||||||||||||||
9х2 - 6ху |
+ у2 - Х - 2у - |
14 = |
|
О, |
является |
параболой. |
|||||||||||||
11. Доказать справедливость равенства |
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
sin (а. - 1\) sin (1\- у) sin (у - а.) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
tg а |
tg ~ |
tg у |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
tg2 а tg2 ~ |
tg2 У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
12. Решить уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
-4 |
|
|
||
|
|
|
Х |
= О; б) |
|
|
|
Х |
|
||||||||||
а) |
4 |
|
5 -1 |
|
|
|
2 |
-1 |
3 |
|
=0. |
||||||||
|
2 |
-1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
Х+ 10 |
1 |
1 |
|
|
||||
(Ответ: а) = |
-3; б) Хl = |
-10, Х2=2.) |
|
|
|
||||||||||||||
13. Решить неравенства: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
3 |
-2 |
1 |
|
< 1; б) |
|
2 х+2 |
-1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
а) |
|
1 |
х -2 |
|
|
1 |
1 |
-2 |
>0. |
||||||||||
|
-1 |
2 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
-3 |
Х |
|
||||
(Ответ: а) Х> 3,5; б) |
|
-6<х< -4.) |
|
|
|
|
54
14. Доказать, что если система уравнений
а1Х + Ь1У + C1Z + d 1 = О,} |
|||||
а2Х + Ь2У + C2Z + d 2 = О, |
|||||
азх + ЬзУ + СзZ + dз = О, |
|||||
а4Х + Ь4У |
+ C4Z |
+ d 4 = О |
|||
совместна, то |
|
|
|
|
|
|
а1 |
Ь1 |
С1 |
d 1 |
|
|
|
||||
|
а2 |
Ь2 |
С2 |
d 2 |
=0. |
|
аз |
ЬЗ |
СЗ |
dз |
|
|
а4 |
Ь4 |
С4 |
d 4 |
|
15. Исследовать данную систему уравнений и найти ее
общее решение в зависимости от значения параметра л:
5Х1 - |
3Х2 + |
2хз + |
4Х4 = 3, } |
4Х1 - |
2Х2 + |
3Хз + |
7Х4 = 1, |
3ХI-6Х2- Хз5Х4=9, 7ХI-3Х2+7хз+ 17Х4=Л.
(Ответ: при л =1= О система несовместна; при л = О система совместна и ее общее решение: Х1 = (-5хз - 13Х4-
-3)/2, Х2 = (-7хз - 19Х4 - 7)/2 . )
16.Указать, при каких л данная система уравнений
имеет решения или несовместна:
ЛХ1+ |
Х2+ |
Хз+ |
X4=1'} |
|
Х1 + ЛХ2 + |
Хз + Х4 = 1, |
|||
Х1 + |
Х2 + |
лхз + |
Х4 = |
1, |
Х1 + |
Х2 + |
Хз + ЛХ4 = |
1. |
(Ответ: если л = -3, то система несовместна; если л =1= 1,
л=l=-3, то Х1=Х2=ХЗ=Х4=1/(л+3); если л=l, то
4
решения определяются одним уравнением ~ Xj = 1.) i=1
17. Найти решения системы при всех значениях л:
ЛХ1 |
+ |
Х2+ |
|
Хз=О,} |
|
|||
Х1 |
+ ЛХ2 |
+ |
|
Хз = О, |
|
|||
Х1 |
+ |
Х2 |
+ |
лхз = О. |
|
|||
(Ответ: если (л + 2) (л - |
1) =1= О, |
то |
Х1 = |
Х2 = Хз = О; если |
||||
л = - 2, то Х1 = Х2 = |
Хз; |
если |
л = |
1, |
то |
решения опреде |
||
ляются одним уравнением Х1 + |
Х2 + |
Хз = О.) |
18. Найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы сумма двух решений системы линейных урав-
55
нений также была ее решением. (Ответ: однородность
системы.)
19. Найти необходимые и достаточные условия для то
го, чтобы произведение решения системы линейных уравне
ний и числа л =f=. 1 также было ее решением. (Ответ: одно родность системы.)
20. При каком условии некоторая линейная комбинация любых решений данной неоднородной системы линейных уравнений будет решением этой системы? (Ответ: сумма коэффициентов линейной комбинации равна 1.)
2.ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
2.1.BEI(TOPbI. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕI(ТОРАМИ.
ПРОЕI(ЦИЯ BEI(TOPA НА ОСЬ. I(ООРДИНАТЫ BEI(TOPA
Вектором называется напраВJIенный отрезок. Если начало вектора находится в точке А, а жонец - в точке В, то вектор обозначается
-+
АВ. Если же начало н конец вектора не указываются, то его обозначают строчной буквой латинского алфавнта а, Ь, с, ... На рисунке направ
ленне вектора изображается стрелкой (рис. 2.1).
А- |
|
|
|
- ) |
8 |
|||
|
iff |
|
|
в |
|
|||
|
|
с |
~ |
П~~А ~ ~ |
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
!I< |
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Рис. 2.1 |
Р н с. 2.2 |
-+
Через ВА обозначают вектор, напраВJIенный противоположно век-
-+
тору АВ. Вектор, у которого начало н конец совпадают, называется нулевым и обозначается о. Его направление ЯВJIяется неопределенным. Другнми словамн, такому вектору можно п'рнписать любое напраВJIение. Длuной или JttOдулем вектора называется расстоянне между его началом
н концом. Записн 'АВI (или АВ) н 'аl (нли а) обозначают модули векто-
-+-
ров АВ и а соответственно.
Векторы называются коллuнеаРНblJttU, если они параллельны одной
прямой, и комnланаРНblJttu, еслн они параллельны одной плоскости. Два вектора называются paBHblJttU, если они коллннеарны, одина
ково направлены и |
равны |
по длнне. На рнс. 2.2 изображены пары |
--+- |
~ |
--+--+ |
равных векторов АВ |
и CD, |
а н Ь: АВ = CD, а= Ь. Из определення |
paljeHCTBa векторов следует, что векторы можно переноснть параллельно
самим себе, не нарушая НХ равенства. Такие векторы называются свободнымu.
К линейным операцням над векторами относятся: умножение век
тора на число н сложение векторов.
Проuэведенuем вектора а u чuсла а называется вектор, обозна чаемый аа (нли аа), модуль которого равен lallal, а напраВJIение
совпадает с напраВJIеннем вектора а, если а> о, н протнвоnoложно
ему, если а, < о.
57
СУММОй векторов |
а; (i = 1,11) называется вектор. |
обозначаемый |
n |
|
|
аl + а2 +...+ а" = ~ |
а;. начало которого находится в |
начале первого |
i=1 |
|
|
вектора al, а конец - |
в конце последнего вектора а" ломаной лннии, |
|
составленной нз последовательностн слагаемых векторов |
(рнс. 2.3). Это |
ь
Рис. 2.3 Рис. 2.4
правнло сложения называется правилом замыкания ломаной. В случае
суммы двух векторов оно равноснльно правилу nараллелограмма
(рнс. 2.4).
Прямая 1 с заданным на ней направлением, прнннмаемым за поло
жнтельное, называется осью 1. |
ось 1 называется чнсло, обозначаемое |
|
Проекцией вектора а на |
||
npr а и равное lal |
cos ер, где ер |
(О~ер~л) - угол между положительным |
направлением оси |
1 н направлением вектора а, т. е. по определению |
|
npr а = 1а I cos ер. |
Геометрически проекцию вектора а можно охаракте |
рнзовать длиной отрезка MN, взятой со знаком «+», если u ~ ер ~ л/2,
и со знаком «- », |
если л/2 < ер ~ л (рнс. 2.5). Прн ер = л/2 отрезок |
MN преR[)ащается |
в точку н npr а = О. |
Рис. 2.5
Координатами вектора а называются его проекцин на осн коордннат
Ох, аУ, Ог. Они обозначаются соответственно буквами х, У, г. Запнсь а = (х, У, г) означает, что вектор а нмеет координаты х, У, г.
Для равенства векторов необходнмо н достаточно, чтобы их соот
ветствующие коордннаты былн равны. Если M1(XI, YI, ZI) н М2(Х2, У2, г2),
то ММ2= (Х2 - XI, У2 - YI, г2- ZI).
ЛинейЖJй комбинацией векторов а; называется вектор а, опреде n
ляемый по формуле а = ~ i..;a;, где Лi - некоторые числа. Если век i=1
торы а; определиются коордннатамн Xi, Yi, Zi, то для коордннат вектора а
имеем: а= ( ~r: ЛiХi, |
~n ЛiУi, |
~n |
i..;Zi)' |
i=1 |
i=1 |
i=1 |
|
58
Линейные операции над векторами удовлетворяют свойствам, по
форме аналогичным свойствам умножения н сложения чнсел. На
пример,
а + Ь = Ь + а, (а + lI)a = аа + lIa, а(а + Ь) = аа + аЬ,
a+(-I)а=а-а=О, la=a, Оа=О
н т. д.
Если для системы n векторов а; равенство
(2.1)
верно только в случае, когда Л; = О, то эта система иазывается лuxейно независимоЙ. Если же равенство (2.1) выполняется дЛЯ Л;, хотя бы
одно ИЗ которых отлично от нуля, то система векторов а; называется
линейно зависимой. Например, любые коллинеарные векторы, три ком
планарных вектора, четыре и более векторов в трехмерном пространстве
всегда линейно завнснмы.
Три упорядоченных лннейно незавнснмых вектора el, е2, ез в про
странстве называются базисом. Упорядоченная тройка некомпланарных lIекторов всегда образует базис. Любой вектор а в пространстве
можно разложить по базнсу el, е2, ез, т. е. представить а в виде ли-
,нейной комбннацин базисных векторов: а = хеl +уе2 + zез, где х, у, z
являются координатами вектора а в базнсе el, е2, ез. Базис называ
ется ортонормированным, еслн его векторы взанмно перпендикулярны
и имеют еднннчную длину. Обозначают такой базнс i, j, k.
Пример 1. Даны векторы а, Ь, с (рис. 2.6, а). Изобразнть на рисунке
их линейную комбннацию -2а+ -}ь+4с.
~ Выбираем на ПЛОСКОСТН пронзвольную точку О Н откладываем от
нее вектор -2а (рис. 2.6, б). Затем от конца вектора -2а откладываем
(j
а
ь
Рис. 2.6
вектор 31 Ь и, наконец, строим вектор 4с, выходящий из конца вектора
~ Ь. Искомая линейная комбинация изображается вектором, замы
кающим полученную ломаную, начало которого находится в точке О...
Пример 2. Векторы заданы в ортонормнроваином базисе i, j, k
координатами: а=(2, -1,8), el=(I, 2, 3), e2=(I, -1, -2), ез=
= (1, - 6, О). Убедиться, что тройка el, е2, ез образует базис, и найти коор
динаты вектора а в этом базисе.
59
~ Если определитель
Л=1: |
2 |
31 |
-6 |
О |
|
|
-1 |
- 2, |
составленный из коордннат векторов еl, е2, ез, не равен О, то векторы еl,
е2, ез линейно независнмы и, следовательно, образуют базис. Убежда |
|||||||
емся, |
что |
Л = - 6 - 4 + 3 - 12 = - 19 * О. Такнм образом, тройка |
|||||
еl, |
е2, |
ез - |
базис. |
|
|
|
|
|
Обозначим координаты вектора а в базисе еl, е2, ез через х, у, г. |
||||||
Тогда |
а = (х, у, г) = хеl + уе2 + zез. Так как по условию а = 21- j + |
||||||
+8k, el=i+2j+3k, e2=i-j-2k, ез=i-6j, то из равенства |
а= |
||||||
= |
хеl + |
уе2 + zез следует, что 21 - j + |
8k = xi + 2xj + 3xk + |
уl - |
yj - |
||
- |
2yk + |
zl- 6zj = (х + у + г)1 + (2х - |
у - 6г)] + (3х -2y)k. |
Как |
вид |
но, вектор в левой части полученного равенства равен вектору в правой
его части, а это возможно только в случае равенства их соответствующих
координат. Отсюд.а получаем систему для нахождения нензвестных
х, у, г:
х+ у+ |
г=2, } |
2х- у-6г= -1, |
|
3х-2у |
=8. |
Ее решенне: х=2. у= -1, г= 1. |
|
Итак, а= 2еl -е2 +ез =(2, - |
1, 1)... |
А3-2.1
1. По данным векторам а и Ь построить следующие их
линейные комбинации: а) 2а + Ь; б) а - |
3Ь; в) -} а+ -} Ь; |
||||
г) -3а- т1 Ь. |
|
--+ |
|
|
|
~ |
= с, |
= а. |
~ |
|
|
2. Векторы АВ |
ВС |
СА = |
Ь служат сторо- |
нами треугольника АВс. Выразить через а, Ь, с векторы
~~ ---+-
АМ. BN. СР, совпадающие с медианами |
треугольника |
|||||
|
~ |
1 |
~ |
1 |
|
~ |
АВс. ( Ответ: АМ = та+с или АМ |
= t(C-Ь)' BN = |
|||||
1 |
~ |
1 |
---+- |
|
1 |
---+- |
=а+тЬ или BN=t(a-с), ср=ь+тс или СР=
= т(ь-а)-)
3. В треугольной пирамиде SABC известны векторы
-SA = а, --SB+ = Ь, --SC = с. Найти вектор --SO, если точка-- О
является центром масс треугольника АВС. ( Ответ: so =
= ~(а+Ь+С)-)
60