RI_OCR[4]

-5ВС,

Ь=с=ВА,

d=AC,

'=ВС,

а=2,

13=5.

(Ответ: а) -У1885; б)

-434; г)

(-817,

-с

1917)·)

2.25. А( -5, 4, 3), В(4, 5, 2), С(2, 7,

-4),

~

а =

3ВС +

~

~

~

ВС, а =

3,13 =

4. (Ответ:

+ 2АВ, Ь =

с = СА, d = АВ, 1=

а) -У6О8;

б)

-248; г)

(2217,

4117, -417)·)

~

2.26.

А(6, 4, 5), В(-7, 1,8),

С(2, -2,

-7), а=5СВ-

(Ответ:

а) -У11899;

б) 697; г) (-9/5, 11/5,34/5).)

~

2.27. А(6, 5, -4), В(-5, -2,2), С(3, 3, 2), а=6АВ-

~

~

~

вет: а)

-{l3i6; б)

-40; г) (2217,

1217,

3117).)

3. доказать, что векторы а, Ь, с образуют базис, и

найти координаТbl вектора d в этом базисе.

3.1. а=(5, 4, 1), Ь=(-3, 5, 2), с=(2, -1,3), d=

=(7, 23, 4). (Ответ: (3, 2, -1).)

3.2. а=(2, -1,4), Ь=(-3, О, -2), с=(4, 5, -3),

d=(O,

11,

-14).

(Ответ: (-1, 2, 2).)

3.3.

а= (-1,

1,2), Ь = (2, -3, -5), с = (-6, 3,

-1),

d=(28, -19, -7). (Ответ: (2, 3, -4).)

3.4.

а=(I, 3,

4), Ь=(-2, 5,

О),

с=(3,

-2,

-4),

d =

(13,

-5, -4). (Ответ: (2, -1, 3).)

3.5.

а =

(1, -

1,

1), Ь =

( - 5,

-

3,

1),

с =

(2, -

1, О),

d =

(-15,

-10, 5).

(Ответ:

(2,

3,

-1).)

3.6. а=(3, 1,2), Ь=(-7, -2,

-4),

с=(-4, 0,3),

d =

(16,

6,

15). (Ответ: (2, -2, 1).)

3.7. а=(-3, О, 1), Ь=(2,

7,

-3), с=(-4, 3,

5),

d =

(-16, 33, 13). (Ответ: (2, 3, 4).)

3.8. а=(5, 1, 2), Ь=(-2, 1, -3), с=(4, -3, 5),

d=(15,

-15,24). (Ответ: (-1,

28,4).)

3.9. а=(О, 2, -3), Ь=(4, -3, -2), с=(-5, -4, О),

d=(-19, -5, -4). (Ответ: (2,

-1,3).)

3.10. а=(3, -1,2), Ь=(-2, 3,

1), с=(4, -5, -3)'

d =

(-3, 2, -3). (Ответ: (-1, 2, 1).)

3.11. а=(5, 3,1), b=(-I,

2,

-3), с=(3, -4,2),

d =

(-9, 34,

-20). (Ответ: (2, 4, -5).)

3.12. а=(3, 1, -3), Ь=(-2, 4,1),

c=(I,

-2,5),

d =

'1, 12, -20). (Ответ: (2, 1, -3).)

3.13. а=(6, 1, -3), Ь=(-3, 2,1), c=(-I,

-3,4),

d =

(15, 6, -17). (Ответ: (1, -2, -3).)

3.14. а=(4, 2, 3), Ь=(-3,

1,

-8),

с=(2,

-4,5),

d =

(-12, 14,

-31). (Ответ:

(О,

2,

-3).)

3.15.

а =

( -

2, 1, 3), ь = (3, -

6,

2), с =

( - 5, -

3, -

1),

d=(31,

-6,22). (Ответ: (3, 4, -5).)

3.16. а=(1, 3, 6), Ь=(-3, 4,

-5), c=(I, -7,2),

d =

(-2, 17, 5). (Ответ: (12, 1, -

1).)

3.17.

а=(7,

2, 1), Ь=(5, 1,

-2),

с=(-3, 4,

5),

d =

(26, 11, 1). (Ответ: (2, 3, 1).)

3.18. а=(3, 5,4), Ь=(-2, 7,

-5),

с=(6,

-2,

1),

d =

(6, -9, 22). (Ответ: (2, -3, -

1).)

3.19.

а =

(5,

3, 2), ь = (2,

-5,

1), с = (-7,

4, -3),

d =

(36, 1, 15). (Ответ: (5, 2,

-1).)

3.20. a=(II, 1,2), Ь=(-3, 3, 4), с=(-4, -2,7),

d=(-5,

11, -15). (Ответ: (-1,2, -3).)

3.21.

а =

(9,

5, 3), ь = (-3,

2,

1),

с = (4,

-7,

4),

d=(-IO, -13,8). (Ответ: (-1, 3, 2).)

3.22. а=(7, 2, 1), Ь=(3, -5,6), с=(-4, 3, -4),

d=(-I,

18, -16). (Ответ: 2, -1,3).)

3.23. a=(I,

2, 3), Ь=(-5, 3,

-1), с=(-6, 4,

5),

d =

(-4, 11, 20). (Ответ: (3, -1, 2).)

3.24.

а =

(-2, 5, 1), Ь =

(3,

2,

-7),

с = (4,

-3,

2),

d =

(-4,

22,

-

13). (Ответ: (3, 2,

-1).)

3.25. а=(3, 1,2), Ь=(-4, 3, -1), с=(2, 3, 4), d=

= (14, 14, 20). (Ответ: (2, О, 4).)

3.26. а=(3, -1,2), Ь=(-2, 4,1), с=(4, -5, -1),

d=(-5,

11, 1). (Ответ: (-1, 5,

2).)

3.27. а =

(4,

5, 1), ь = (1,

3, 1),

с = (-3, -6,

7), d =

=(19,33, О). (Ответ: (3,4, -1).)

3.28. a=(I, -3, 1), Ь . (-2, -4,3), с=(О, -2,3),

d=(-8, -10,

13). (Ответ: (-2,3,2).)

3.29.

а=(5, 7,

-2), Ь=(-3, 1,3), c=(I,

-4,6),

d = (14,

9, -1). (Ответ: (2, -1, 1).)

3.30. a=(--I, 4, 3), Ь=(3, 2, -4), с=(--2, -7, 1),

d=(6, 20,

-3). (Ответ: (1, 1, -2).)

Решение типового варианта

1. Даны векторы а = -т + 6п

и Ь = 3т +

4п,

где

Iml=2;

Inl=5;

(т,/\ п)=2л:/3.

Найти: а)

а·Ь;

б) прь(4а-5Ь); в)

/\

cos(2b-a, 4Ь).

~ а)

Вычисляем

а· Ь =( -т +6п). (3т +4п)=

=

-3т2+

141тl Inl cos (..{,'п)+ 24п2 =

=

-3·22 +

14.2· 5( -1/2) + 24·52 = 518;

cos(i,\e) =

1:1'leel '

d· е = (7т + 2п)· (12т +

16п) =

=

84т2 + 1361т1 Inl cos(m<'n) +

321nl 2 = 456,

Idl =-V(7m + 2п)2 =

-V

=-fI56,

=

49т2+ 281 m 1 1n 1соs(п(\п)+ 4п2

lel =-V(12m +

16п)2 =

В

результате имеем:

cos(2b - /."4Ь)=

~0,5....

456/,)788736

2.

По

координатам

точек

А( -5,

1, 6),

В(I, 4, 3) и

С(6, 3, 9) найти: а) модуль вектора а =

---+

---+

4АВ + ВС; б) ска-

---+

лярное произведение векторов

а и Ь-= ВС;

в)

проекцию

---+

вектора с = Ь на вектор d = АВ; г)

координаты точки М,

делящей отрезок 1=

АВ в отношении

1: 3.

---+

(6,

3,

-3),

~

а)

Последовательно

находим

АВ =

---+

(5,

---+

~

(29,

11,

-6),

ВС =

-1, 6), ААВ

+ ВС =

14М+ВСI =,)292 + 112 +(_6)2 =,)998;

б)

Имеем а=(29,

11,

-6), Ь=(5, -1,6). Тогда

а· Ь = 29·5 + 11 (-1) + (-6)6 = 98;

в)

Так как

c·d

d =

(6,

3,

-3),

ПРdС =!dТ'

с . d =

30 -

3 -

18 =

9,

1d 1=,)36 + 9 +9 =-J54,

то

прАВвс= 9/-{54;

г)

~

=

1/3

,гм =

гА + 1..гв

.

С

ледовательно,

Имеем: ""

1

+

л.

_

- 5 + 1/3 . 1

-...:...

7

_

1 + 4 . 1/3 _

7

хм -

1 + 1/3

-

-

2'Ум -

1

+ 1/3

-

4'

_

б + 1/3 . 3

_

21

М(

-

7

/

2

, 7/4, 21/4)....

ZM -

1 +

1/3

-

4'

3.

Доказать,

что векторы а = (3, -

1, О),

Ь = (2,

3, 1),

с = ( -

1,4,3) образуют базис, и найти координаты вектора

d = (2, 3,

7) в этом базисе.

~ Вычисляем

3

-1

О

аЬс=

2

3

1

=22 =1= О.

-1

4

3

- а + 3/3

+

41' =

3,

/3

+

31' =

7.

2

2

-1

3

2

-1

d(a)=

3

3

4

= 66,

d(/3) =

-1

3

4

= -44,

7

1

3

О

7

3

2

2

2

d(y)=

3

3

3

=66,

(Ответ: а)

-

1840; б)

.)612108; в) О.)

1.4. а

. -

7i + 2k,

Ь = 2i - 6j + 4k, с = i - 3j + 2k;

(Ответ: а)

-2538;

б)

-13192; В) 12.)

1.6. а =

3i - 2j +

k,

Ь = 2j - 3k, с = - 3i + 2j - k;

(Ответ: а) -4480;

б) -V78750; В) о.)

1.8. а = 4i + 2j -

3k, Ь = 2i + k, с = - 12i - 6j + 9k;

-7k; а) а,

-4Ь, 2с; б) -2Ь,

4с; В) -3а, 6с;

г)

Ь,

с;

д) а, -2Ь,

6с. (Ответ: а)

-464; б) -V127488;

В)

504.)

1.12. а= -4i+3j-7k,

b=4i+6j-2k,

c=6i+

+9j-3k;

а) -2а, Ь, -2с;

б) 4Ь, 7с; В) 5а,

-3Ь;

г) Ь, с; д)

-2а, 4Ь, 7с. (Ответ: а)

О; б) О; В)

-240.)

1.13. а =

- 5i + 2j - 2k, Ь =

7i -

5k, с = 2i +

3j -

2k;

а) 2а, 4Ь,

-5с; б) -3Ь,

Ilc; В)

8а, -6с;

г)

а,

с;

д) 8а, -3Ь, Ilc. (Ответ: а) 4360; б) 33-V682; В) о.)

1.14. a=-4i-6j+2k,

b=2i+3j- k, c= - i+

+5j-3k;

а) 5а, 7Ь, 2с;

б)

-4Ь,

Ila; В) 3а,

-7с;

1.22.

а =

7i - 4] - 5k,

Ь =

i -

l1] + 3k,

с = 5i +

5] +

+ 3k; а)

3а,

-7Ь, 2с; б)

2Ь,

6с;

В) -4а,

-5с; г)

а, с;

д)

-4а,

2Ь, 6с.

(Ответ: а) 28728; б) -J870912;

В)

о.)

1.23.

a=4i -

6j -2k, Ь = -2i +

3] + k, с= 3i -

5] +

+7k; а)

6а,

3Ь,

8с; б)

-7Ь, 6а;

В)

-5а, 4с; г)

а,

Ь;

д)

-5а,

3Ь,

4с.

(Ответ:

а) О; б)

О;

В) -560.)

(Ответ: а) 1260;

б)

10-J 2997; В)

33.)

1.27. а = 3i -

j +

5k, Ь = 2i -

4] + 6k, с = i - 2] + 3k;

-4с. (Ответ: а) О; б) О;

В) -144

.)

1.30. а = 5i - 6] - 4k,

Ь = 4i +

8] - 7k, с = 3] - 4k;

ны пирамиды;

в) объем пирамиды ABCD.

2.1.

А(3, 4, 5), B(I, 2,

1), С( -2,

-3,6), D(3, -6,

-3);

а) ACD; б) 1=

АВ, С и D. (Ответ: а) ~б) -.J4426/2;

в)

42.)

2.2. А( -7,

-5, 6), В( -

2,

5,

-3), С(3, -2,

4),

D(I,

2,

2);

а)

BCD;

б)

1= CD,

А

и

В.

(Ответ: а)

-.J1350;.

б) -.J8937/2;

в) 77/3.)

2.3:

A(I,

3,

1), B(-I,

4,

6),

С(-2, -3, 4),

D{3, 4,

-4);

а)

ACD;

б)

1=

ВС,

А

и

D. (Ответ:

а) -{891;2;

б) з-.j2/2; в)

3.)

2.4. А(2, 4,

1), В( -3,

-2,4), С(3, 5, -2), D(4, 2,

- 3);

а) ABD; б) 1= АС, В и

D. (Ответ: а)

-.J395; б) ·-.J205/2;

в)

25/3.)

.

2.5. А( -5,

-3,

-4),

B(I,

4,

6),

С(3, 2, -2),

D(8,

-2, 4); а) ACD; б)

1=

ВС,

А

и

D. (Ответ: а) -.J6137/2;

б) -.J7289/2;

в) 304/3.)

2.6.

А(3, 4,

2), В( -2,3, -5), С(4, -3,6), D(6,

-5,3);

а) ABD; б) 1=

BD, А и С. (Ответ: а)

8-{26; б) -.J 1826/2;

в)

40.)

2.7. А( -4,

6, 3), В(3,

-5,

1), С(2,

6,

-4),

D(2, 4,

-5);

а)

ACD;

б)

1=

AD,

В

и

С.

(Ответ: а)

-.j94;

б) -.J1554/2;

в)

100/3.)

2.8. А(7, 5, 8), В( -4,

-5,3), С(2, -3,5), D(5,

1,

-4);

а) BCD; б) 1=

ВС,

А

и

D. (Ответ: а) --Y'ТI5O; б)

-Y'4IOI;

в)

202/3.)

2.9. А(3, -2,6), В(-6,

-2,3), C(I,

1,

-4),

D{4, 6,

-7);

а)

ABD;

б)

1=

BD,

А

и

С.

(Ответ: а)

-.J5040;

б) -.J212;

в)

52.)

2.10. А( -5,

-4,

-3),

В(7,

3, -1), С(6,

-2,·О),

D(3,

2,

-7);

а)

BCD; б)

1=

AD,

В

и

С.

(Ответ:

а) -.J1422/2;

б) i504; в) 44.)

2.11. А(3,

-

, -2),

В(-4,

2,

3),

C(I,

5, 7),

D(-2,

-4, 5); а)

ACD; б) 1=

BD, А

и С. (Ответ: а) ";6986/2;

б) ~ В) 202/3.)

2.12. А(7, 4,9), B(I,

-2,

-3),

С(-5,

-3, О), D(I,

-3, 4);

а) ABD;

б) 1=

АВ, С и

D. (Ответ: а) ~

б)

17; В) 50.)

2.13. А( -4, -7, -3), В( -4, -5, 7), С(2,

-3, 3),

D(3, 2, 1);

а)

BCD; б) 1=

ВС,

А

и

D. (Ответ: а) ,)276;

б)

,) 1393;

В)

148/3.)

2.14. А( -4, -5,

-3),

В(3,

1,

2),

С(5,

7,

-6), D(6,

-1, 5); а)

ACD;

б)

1=

ВС,

А

и

D. (Ответ: а)

,)7281;

б) ,)2726; В) 46.)

2.15. А(5,

2, 4), В(-3,

5,

-7),

С(I,

-5,

8), D(9,

-3, 5); а)

ABD;

б)

1=

BD, А

и

С. (Ответ: а)

2,)266;

б) ,) 1405/2; В) 286/3.)

2.16. А( -6, 4, 5),

В(5,

-7,

3),

С(4, 2,

-

8),

D(2, 8,

-3); а)

ACD;

б)

l=AD,

В

и

С.

(Ответ:

а)

2-J251;

б) 25-J38/2; В) 150.)

2.17. А(5, 3, 6), В( -3, -4,4), С(5,

-6,8), D(4, О. -3);

а) BCD; б)

1=

ВС, А и D. (Ответ: а)

,)2294;

б)

2,)406;

В)

332/3.)

2.18. А(5, -4,

4),

В( -4, -6,

5),

С(3,

2,

-7), D(6,

2,

-9);

а)

ABD;

б)

1= BD, А

и

С. (Ответ: а)

,)4140;

б) ,)405;

В) 82/3.)

2.19. А(-7,

-6,

-5),

В(5,

1, -3), С(8,

-4, О),

D(3, 4, -7); а) BCD; б) 1=

AD, В и С. (Ответ: а) -{l5вi2;

б)

,)2266/2;

В) 86/3.)

2.20. А(7,

-1,

-2),

В(I,

7,

8),

С(3,

7,

9),

D(-3,

-5, 2); а)

ACD;

б)

1=

BD, А

и

С. (Ответ: а)

,)5957;

б) -jIз6I; В)

124/3.)

2.21. А(5,

2,

7), В(7,

-6,

-9),

С( -7,

-6,

3), D(I,

-5, 2); а)

ABD; б)

1= АВ,

С

и

D. (Ответ: а)

,)3194;

б) 19-У2/2;

В)

76.)

2.22. А( -2,

-5,

-1),

В( -6,

-7, 9),

С(4,

-5, 1),

D(2, 1, 4); а) BCD; б) 1= ВС, А

и D. (Ответ: а)

.у1802;

б) -{il42/2; В) 226/3.)

2.23. А( -6,

-3,

-5),

В(5,

1,

7), С(3,

5,

-1), D(4,

-2,9); а) ACD; б)

1= ВС, А и D. (Ответ: а) .у241О1/2;

б) .у2969; В) 4/3.)

2.24. А(7, 4, 2), В( -5,3,

-9), С(I, -5,3), D(7, -9, 1);

а)

ABD; б) 1= BD, А и С. (Ответ: а) -{Ili6l; б) ";5629/2;

В)

186.)

2:25. А( -8,2,7), В(3, -5,9), С(2, 4, -6), D(4, 6, -5);

а) ACD; б) l=AD, В и С.

(Ответ: а)

.у584;

б)

";9754/2;

В)

296/3.)

D(2, -3,

2.26. А(4, 3,

1),

В(2, 7,

5), С( -4,

-2,

4),

-5); а) ACD;

б)

1= АВ,

С

и

D.

(Ответ: а)

.у1666;

б) "/9746/2; В) 80/3.)

2.27. А( -9,

-7, 4), В( -4,

3,

-1), С(5,

-4, 2),

D(3, 4, 4); а) BCD; б) 1= CD, А

и В. (Ответ: а)

.у1346;

б) "/13250/2; В)

120.)

2.28. А(3, 5,

3), В( -3,

2,

8),

С( -3, -2, 6),

D(7, 8,

-2); а) ACD;

б)

1= BD,

А

и

С. (Ответ: а)

.у785/2;

б) -[58/2; В) 26/3.)

2.29. А(4, 2,3), В(-5, -4,2), С(5, 7, -4), D(6, 4, -7);

а) ABD; б) 1=

AD, В и С. (Ответ: а) .у3086; б) ~

В)

178/3.)

2.30. А( -4,

-2,

-3),

В(2,

5,

7),

С(6, 3, -1), D(6,

-4, 1); а) ACD; б)

1= ВС, А и

D.

(Ответ: а)

.у1469;

3.1. F=(5, -3,9), А(3,

4, -6), В(2, 6, 5). (Ответ:

а) 88; б) ";6746.)

3.2. F =

(-3, 1, -9), А (6,

-3,5), В(9, 5, -7). (Ответ:

а) 107; б)

.у8298.)