Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилёва

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

RIII_OCR[6]

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.02.2016

Размер:

6.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2921 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Пример 6. Показать, что дифференциальиое выражение

-':"dy + (--1-. - ~ +lnY)dx у I+x" х

будет полным дифференциалом некоторой функции u(х, у)' и найти эту

функцию.

~ Так как

			1	1		х
	Р(х, У)=--2			--+Iny,		Q(x, у)=-,
			1 +х	х		У
дР	1	dQ	1		всех точках плоскости Оху. ис-
то -а = -		и -д =	- . Значит, во		всех точках плоскости Оху. ис-
у	у	х	у
ключая точки"		лежащие на осях координат,				данное дифференциальное
выражение	в	силу равенства		(14.14)	будет	полным дифференциалом

некоторой функции u(х, у). Теперь воспользуемся общей формулой (14.16) или (14.17), где можно взять Mo(l, 1),

По формуле (14.16) имеем

х ч

u(х, у)= r(_1_2 -~) dx+ r~dу+С =
J 1 +х	х	J	у
,		,
=(aгctg x-In Ixl)l~ + х In lyll; + С =
= aгctg х -	Iп Iхl	+ х In Iуl	+ С,

где С - пр<Жзвольная постояниая. ~

А3-14.2

1. Вычислить массу дуги кривой у = Iп х плотностью

6 = .л2,если концы дуги определяются следующими зиа-

ченинми х: х, =-/3, Х2 =-{8. (Ответ: 19/3.)

2. ,Вычислить площадь поверхности, которую вырезает

из круглого цилиндра радиусом R такой же цилиндр, если

оси этих цилиндров пересекаются под прямым углом.

(Ответ: 8R2 .)

3. С помощью криволинейного интеграла второго рода

вычислить площадь фигуры, ограниченной:

а)ли-Нией	х = а соs	З	t,	у =	а siп	З	t	(астроида);

б) первой	аркой циклоиды х =					а(! - siп t), У = а( 1 -

- cos t) и осью Ох.

(Ответ: а) 3ла2/8; б) 3ла2 .}

4.Найти функции и(х, у) по их полным дифферен-

циалам:
а)	du =	4(х2 -	у2) (xdx -	ydy);
б)	du =	(2х cos у - у2 sin x)dx +(2у cos х - х2 siп y)dy;
в)	du =	(3у -	x)dx +(у -	3х) dy/(x +ууз.

'202

5. Вычислить работу Силы F = (х2 + у2 + l)i + 2xyj ВДОЛЬ дуги параболы у = хЗ, заключенной между точ

ками А(О, О) и В(I, 1).

(Ответ: 196/105.)

6. Применив формулу Грина, вычислить

Ф y2dx +(х +y?dy,

		L
где L -	контур треугольника АВС с вершинами в точках
А(3, О), В(3,		3) и С(О, 3). (Ответ: 18.)
7. Найти общий интеграл дифференциального уравне
ния ~4ХЗУЗ -		у2) dx +(3х4у2 - 2ху) dy = О. (Ответ: х4уЗ ~
-:-ху =	С.)	.

		Самостоятельная работа
1. 1.	С помощью криволинейного интеграла второго
рода ВЫЧИСЛИТЬ площадь области D, ограниченной ли-
ниями у =		х2 И У =-Vx. (Ответ: 1/3.)
2.	Найти функцию и(х, у), еСли
du(x, у) = (2ху +хз -			5) dx +(х2 - уЗ + 5) dy.
2. 1.	Вычислить площадь фигу~ы, ограниченной осями
координат		и дугой эллипса	х2 /а +у2/Ь2 =1, располо
женной	в	первом квадранте.	(Ответ: лаЬ/4.)
2.	Найти функцию и(х, у), если
~~~=~+~-~h+~-~+~4
3. 1.	Вычислить работу силы F(x, у) = 2xyi + x 2j, со

вершаемую на пути, соединяющем точки А (О, О) н В(2, 1).

(Ответ: 4.)

2. Найти фуикцию u (х, у), если

У	)	Y	+ l)dy.
du= 2x(l-е	)	dx+(_e__	+ l)dy.
(l+x 2 )2		l+x2

14.3. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАдАНИЯ К ГJl. 14

ИД3-14.1

Вычислить данные криволинейные интегралы.

1.1. ~ (х2 - 2xy)dx + (у2 - 2xy)dy, где LAB - дуга па-

LA8

203

раболы у=х2 от точки A(-I,

1) до точки 8(1,1).

(ОТ

вет: -6.)

1.2.

x2dy

y 2 dx

где

L AB - дуга

астроиды

х =-=

W -

х5 +Уу 5

LAB

У = 2 siпЗ

= 2 cos3 t,

от точки

А(2,

О) дО

точки

8(0, 2).

(Ответ: зi/2л/8.)

1.3. ~

(х2 +у2) dx + 2xydy,

где

L OA

дуга

кубиче-

LOA

от точки

0(0,

О)

дО

точки

A(I, 1).

ской параболы у = х

(Ответ: 4/3.)

1.4. Ф (х + 2у) dx +(х -

у) dy, где L -

окружность х =

= 2 cos t,

У = 2 sin t

при

положительном

направлении

обхода. (Ответ: - 4л.)

1.5. Ф (х2у -

х) dx +(у2х -

2у) dy,

где

L -

дуга эллип

са х = 3 cos t, У = 2 sin t

при положительном направлении

обхода. (Ответ: -7,5л.)

1.6. ф(ху-l)dх+х2уdу,

где

LAb-дуга

эллипса

LAfJ

x=cos t, у=2 sin t

от

точки A(I,

О)

дО точки

В(О, 2).

(Ответ: 5/6.)

1.7.

2xydx - x 2dy,

где

LOB ,4

ломаная

ОВА;

Loa 1

0(0, О); В(2, О); А(2, 1). (Ответ: -4.)

1.8.

(х2 -

у2) dx + xydy,

где LAB -

отрезок

прямой

АВ; A(I, 1); В(3, 4). (Ответ:

II {-.)

1.9.

cos ydx -

sin xdy,

где

LAB

отрезок

ПРЯМО!"I

АВ, А(2л, -2л); В(-2л, 2л). (Ответ: О.)

1.10.

yd~+x~y,

где

LAb-отрезок

прямой АВ;

)

Х' +У'

L,18

In 3.)

A(I, 2);

В(3, 6). (ответ:

1.11.

xydx +(у -

x)dy,

где

LAB -

дуга

кубической

[-А8

параболы у = х.з от точки А (О,

О) дО точки В(1,

1).

(Ответ:

1/4.)

204

1.12.	~	(х2 +у2) dx + (х +у2) dy, где						LABC -	ломаная
	LABe
АВС; A(I,		2); В(3, 2); С(3, 5). (Ответ: 64						~ .)
1.13.	~	2	2	2		где L OB - отрезок пря
1.13.	~	xy dx+yz dy-x zdz,				где L OB - отрезок пря
	LOB
мой ОВ; 0(0, О, О); В( -2, 4, 5).						(Ответ:		91.)
1.14.	~	ydx + xdy,	где	L OA -		дуга окружности х =
	LOA
= R cos t,		У = R sin t;	O(R, О);		А(О, R). (Ответ: о.)
1.15.	~	xydx + (у -	х) dy,		где	L OA	-	дуга	параболы
	LOA
у2=х от точки 0(0, О) дО точки						А(I,	1).	(Ответ: 17/30.)

1.16.~ xdx+ydy+(x-y+ I)dz, где LAB -отрезок

LAB

прямой АВ; A(I,

1);

В(2, 3, 4).

(Ответ:

7.)

1.17.

(xy-l)dx+x ydy, где LAB -дуга параболы

LAB

у2 = 4 -

4х

от точки А(1,

О)

дО

точки

В(О,

2).

(Ответ:

17/15) .

xydx + (у -

1.18.

x)dy,

где

L OB -

дуга

параболы

LOB

у=х2 от точки 0(0, О) ДО точки B(I, 1).

(Ответ: 1/12.)

1.19.

(ху -

у2) dx + xdy,

где L OB

дуга

параболы

LOB

у =

х2 от точки 0(0,

О) дО точки В( 1,

1).

(Ответ: 43/60.)

1.20.

xdy -

ydx,

где

L AB -

дуга

астроиды х =

LAB

2 соs

У = 2 siп

от точки А (2, О) дО

точки

В(О, 2).

(Ответ: 3л/4.)

1.21.

(xy-х)dх+{х2dу,гдеLАв -дуга параболы

LAB

точки В(1,

2). (Ответ:0,5.)

у2 = 4х

от

точки

А (О,

О) дО

1.22.

(ху -

I)dx + x2ydy, где LAB -

отрезок прямой

LAB

АВ; A(I, О); В(О,

2). (Ответ: 1.)

1.23.

где

LAB -

дуга

одного

2xydx +y dy + z dz,

LAB

х = cos t,

У = sin t,

z = 2t;

витка

винтовой

линии

A(I, О, О);

B(I, О, 4л).

(Ответ: 64лЗ/3.)

205

1.24.	~	~ dx +xdy, где LAB - дуга ЛИНИИ у =								In х от
	LA8
ТОЧКИ A(I, О) до точки В(е, 1).						(Ответ: е -		1/2.)
1.25. Ф ydx - xdy, где				L -		дуга	эллипса х =			3 cos t,
	L
У = 2 sin t,		«пробегаемая» в положительном направлении
обхода. (Ответ: -12л.)
1.26.	~	2xydx -	2	где	LOA -		дуга	параболы			у =
1.26.	~	2xydx -	x dy,	где	LOA -		дуга	параболы			у =
= х2/4	Lo.4
= х2/4	ОТ	точки 0(0, О)		ДО	ТОЧКИ		А(2, 1). (Ответ: о.)
1.27.	~	(х2 +у2) dx + (х2 -			y2)dY,		где	LAB -	ломаная
	L.48
линия у =		Ixl от точки А( -1,				1) до точки В(2,				2).	(ОТ
вет: 6.)			x 2dy + zdz,
1.28.	~	2xydx -	x 2dy + zdz,			где	LOA -	отрезок			пря
	LO.4
мой, соединяющий точки 0(0, О, О)							И А (2, 1,		-	1).	(ОТ
вет: 11/6.)
1.29. Ф xdy - ydx, где L -					контур треугольника с вер

шинами А(-1, О), ВО, О), С(О, 1) при положительном на

правленииобхода. (Ответ: 2.).

1.30. ~ (х2 +у) dx + (х + у2) dy, где LACB - ломаная

L.4C8

АСВ; А(2, О); С(5, О); В(5, 3). (Ответ: 63.)

2.1.

~";2

Z2 (2z _";

х2 +у2) dl, где L -

дуга

кривой

х .t cos t,

У =

t sin t,

z =

t, О ~ t ~ 2л. (Ответ: 4л·2 (1+

+ л2 ).)

х2 +у2 = 4.

2.2. Ф (х2 + у2) dl,

где

L -

окружность

(Ответ: 16л.)

2.3.

( .

, где L OB -

отрезок прямой,

соеди-

-/8

-у

•

L08

V· -х

няющий точки 0(0, О) и В(2, 2).

(Ответ: л/2.)

206

2.4. ~ (4-V;-3-{Y)dl, где L AB - отрезок прямой АВ;

A(-I, О); В(О, 1). (Ответ: -5.J2.)

2.5.

(

где LAB -

отрезок прямой, заключен·

) -Vs(x - у)

LAB

ный между точками А(О,

4) и В(4,

О). (Ответ: О.)

2.6.

(

dl, где L -

дуга кардиоиды р = 2( 1 +

)

-ух. + у2

+cos<p),

0~<р~л/2. (Ответ: 16/3.)

2.7.

ydl, L AB -

дуга астроиды х = соs

У = siп

LAB

заключенная между точками А (1, О) и В (О, 1).

(Ответ: 0,6.)

2.8.

ydl, где L OB -

дуга параболы у2 =

Х между

LOB

точками 0(0, О) и В(-{35/6, -{35/з). (Ответ: 7 ~;.)

2.9.

~ (х2 + у2 + Z2) dl,

где

L -

дуга кривой

х =

cos t,

y=sin t, z=-{3t, 0~t~2л. (Ответ: 4л(1 +4л2).)

(1 +

2.10. ~

arctg ~

dl, где L -

дуга кардиоиды

р=

О ~ <р ~ п/2. (Ответ: (л + 2)-/2 -

+ cos <р),

8.)

2.1 t.

~-{2Ydl, где L -

первая арка циклонды х =

2(t-

- sin t), у = 2( 1 -

cos t).

(Ответ: 8л.j2.)

2.12.

(

где

L OA -

отрезок

прямой,

со-

)

-Ух.+

у.

+ 4

LOA

единяющий

точки

0(0,

О) и

A(I,

2). (Ответ:

Jn((-J5+

+ 3) /2).)

2.13.

J[ (у(2х2-+ху2)2)~y

dl, где L - дуга кривой р =

9 sin 2<р,

О~<р~Л/4. (Ответ: -9/8.)

2.14.~ xydl, где LOABC - контур прямоугольника с

LOABC

вершинами 0(0, О), А(4, О), В(4, 2), С(О, 2). (Ответ: 24.)

207

2.15.		~	(х + у) dl,	где		LABO - контур треугольника с
	LABO						(Ответ: --12.)
вершинами			A(i, О), В(О,			1), 0(0, О).
2 16	~	,	z2dl	L	-	U	U
			2' где			первыи виток винтовои линии
••		х +У					.

х2cost, у=2siпt, z=2t. (Ответ: 1:-I2лз)

2.17.	~ (х + у) dl, где L OAB -	контур треугольника
	LOAB
С вершинами 0(0; О), А( -1, О),		В(О, 1). (Ответ: О.)
2.18.	~ (х + у) dl, где L - дуга	лемнискаты Бернулли

р2 = cos 2ер, -л/4 ~ ер ~ л/4. (Ответ: -12.)

2.19. ф.jх2 +у2 dl, где L-окружность х2 +у2=2у.

(Ответ: 8.)

2.20.~ xydl, где LOABC - контур прямоугольника с

	LO.4&1:
вершинами 0(0,		О), А (5,		О), В(5,	3), С(О, 3).		(Ответ: -		15.)
2.21. Ф (х2 + у2) dl, где L -					окружность х2 + у2 =				4х.
	1.
(Ответ: 32л.)
2.22.	~ (4Vx -		3:vY) dl,		где L,J.В -		дуга	астроиды
	I·АС
x=cos J	t, У= siп3 t		между точками A(I, О) и В(О, 1). (ОТ
вет: 1.)
2.23.	\ xydl,	где	L -	контур		квадрата	со	сторонами
х = + 1,	1.
х = + 1,	У = + 1. (Ответ: О.)
2.24.	\ y 2dl,	где	L -	первая		арка циклоиды х =			t -
	1.
- siп [,	У = 1 -	cos [. (Ответ:			17 l~.)

2.25.\ xydl, где LABCD - контур прямоугольника с

LABCD		О), С(4, 3), D(2, 3).		(Ответ: 45.)
вершинами А(2, О), В(4,		О), С(4, 3), D(2, 3).		(Ответ: 45.)
2.26. ~ ydl, где	L -	дуга параболы	у2 =	2х, отсечен
L
ная параболой х2 =	2у.	(Ответ: (5.[5 -	1) /3.)

208

2.27.

где L AB -

отрезок прямой, заключен

х-у'

ный между точками А(4, О) и В(6,

1). (Ответ: -f5lп (5/4).)

2.28.

~ (х2 + у2? dl,

где

L -- первая

четверть

окруж

ности р=2. (Ответ: 16л.)

2.29.

(

, где LAB -

отрезок прямой, соеди-

J -Vx' + у' + z'

LAB

няющий точки A(I,

1, 1)

и В(2, 2, 2).

(Ответ: In2.)

2.30. Ф (х -

у) dl,

где

L -

окружность

х2 + у2 = 2х.

(Ответ: 2л.)

3.1. Ф .J2y 2 + Z2 dl,

окружность х2 + y~ + Z2 =

где L -

=а2 , х=у. (Ответ:

2ла2 .)

окружности х2 +у2 +

3.2.

xyzdl,

где

L -

четверть

+ Z2 =

R2/4,

R2 , х2 + у2 =

лежащая

первом

октанте.

(Ответ: R 4-!3/32.)

3.3. ~

arctg

~ dl,

где

L -

часть

дуги спирали Архи

радиусом R с

меда р =

2<р,

заключенная внутри

круга

центром в полюсе. (Ответ: ((R~+4)3"-8)/12.)

3.4.

~ (х2 + у2 + z2)dl, где L -

дуга кривой х =

а cos t,

(3а2 +

У = а siп t, z = Ы,

О';:;;; t,;:;;; 2л.

(Ответ: 2л.J

а2

+ ь2

+ 4л2 ь2 )/з.)

первый

виток

кони

3.5.

~ (2z -.Jx 2 + у") dl, где

L -

x=tcost, у=tsiпt,

z=t.

ческой

винтовой

линии

(Ответ:

2-{2 (( 1 + 2л2)З/2 -

1) /3.)

3.6.

~ (х + z) dl,

где

L -

дуга

кривой

х =

У =

=(з/.j2)t2, z=t3 , o,;:;;;t';:;;;l. (Ответ: (56-{7-1)/54.)

209

кривая (х2 + у2)2 =ц2~x2_

3.7.

~ x..jx2-

y2dl,

где L -

у2), Х ~ о.

(Ответ: 2а3.у2/з.)

3.8.

(х + y)dl, где L -

первый виток лемнискаты р2 =

а2 cos 2ср.

(Ответ: а2.у2.)

3.9.

xydl, где L -

первая

четверть эллипса х2/а2

+ у2/Ь2

(Ответ: аЬ(а2

+аЬ+Ь2)/(З(а+Ь».)

3.10. ~ (х + y)dl,

где

L -

четверть окружности х:2

+ у2 +

R2,

г2 =

У =

х,

лежащая

в первом

октанте. (От-

вет: R 2-/2.)

3.11. (_d_l_,

где

LAB -

отрезок прямой z = х/-2,

)

x - z

LAB

-2) и В(4, О, О). (Ответ:

у= О, соединяющий точки А(О, О,

-(5 Jn 2.)

3.12. ~ ~dl,

где

L -

первая арка циклоиды х =

а(! -

у =

а(1

(Ответ: 4ла--.{а.)

sin t),

cos t).

3.1з.ф(х-у)dl,

где

L-окружность

х2 +у2=ах.

(Ответ: ла2 /2.)

3. J4.

где

L -

первый виток винтовой

)X+Y+Z2

а sin t, Z = ы.

линии Х = а cos t,

у =

Ответ:

~a2+b2

2лЬ

)

(

аЬ

аrctg-- ·

z2dl

3.15. J х2 +у2'

где

L -

пеРВblИ виток

винтовой ли-

at. (Ответ: 8алЗ-{2/з.)

нии Х = а cos t,

у = а sin t,

Z =

3.16. ~-.jх2 +у2 dl,

где

L -

развертка

окружности

x=a(cost+tsint).

y=a(sint-tcost),

0~t~2л.

(Ответ: а2 (( 1

4л }З/2 -

1)/3.)

210

3.17.

(

~, где

LAB -

отрезок

прямой, соеди-

)

х2 + у2

LA8

НЯЮЩИЙ точки А(О, -2) и 8(4, О). (Ответ: Iп((з-{5-7)/2).)

3.18.

(

где

L -

первый

виток

винтовой

)

+У +z

(

.j26

2л )

линии x=5cost, у=5sшt, z=t.

Ответ: -5-агсtg"б.

3.19.

yzdl, где

LOABC -

контур

прямоугольника

LOA8C

0(0,

4, О),

8(0,

2),

вершинами в

точках

О,

О),

А(О,

С(О, О, 2). (Ответ:

24.)

3.20. ~ x2dl,

где

L -

дуга

верхней

половины

окруж

ности х2 +у2=а2•

(Ответ: ла3/2.)

3.21. ~,(x2 + у2 + z2)dl,

где L -

первый виток винтовой

У = 4 sin t,

z = 3t.

10л(48 +

линии Х -:- 4 cos t,

(Ответ:

+ 36л2)/3.)

3.22. ~ ydl,

где

L -

дуга

параболы

у2 = 6х,

отсечен

ная параболой х2 =

6у. (Ответ: 3(5-{5 -

1).)

3.23.

xdl, где LAB -

дуга параболы у = х2

от точки

LA8

А(2, 4) до точки 8(1,1). (Ответ: (17-{l7-5-{5)/12.)

3.24. ~ (х + y)dl,

где

L -

первый

виток

лемнискаты

(>2 = 7 cos 2ср.

(Ответ:

7-{2.)

3.25. ф(z2 + y2)dl,

где

L -

окружность

г2 + у2 =

(Ответ: 256л.)

3.26. ~ y2dl, где

L -

первая

арка

циклоиды j( =3(1 -

'L'"

- sin t},

у=:= 3( 1 - cos t).

(Ответ: 458

: .)

3.27. ~-vх2 + y 2 dl,

где L -

развертка окружности х =

=6(cost+tsint),

у=6(siпt-tсоst), О~t~2л. (ОТ-

вет: 12«1 + 4л2)31 2 - 1).)

2Н

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2921 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025117.23 Кб1Referat_Nurbol.docx
#
21.02.2016109.57 Кб82refland.ru_turizm_1.doc
#
13.08.2019254.09 Кб29ReportLab3TPR.docx
#
01.07.202564.51 Кб0Restaurant_courcework.doc
#
21.02.2016463.98 Кб29RGR_1.pdf
#
21.02.20166.32 Mб53RIII_OCR[6].pdf
#
21.02.20168.54 Mб73RII_OCR[1].pdf
#
21.02.201642.09 Кб36Rixos.docx
#
21.02.20166.99 Mб64RI_OCR[4].pdf
#
02.12.20183.59 Mб28ROZDIL_ 5.doc
#
10.11.20181.95 Mб17ROZDIL_1.doc