Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилёва

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

RIII_OCR[6]

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.02.2016

Размер:

6.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 2927 28 29 > Следующая >>>

образует острый угол с ортом k), отсеl(аемая плоскостями

z = О и z = З. (Ответ: -	18л.)
3.18. \\ x 2 dydz - z 2dxdz + zdxdy, где S - часть поверх-
5
ности параболоида z = 3 -	х2 - у2 (нормальный вектор n

которой образует острый угол с ортом k), отсекаемая

плоскостью z = О.	(Ответ:		9лj2.)
3.19. \\ yzdydz -		x 2(lxdz -		y 2dxdy,		где S - часть по
s
	?	.)	1)	(		U	n кото-
верхно<:ти конуса х- + z" =			y~		нормальныи вектор		n кото-

рой образует тупой угол с ортом Л, отсекаемая плоскостя ми у=О, у= 1. (Ответ: лj4.)

'\ ')	2 ')	zdxdy, где	S	-	часть по-
3.20. ) x'dydz	+ 'y-(lxdz -
s		+ у2 (нормальный вектор n
верхности параБО,10ида z = х2

которой образует острый угол с ортом k), отсекаемая

плоскuстью z =		1.	(Ответ: -		лj2.)
3.21. \\ 2xdydz + (1 -				z) dxdy, где S -		внутренняя	сто
	s	х-,) + у-) =
рона	ЦИ,lиндра	х-,) + у-) =		4,	отсекаемая	плоскостями	z =
= о	и z = 1, (Ответ: -			8л.)
3.22. \\ 2xdydz -			ydxdz + zdxdy, где S --- внешняя сто-
	s

рона замкнутой поверхности, оБРс1Зованной параболои-

дом	Зz = х2 + у2 И		полусферой				z = -v4 -	х2 -	у2. (ОТ
вет: 19лj:Ч
3.23. \\ 4x(!yciz + 2ydxdz -						zdxdy, где S -		внешняя сто
		s	+ Z2 =
рона	сферы х2 + у2				4.	(Ответ: 160лjЗ.)
3.24. \\ (х + z) dydz + (;::					+ у) (lxdy, где			S -	внеllJНЯЯ
		s	х2 + у2 =
сторона		цилиндра				1,	отсекаемая	ПJJОСКОСТЯМи
z = О	и	z = 2. (Ответ:		2л.)
3.25. \\ Зхdуdz -			ydxdz -			zclxdy, где S -		часть поверх-
		s		z =	х" + у2 (нормальный вектор n
ности параболоида 9 -

которой образует	острый	угол с ОРТОI\1	k), отсекаемая
плоскостью z = О.	(Ответ: 24Злj2.)
3.26. \\ (у - x)dyclz + (;::		- у) dxdz + (х -	z) dxdy,	где
s

S - внутренняя сторона замкнутой поверхности, образо-

262

ванной конусом x~ = у2 + г2	И плоскостью	х = 1.	(ОТ
вет: л.)
3.27. ~~ 3x~dydz - y 2dxdz -	zdxdy, где 5 -	часть	по-
s

верхности параболоида 1 - z = x2~'+ y~			(нормальный век
тор n которой образует острый		угол	с ортом	k). (ОТ
вет: -л/2.)
3.28. ~\ (1	+ 2x~) dyd2 + y 2dxdz + zdxdy, где			5 -- часть
s	конуса х2 + у2 = г2
поверхности	конуса х2 + у2 = г2	(нормальный		вектор n

которой образует тупой угол с ортом k), отсекаемая пло

скостями z = О и z =	4. (Ответ: 128.:1/3.)
3.29. ~~ x 2dyd2 + z 2dxdz + ydxdy, где 5 - часть поверх-
s	+ уl = 4 - z (нормальный вектор n
HOCТiI параБОJIонда х2

которой образует острый угол с ортом k), отсекаемая

плоскостью z = О. (Ответ:	О.)
3.30. ~~ (у2 + г2) dyd2 -	y1dxdz + 2yz1dxdy, где 5 -
s
часть поверхности конуса x~ + г2 = уl (нормальный вектор

n которой образует тупой угол с ортом j), отсекаемая

плоскостями у = о и у = 1. (Ответ: л/2.)

4. Вычислить поток векторного поля а(М) через вне

шнюю поверхность пирамидыI, образуемую ПJ!ОСКОСТЬЮ (р) и координатными плоскостями, двумя способами: а) ис пользовав определение потока; б) с помощью формулы

Остроградского -			Гаусса.						3у +
4.1. а(М) = 3xi + (у +				г) j + (х -		г) k,	(17):	х +	3у +
+ z =	3. (Ответ: 9/2.)
4.2.	a(M)=(3x-l)i+(у-х+z)j+4zk, (р):								2х
- у -	2г = 2.	(Ответ: 8/3.)							3у +
4.3.	а(М) =	xi +	(х +	г) j +	(у +	г) k,	(р):	3х +	3у +
+ z =	3. (Ответ: 1.)
4.4.	а(М) =	(х +	г) i +	(2 -	х) j +	(х +	2у +	г) k, (р): х +

+у+г=2. (Ответ: 8/3.)

4.5.	а(М) = (у + 2г) i +		(х +	2г) j +	(х -	2у) k,	(р): 2х +
+ У +	2г = 2.	(Ответ: О.)
4.6. а(М) = (х + г) i +			2yj +	(х + у - г) k, (р): х +2у +
+г=2. (Ответ: 4/3.)
4.7. а(М) =		(3х - у) i +	(2у + гН +		(22 -	х) k,	(р): 2х
- 3у + z = 6.		(Ответ: 42.)					х - у +
4.8.	а(М) =(2у + г) i + (х -			y)j -	2zk,	(р):	х - у +

+г=2. (Ответ: -4.)

263

4.9.	а(М) = (х + у) i + 3yj + (у - z) k, (р):		2х -	у
- 2z =	-2. (Ответ: -1.)	+ (х + 2z) k,
4.10.	а(М) = (х + у - z)i - 2yj	+ (х + 2z) k,	(р):	х +
+2y+z=2. (Ответ: 2/3.)
4.11.	a(M)=(y-z)i+(2х+у)j+zk, (р): 2х+у+
+z=2. (Ответ: 4/3.)

4.12.a(M)=xi+(y-2z)j+(2х-у+2z)k, (р): х+

+2у + 2z = 2. (Ответ: 4/3.)

4.13.a(M)=(x+2z)i+(y-3z)j+zk, (р): 3х+2у+

+2z=6. (Ответ: 9.)

4.14. a(M)=4xi+(x-у-z)j+(3у+2z)k, (р): 2х+

+y+z=4. (Ответ: 80/3.)	+ 3zk, (р): х·+ 4у +
4.15. а(М) = (2z - х) i + (х + 2y)j

+2z = 8. (Ответ: 128/3.)

4.16.a(M)=4zi+(x-у-z)j+(3у+z)k, (р): х

-2у + 2z = 2. (Ответ: О.)

4.17.a(M)=(x+y)i+(y+z)j+2(z+x)k, (р): 3х

-2у + 2z = 6. (Ответ: 12.)

4.18.a(M)=(x+y+z)i+2zj+(y-7z)k, (р): 2х+ +3y+z=6. (Ответ: -36.)

4.19.a(M)=(2x-z)i+(у-х)j+(х+2z)k, (р): х

-у + z = 2. (Ответ: 20/3.)

4.20.a(M)=(2y-z)i+(х+у)j+хk, (р): х+2у+

+ 2z = 4. (Ответ: 8/3.)

4.21.a(M)=(2z-х)i+(х-у)j+(3х+z)k, (р): х+

+y+2z=2. (Ответ: -2/3.)

+z) i + (х +3у) j +yk, (р): х + у +

+2z=2. (Ответ: 8/3.)						2х + 2у +
4.23.	а(М) =	(х	+ z) i + zj + (2х -	у) k,	(р):
+ z = 4.	(Ответ: 8/3.)			+ yk,		х + 2у +
4.24.	а(М) =	(3х +у) i + (х + z) j			(р):
+ z = 2.	(Ответ: 2.)			+ (у + 3z) k, (р): 2х +
4.25.	а(М) =	(у	+ z) i + (2х - z) j
+ у + 3z = 6.		(Ответ: 18.)		+yk,		х + 2у +
4.26.	а(М) =	(у	+ z) i + (х + 6у) j		(р):
+ 2z = 2. (Ответ:			2.)			х + 3у +
4.27.	а(М) = (2у - z) i + (х + 2у) j + yk,				(р):
+2z=6. (Ответ: 12.)						2х + 2у +
4.28.	а(М) =	(у + z) i + xj + (у -		2z) k,	(р):
+z=2. (Ответ: -2/3.)						3х + 2у +
4.29.	а(М) = (х + z) i + zj + (2х -			у) k,	(р):
+ z = 6.	(Ответ: 6.)
4.30. a(M)=zi+(x+y)j+yk,				(р): 2x+y+2z=2.
(Ответ: 1/3.)

264

Рещение типового варианта

1. Дана функция и(М) = -Vx/z - -{у/х + 2xyz и точки

М, (1, 1, - 1), М2( - 2, - 1, 1). Вычислить: 1) производную

этой функции в точке М, по направлению вектора М,М2;

2)grad и(М,).

~1. Вычислим производную функции и(М) = и(х,

У, z) в точке М, по направлению вектора М,М2 = (-3,

-2,2):

du(M,)	= ди(М) I		.cos (х + ди(М) I				.cos ~ +
д~		дх M 1			ду	МI
		+ ди(М) I .cos у,
			dz м,
ди(М)	= _'_+ ,(у + 2yz				ди(М) I			= -	2
дх	2z,J;		х"	'	дх		м,		2'
ди(М) = __' _+ 2xz				ди(М) I				2'
ду		2х,{у		,	ду\!,			2'
ди(М) = _ f + 2ху, ди(М) I = 1,
	az		z		az	м,
cos (х = -		3		-2			у	2
cos (х = -		--=,	cos ~ = -- , cos				у	= ~,
		-{'7		-{l7				-У'7
ди(М,) = _	2( __3_) _ ~( __2_) + 1. _2_ =~.
дЦ	2	-{li	2	-fli.				-fli	2-fli

2. Согласно определению,

2.	Вычислить	поверхностный	интеграл первого	рода
JJ (3х -	У + z) dS	по поверхности	S, где S - часть	пло
s
скости (р): х + z -		2у = 2, отсеченная координатными пло

скостями.

~Из уравнения плоскости находим:

z = 2 - х + 2у, z~ = - 1, z~ = 2,

265

15.13) .

_ 1"	r;;
dS = V 1 + г/,	+ г~- dxdy = y6dxdy.

Сводим вычисление поверхностного интеграла к ВЫЧl1сле

нию двойного интеграла по области D, где D - треУГОоlЬ ннк АОВ, являющнйся проекцней поверхностн 5 на ПJIO скость Оху (рис. Тогда

)\(3х -	у + г) dS = \) (Зх -	у + 2 -	х + 2у) .[6dx(ly =
s	и
		()	2 + 'l.ч
= \\ (2х + у + 2)-[6{lxdy =[6 \ dy			)' (2х +У + 2)dx=
u		-1	П
11	2 +~!I		О	+ 8у + 4y~ +
=-[6)	dy(x 2 + (у + 2)Х)/о	=.[6 ) (4		+ 8у + 4y~ +
-	1		-1

+ 2у + 2у2 + 4 + 4y)(iy =.[6 \ (6y~ + 14у + 8)dy =

-1

3. Вычислить поверхностный				интеграл	второго	рода
	)) (х2 + г2) dxdz + x 2(ly{fz - 2z 2dxdy,
	s					+ ;гС
г.те 5 -	часть	поверхности параболоида 4 - У = х2				+ ;гС
(нормальный		вектор n	которой	образует	острый	угол
с ортом	j), отсекаемая		плоскостью у = О.

~Представим данный !IOверхностнь!й интеграл по ко

ординатам в виде суммы трех интегралов и, I1СПОJ1ЬЗУЯ

уравнение параболоида, преобразуем каждый нз них в

двойной интеграл по области Dy Су' =				1, 2, 3) (рис. 15.14):
1 = )\ (х2	+ г2) dxdz + x 2dydz - 2z 2dxdy =				11 +12 +1з,
S
где
1, = \\ (х2	+ ;(2)dxdz;	12 =)\ x 2dydz;		1з =)\ (-2z 2 )dxdy.
s			s	s
Вычислим последовательно интегралы 1"					12, 1з:
1, = )) (х2 + г2) dxdz = Ix = р cos ер, z = р siп ер,
и,
		'),	:г	<рI~., .J{.-I: = 8л,
dxdz = pdpdep I =		-~ dep ~ р'dp =		<рI~., .J{.-I: = 8л,
		11	11
2Gб

где область DI - круг х2 + Z2 = 4, У = О, явл.яющиi1ся

проекцией поверхности параболоида на плоскость Oxz. Пе

ред интегралом /1 ставитСЯ знак «+ », так как нормаль n

к поверхности образует острый угол ~ с осью Оу.

z	2				z
	2
5						4 У
5

}]
х
р JI С. 15.13					р 11	С. 15.14
Даjlсе,

/2 = \\ x"clyciz =				\\ (.}4 -	У -	z~Ycfyclz-
		s		п.
						У - Z2) dydz-
- \~ (--,)4 -			У -z'У(!уdz =		\\ (4 -	У - Z2) dydz-
V~					п:
-			\\ (4 -	у - z") dydz = О.
			iJ

Координатная плоскость Oyz разбивает поверхность па

раболоида на	две части	х =--/4 -	У - Z2	И	Х =
= -";4 - У -	22, проекция	каждоЙ из	которых	на	пло

скость Oyz есть область D2. Поэтому интеграл /2 можно

представить в виде суммы двух интегралов, перед первым

IIЗ которых надо взять знак «+ », так как	нормаль n
к этой части повеРХНОСТII параболоида образует OCTPЫ~
угол с осью Ох, а перед вторым интегралом -	знак «- »,

поскольку HopMa.~ь n образует с осью Ох тупой угол.

Аналогично

/3= \\ -2z2dxdy= -2\\ (-V4-y-X2)~dxdy+

S j) j

+ 2 \\ (--V4 - у - x 2)2dxdy = О.

iJ,

267

Итак,

JJ (х2 + г2) dxdz + x 2dydz -	2z2dxdy = 8л. ....
.s		(х +г) i +
4. Вычислить поток векторного поля а(М) =
+ (2у - х) j + zk через внешнюю поверхность		пирамиды,
образуемую плоскостью (р): х -	2у + 2г = 4 и координат

ными плоскостями, двумя способами: 1) использовав определение потока; 2) с помощью формулы Остроград

ского - Гаусса.

~ 1. Вычисляем поток векторного поля с помощью

поверхностного интеграла

п= JJ a·n')dS, s

где S - внешняя сторона поверхности пирамиды Авео

(рис. 15.15).

Вначале вычислим поток через каждую из четырех граней пирамиды. Грань АОС лежит в плоскости у = l),

А "-

Рис. 15.15

нормаль к этой грани пn = j, dS = dxdz. Тогда поток Bt:'I<-

торного поля а(М) через грань А ОС

n =						1	2 -	х/2
n =	-	JJ xdS = -		JJ	xdxclz =	- J xdx		J dz =
		""лос		""ЛUС		о		о
		4	~)dx = -		( х2 -	4		~6.
=	-	~ х(2 -	~)dx = -		( х2 -	~З)10 =	_	~6.

268

Грань

АОВ

лежит в

плоскости

z =

О, нормаль к этой

грани

ng =

- k,

dS = dxdy,

П2 =

O·dxdy =0.

/',,~о/З

Грань вое лежит

плоскости х = О,

нормаль к данной

грани

п~ = -i,

dS =

dydz,

ПЗ = -

zdydz =

\\ zdz \\ dy =

[о/30е

()

г-2

И,

наконец,

грань Аве лежит в плоскости х -

2у + 2z-

4 =

О, нормаль к этой грани

п~ = i -

2j + 2k = i -

2j + 2k

-Уl

+ 4 + 4

dS=-V 1 +Z~2 +z~' dxdy,

z= -

+х+у+2,

z'r

= 1.

110ЭТОМУ

dS =

+ I

dxdy =

VI +

:2 dxdy,

П4

= +_~

((х + z) -

2 (2у -

х) + 27) dxdy =

= -} ~~

(х + z -

4у + 2х + 2z) dxdy =

=-} ~)

(3x-4у+Зz)сlхdу=-} ~~ (3х-4У-

L\,\/JC

L\'\O/3

- -iг х + Зу + 6

dxdy =

-i2 х - у + 6

dxdy =

)

((

()

)

/',),0/З

о2у +'1

= --} ~ dy	~ (~ х - у +6) dx =
- 2	1)

269

	=	~	~n	dy( ~ х2 + (б _	у)х)I,~" 1 =
				2
= ~		~	(~ (2у+ 4/ + (6 -		YH~) -:- i) (ly =
		-~
= ~	~ З(у2+ 4у + 4)+12у+24-2у"-4У)(fу=
	-2
()					+ IО!/+З6у)I~~=
=+ ~	(y2+20y+J6)dy= ~ (~;'				+ IО!/+З6у)I~~=

- ')

,)-

далее находим поток через ПО"lНУЮ [юверхность Ш[ pa~1[[ДЫ АВСО:

2. ВЫЧИСJlИТЬ поток через поверхносТ!~ [iilра~I!!ДЫ АВСО

по формуле Остроградского - Гаусс,]:

	п =	rfr (~ + ,)(2			+~) (ixc{Yliz.
		JJJ	dx	I!у	д,
		I
Находим
()р _	д(Х+2)	= 1,	dQ	= д(2у-х)		=2, ~ =	d" = 1.
их	дх		dy		dy	("	(),
Так как интеграл ШdХdуdz					равен оБN~'\jУ rrрн:\lOУГОЛЬ
			I ~
ной пирамиды АВСО, то
П =	~~~ (1 + 2 + 1) dxdydz = 4 ~~~					(!xliydz =	з;- ....
	l'				I ~

ИДЗ-15.2

1.Вычислить циркуляцию векторного поля а(М) по

контуру треугольника, полученного в реЗУ"lьтате пересече

ния плоскости (р): Ах + Ву + Сг = D с координатными

270

плоскостями, при положительном направлении обхода

относительно нормального вектора n = (А, В, С) этой

плоскости двумя способами: 1) использовав определение

циркуляции; 2) с помощью формулы Стокеа (15.27).

1.1.	a(M)=zi+(x+y)j+yk,			(р): 2х+у+2г=2.
(Ответ: 5/2.)
1.2.	a(M)=(x+z)i+zj+(2x-у)k,				(р): 3х+2у+
+ z =	6 (Ответ: - 24.)					2х + 2у +
1.3.	а(М) =	(у + 2) i +xj + (у -		2г) k,	(р):
+г=2. (Ответ: 2.)			г) i + (х + 2у) j +yk,			х + 3у +
1.4.	а(М) =	(2у -			(р):
+2г=6. (Ответ: -12.)
1.5.	а(М) =	(y+z)i+(x+6y)j+yk,			(р): х+2у+
+2г=2. (Ответ: 3/2.)
1.6.	а(М) =	(у + г) i + (2х - г) j + (у + 32) k, (р): 2х +
+ у +	3г = 6.	(Ответ: 24.)
1.7.	a(M)=(3x+y)i+(x+z)j+yk,				(р): х+2у-+
+ z =	2. (Ответ: О.)					2х + 2у +
1.8.	а(М) =	(х +	г) i + zj + (2х -	у) k,	(р):
+ z =	4. (Ответ: -		12.)

1.9.a(M)=(x+z)i+(x+3y)j+yk, (р):х+у+2г=

=2. (Ответ: 4.)

1.10.a(M)=(2y-z)i+(х+у)j+хk, (р): х+2у+

+2г=4. (Ответ: -12.)

1.11.a(M)=(2z-х)i+(х-у)j+(3х+z)k, (р): х+ +у+2г=2. (Ответ: 1.)

1.12.а(М) = (2х - г) i +(у - х) j + (х + 2г) k, (р): х

-у+г=2. (Ответ: 2.)

1.13.a(M)=(x+y+z)i+2zj+(y-7z)k, (р): 2х+

+3у + z = 6. (Ответ: О.)

1.14.a(M)=(x+y)i+(y+z)j+2(x+z)k, (р): 3х

+ 2г = 6. (Ответ: -3/2.)

1.15.	a(M)=4zi+(x-у-z)j+(3у+Z)k, (р): х
- 2у +	2г = 2. (Ответ: - 1.)

1.16.a(M)=(2z-х)i+(х+2у)j+3zk, (р): х+4у+

+2г = 8. (Ответ: 40.)

1.17.a(M)=4xi+(x-у-z)j+(3у+22)k, (р): 2х+

+у + z = 4. (Ответ: 36.)

+2г) i + (у - 3г) j + zk, (р): 3х + 2у-+

+2г = 6. (Ответ: 39/2.)

+(у - 2г) j + (2х - у + 2г) k, (р): х +

+2у + 22 = 2. (Ответ: -3/2.)

1.20.a(M)=(y-z)i+(2х+у)j+zk, (р): 2х+у+

+2 = 2. (Ответ: О.)

271

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 2927 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.04.2019371.71 Кб30R1.doc
#
21.02.20165.71 Mб138readmsg.docx
#
21.02.2016109.57 Кб60refland.ru_turizm_1.doc
#
13.08.2019254.09 Кб22ReportLab3TPR.docx
#
21.02.2016463.98 Кб23RGR_1.pdf
#
21.02.20166.32 Mб47RIII_OCR[6].pdf
#
21.02.20168.54 Mб66RII_OCR[1].pdf
#
21.02.201642.09 Кб31Rixos.docx
#
21.02.20166.99 Mб55RI_OCR[4].pdf
#
02.12.20183.59 Mб26ROZDIL_ 5.doc
#
10.11.20181.95 Mб10ROZDIL_1.doc