Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилёва

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

RIII_OCR[6]

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.02.2016

Размер:

6.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 299 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

	8.13. у" = хуу', у(О) = у'(О) =				1, k =	6. ( Ответ: у = 1 +
	.r 2х·	3х5		)
+Х+З"!+Т!+SГ+'"
	8.14. у' = х2 -	2у, у(О) = 1, k = 3. (Ответ: у = 1 -						2х +
+ 2х2 + ... )
	,	1	уо)= 1,			y'(I)=O,		k=4.
	8~15. y"=L __ ,		уо)= 1,			y'(I)=O,		k=4.
	у	х			+ 4(x-I)5 +		)'
(	Ответ' у= 1 (x-I? _		(X_I)4		+ 4(x-I)5 +		)'
(	.	2!	4!		51		... /

8.16.y'=x2 +O,2y 2,y(0)=0,I,k=3. (Ответ: у = 0,1 +

+0,002х + 0,00004х2 +...)

8.17. у" = у,2 + ху,	у(0)=4,	у'(О) = -2, k = 5.
(Ответ: у = 4 - 2х + 2х2	- 2~ +	169 х4 + .. .)

8.18.y'=xyty2, y(O)=O,I, k=3. (Ответ: у=О,1 +

+O,Olx + 0,051х + ... )

8.19. у"	=	е	У	sin у',	у (л) = 1,		у'(л) =	;,	k	=	3.

(Ответ: у=	1 +			; (х -	л) +	; (х -	л? + .. .)
8.20. у'= 0,2х + у2,у(0) =						l,k=3. (Ответ: у =			1 +х+
+ 1,lx2 + ... )				,
8.21. у" =		х2 + у2, y(-I) = 2, y'(-I) =						0,5, k		=	4.

(Ответ: y=2++(x+I)+ ~ (x+I?+ :~(x+ J)++ .. .)

8.22. у' = х2 +ху+е-х, у(О) =					О, k = 3. (Ответ: у = х-
х2	5х3		)
-21+31+'"
8.23.,	у' =	1 ~х2		+ 1, у(О)=	1, k = 5. ( Ответ: у= 1 +

+ 2х-х	2	+ зх		- g-X		4	+...		)
	2		4 3		17	4			)
8.24. у" + У =				О, у(О) =				О, у'(О) =		1, k = З. (Ответ у =
х3			х5		)
=Х-З"!-Т!+'"
8.25. у" = У cos у' +х,								у(О) = 1,		у'(О) = ;, k = З.
(Ответ: у=			1 +	; х + +х2 + .. -)
~2

8.26.	у' = cos х +х2,					у(О) = О, k = 3. (Ответ:			у = х +
х3	х'	)
+ '+-51 ...
3. .
8.27. у' -		4у + 2ху2 -				еЗХ,		у(О) = 2, k = 4. ( Ответ: у =
=2+ 9Х+"2			Х		-бХ	+...
	31			2	11 З		)
8.28. (1 -			Х) у" + у = О,					У (О) = у' (О) = 1,	k = 3.
(Ответ: у= 1 +xL ~ +..-)
8.29.	4х2у" +у = О,					y(l) = 1, y'(I) = +,			k = 3.
(Ответ: У= 1 + +(х- 1) -								-4-(х- 1)2 +..-)
8.30.	у' =	2х2			+уЗ, y(l) = 1, k = 3. (Ответ:				У= I +

+3(x-I)+ 1:(X_I)2+ .. -)

Решение типового варианта

Найти область сходимости ряда.

1. f .Jn:~I·

•Воспользуемся признаком Д'Аламбера:


,.1т IUn+11-	=	,.1т \.[;;+i..Jп2+l1		=
"~OO и"		п~OO .j(n +1)2 + I.r;:
=-Гх lim		- /2 n	2 + 1 =-Гх.
n~OO		V n +211+2

Интерв,ал сходимости определяется неравенством-Гх<

< 1, откуда 0< х < 1. Исследуем граничные точки этого интервала. При х_ О получим числовой ряд, членами кото рого являются нули. Этот ряд сходится, точка х = О входиr

в его область сходимости. При х = 1 получим числовой ряд

'\' I . Воспользовавшись предельным признаком

n'=l .;;;Z+I

сравнения рядов с положительными членами, сравним этот

ряд сгармоническим расходящи мся рядом, общий член кото

рого иn = Ijn:

lim ~ = lim		n	= 1= k =1= О.
n----?ОО V N	/1--+-00	~
Следовательно,	числовой		ряд'\'	I	расходится и
точка х = 1 не входит в			n~ -Vп2+I
		область сходимости.

Таким образом, область сходимости исследуемого ря

.и,а-О:::::;;х<l. ~

n~1

•По признаку Д'Аламбера имеем:

n2+2n+2Ix2-ЗХ+2In+1

1ИN+ I 1 ).

n2 + 2n + 1 х2 + Зх + 2

1т

n~oo

Иn

n~OO

~IХ-ЗХ+21

n 2

х2

+ Зх+ 2

Iim

-ЗХ+21<1,

-3X+21

n (n

+2n+2)

=lх

х2

+ Зх+ 2

II~OO

(n" + 1)(n 2 + 2n + 1)

х2

+ 3х+ 2

_1 < х2 -Зх+2

< 1.

х2 +Зх+2

Решаем полученные неравенства:

_ 1< х2 - 3х + 2, х2 - 3х + 2 + 1> О,

2х2 + 4

> О.

х2 + 3х + 2 r + Зх + 2

х2 + 3х + 2

Отсюда

х2 + 3х + 2 > О, х Е ( -

00;

2) u(- 1; 00).

Далее,

х2 -3х+2 < 1, х2 -3х+2 _1 <О,

-бх

<О,

х2 + Зх + 2

Х2 +3х+ 2 >0.

Следовательно, xE(-2; -1)U(O; 00). При х=О по-

< U	\'n2		+ I	для которого
пучим чисnовои ряд	L	-n-- '
			2
	n=1				1 * О,
.	1·		n2 + I
11т иn =		1т	-- 2 - =
n--+оо	n-+-ОО		n

т. е. необходимый признак сходимости не выполняется,

следовательно, этот числовой ряд расходится. Область

сходимости исследуемого ряда: 0< х < 00. ~

3.~ (3 _ х2)n.

n=1

•dоспользуемся радикальным признаком i\оши. На-

ходим: .

иn = (3 - х2)п, Iim -v13 - х2 1n = 13 - х2 1 < 1,

n~OO

Решаем полученные неравенства:

З-х2	> -1, х2	-4<0, xE(-2; 2);
3 - х2 < 1, х2	- 2 > О,	х Е( - 00; - -{2) u(-{2; 00).

Пересечение найденных решений дает интервалы схо

димости исследуемого ряда xE(-2; --J2)U(-{2; 2).

Исследуем сходимость ряда на концах	этих интерва-
	00
лов. При х = +2 получим числовой ряд	~ (_I)n. Этот
n=1

знакочередующийся числовой ряд расходится, так как не

выполняется необходимый признак сходимости числового

ряда (Iim иn = О). При х = + -{2 получаем числовой ряд

n~oo

~ 1n, который расходится, поскольку необходимый при- n=1

знак сходимости также не выполняется. Значит, об-

ласть сходимости исследуемого ряда: ( - 2; --{2) U

U(-{2; 2). ~

4. Разложить функцию у = cos2 Х В ряд Тейлора в

окрестности точки хо = л/З. Найти область сходимости

полученного ряда к этой функции.

'. ~ Преобразуем данную функцию:

y=cos	2	1	+ 1	2	х.
y=cos		Х="2	"2cos		х.

Разложим полученную функцию в ряд Тейлора. для

этого найдем значения данной функции и ее-производиых до n-го порядка включительно в точке хо = п/3:

{(х) =

"2cos 2х,

{(хо) =

{(~) =

J... +J... cos 211 =

J..._J... =

J....

{'(х) =

sin 2х,

{,(~) =

_ sin 211

-Гз.

{" (х) =

2 cos 2х,

("(1I)

2л

;

3' =

cos3' =

{'"(х) =

4 sin 2х,

(",( ~) =

4 sin 2Л =

2-{З;

((n)(х)= _2n -

1 sin(2x+(n-1) ;), {(n)(~)=

= _2n -

1 sinC; +(n -1) ~).

Полученные числовые значения ПРОИЗВОдНЫХ подставляем в ряд Тейлора при хо = л/З:

cos2 х= J.- __1_ -Vз(х_~) + _I_(x_ ..:!...)2 +

4 I! 2 3 2' 3

+-F 2-Vз(х- ;)3 +... +-*(-2n -I Siп(2; +(n-

:n ))(	1I)n	1
-1)2	х- 3'"	+... = 4'"-

f пт2'-1- sl. П(2:n +

L "3

n=!

+(n - 1) ;) ( х- ~)n.

Для нахождения области сходимости полученного ряда необходимо выяснить, при каких значениях х остаточный

член ряда Тейлора стремится к нулю. Он имеет вид

Rn(x)= (n~2~)! sin(2~+n ;)(х- ~)n+l,

где 1; Е (х; хо).		Поскольку Isin( 2~ + n ;) I :::::;; 1, достаточно
найти	область сходимости		ряда	с общим членом
( 2" 1	( х -	Л )n+1 • Согласно признаку Д'Аламбера,
n+ )!		3
IimI2n+I(X-л/3)"+2(n+I)!I=			lim	2Iх-л/31 =0<1.
n-+-оо	(n+2)!·2n (х-л/3)n+1		n-+-ОО	n+2

Полученный ряд сходится при любом х. Значит" область

его сходимости к фун-кции {(х) = cos 2 Х такова: - 00 <

<x<oo.41111

5. Вычислить I/-V; приближенно с точностью а =

= 0,0001, воспользовавшись разложением функции у = еХ

в степенной ряд.

•Воспользуемся рядом (12.17). Так как I/-V;=

=e - I / 2, то

e-I/2= 1_-'- + - 1 -		1_ + _1___1_ + ...
2	4·2!	8·3!	16·4!	32·5!

Получили знакочередующийся числовой ряд. Для того

чтобы ВЫЧИСлить значения функции с точностью а =

= 0,0001, необходимо, чтобы первый отбрасываемый член

был меньше		0,0001	(по	следствию			из	признака Лейб
ница). Имеем
а7	=	1	= 64.720		=	1
а7	=	64. 6!	= 64.720		=	46080 < 0,0001.
С заданной степенью точности:
e-I/2", 1			1 +	1	1	+	1	1
	'" -"2			"8 -	48		384	- 3840 '
-1Ге'" 1 -	0,5 + 0,125 -			0,02083 +			0,00260 - 0,00026 ~
~ 0,6065.	4l1li

6. Используя разложение подынтегральной функции

в степенной ряд, вычислить определенный интеграл g

--- с точностью до 0,001.

У8-х3

-1

Воспользуемся биномиальным рядом

(см. формулу

(12.21)). Тогда

_ 1 =

i.(I_(~)3)-I/З.

У8_Х3

Получили

бином

вида

+г)m,

где т =

-! /3,

z =

- (xj2)3. Имеем:

У8~х3 =

+(1 +

+(~)3 + : 2\ ( ~) 6 + ~~ ~!( -N9 +..-) =

1 (

1 +

х3

х6

7х9

+ ...

)

="2

24 + 288

18176

r dx

х3

х6

7х9

+...

) d

х=

J У8-х3 ~"2

288 +

18176

1 (

х +

х7

7х'О

+...

) 10

="2

/24

+ 7· 288

10· 18176

-, =

="2

9б + 2016

181760 +...

)

1 (

< 0,001.

2016

с точностью до 0,001

У8_Х3 ~ "2 -

192

~ 0,5 -

0,0052 ~ 0,495.

-1

7. Найти разложение в степенной ряд по степеням х - 1

решения

дифференциального

уравнения

у' =

2х

+уЗ,

у(l) -:- 1 (записать три первых, отличных от нуля, члена

этого разложения.)

~Точка х = 1 не является особой для данного

уравнения, поэтому его решение можно искать в виде ряда:

y=f(I)+ /'I(!I) (х-l)+ f'~\I) (х-l?+ f"~;I) (Х-l)3+ ...

Имеем: /(1) = 1, /'(1) = 2 + 13 = 3, /"(х) = 2 + 3у2у', /"(1)=2+3.12.з= 11. Подставляя найденные значения

производных в искомый ряд, получаем решение данного

уравнения:

Y=I+-fт-(X-l)+-bl-(x-l)2+... ~

8. Методом последовательного дифференцирования

найти первые 5 членов разложения в степенной ряд реше

ния дифференциального уравнения 4х2у" +у = о при сле

.l.ующих условиях: у(l) = 1, у'О) = 1/2.

~ Ищем решение данного уравнения в виде ряда:

у = /(1) +	f1i!l)	(х- 1) +	f/~\I) (х- 1)2 +			f"~;I)	(х- 1)3 +
		f IV О)		4	+...,
		+ - 4! - (х- 1)			+...,
/( 1) = 1,	/' (1) = -};		+;
/"(х) = -	~x2'	/"(1)= -	+;
/"'(х) = _	ylx2:;;42XY, /"'(1)= _				O!2).~ -2·1		= ~;
/Н'(х) = _ ((у"х2 +2ху' - 2у - 2ху')х4 -						4х3 (у'х2 -
	-	2ху))/(4х8 ); /'V (1) = _				:~.

Подставляя найденные значения производных в ряд,

получаем искомое решение дифференциального урав

нения:

у = I + J..- (х -	1) - _ '_ (х -	1)2 + _3_ (х _ 1)3 -
2	4· 2!	8· 3!

-16'~4! (х- 1)4 +...,

у= 1	х - ,	(х -	1)2	(х _ 1)3	5(х- 1)'	+... ~
у= 1	+ - 2 --	8	+	16	128	+... ~

ИДЗ-12.3

1.Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом

(()= 2л) функцию /(х), заданную на отрезке [-л; л).

f()		О,	1,	-л~х<О'(о			'f()_n-2
.•	х	= {х _	1,	О ~ х ~ л.			твет.	х -	- 4 - -
••
00					00				00
_.!. '\cos ((2k -			')х)	+ л - 2	'\	sin ((2k -		')х)	'\Sin(2kx)		)
n L		(2k-I)'		л	L	2k-1			L	2k	•
k=1					k= I				k=1

• .2. {(	_{2X-I,
	) -	О
,х

-л~х~О, (о	. f(x)=
О < ___	твет.
Х",:::: л.

			со		1)х) +
=	_ ~ + i.. '\cos ((2k -				1)х) +
	2		л L	(2k _	1)2
			k=1
		00			=
+	2(~ + 1)	'\	sin ((2k -	')х) _	2 '\	sin (2kx) .)
	л	L	2k-1		L	2k
		k= I			k=1

•	3	f()	О,	+ 2,
	..	х	= {х	+ 2,
	со
_.!. '\cos ((2k -				')х)
л	L		(2k-I)'

k=1

-л ~ х < О, (ответ.· f(x) =	л+4 _
О ",::::--- Х",::::--- л.	4

k=1

•.4.

f(x)

-{ -х + 1/2,

-л ~ х ~ О, (о

твет:

)

О,

---

Х",:::: л.

со

=~_.!. '\cos((2k-l)x)

Л+лl '\

sin((2k-l}x)+

(2k -

1)"

2k -

k=1

+ I

sin ~~kX)

k=1

• "5

f()х

О,

-л~Х<О'(Ответ:f(Х)=~-

{х/2 +

",::::---

х",::::--- л.

+ :t -

_..!... '\cos ((2k -

')х)

sin ((2k -

')х)

л L

(2k -

1)"

2л

2k -

k= I

k=1

_ '\

siп(2kх) )

2k .

k=l'

1.6. f(х)={2х+з,

-л';;;;;х';;;;;О,

(Ответ: '(х)= 3-л +

О,

О<х';;;;;л.

+ ~

\'cos ((2k -

')х)

2(Л:- 3) \'

sin ((2k -

')х)

L..

(2k -

1)2

L..

2k -

k=1

_ 2 \'

sin (2kx)

)

L..

2k .

k=1

7f()

О,

-л,;;;;;х<О,(о

·f()_6-Л+

х = {

3 _ х,

О,;;;;; х';;;;; л.

твет.

- 4 -

+ 2. \'cos ((2k -

')х)

6 -л л \' sin ((2k -

')х)

L..

(2k -

L..

2k -

k= I

k=1

+ I00

k=1

1 8

sin J~kX)

'()х =

Х -	2, -л ';;;;;х';;;;;О, (ответ.· ,(х) =
{О,	0""'<Х"",,=л-.

+ 4 +

= _ л+4 + ~ \'cos ((2k -

')х)

л \'

sin (.(2k-l)x) _

L..

(2k -

1)2

L..

2k - I

- I

k=1

k=J

sin ~~kX) -)

k=1

1.9.

f(x)

= {

-л';;;;; х < О,

(

Ответ: f (х) =

4~ _

о,;;;;;

х ,;;;;;

л.

= 2л -:- 3

I)х) +

cos ((2k -

, 2

L..

(2k _

1)2

k=1

2(2л -

sin((2k -

')х)

- 4 \'

sin (2kx)

)

L..

2k -

L..

k=1

I.JO. '(х) = {05,-Х, -л';;;;;х';;;;;О, (Ответ: '(х)= л+IО _

О<х';;;;;л. 4

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 299 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.04.2019371.71 Кб27R1.doc
#
21.02.20165.71 Mб134readmsg.docx
#
21.02.2016109.57 Кб58refland.ru_turizm_1.doc
#
13.08.2019254.09 Кб21ReportLab3TPR.docx
#
21.02.2016463.98 Кб21RGR_1.pdf
#
21.02.20166.32 Mб45RIII_OCR[6].pdf
#
21.02.20168.54 Mб65RII_OCR[1].pdf
#
21.02.201642.09 Кб30Rixos.docx
#
21.02.20166.99 Mб55RI_OCR[4].pdf
#
02.12.20183.59 Mб26ROZDIL_ 5.doc
#
10.11.20181.95 Mб10ROZDIL_1.doc