Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилёва

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

RIII_OCR[6]

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.02.2016

Размер:

6.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 2926 27 28 29 > Следующая >>>

Так как при выполнении условий ([5.28) криволинейный интеграл

второго рода не зависит от линии, соединяющеii точки								МО и М 1,	то
для потснциа.7ЬНОГО поля а(М) =						Pi + Qj + Rk справедлива формула ДJlЯ
нахождения потеНциальной функции:
		и(х, у,		г) =	\	Pdx + Qdy + Rdz +	С,	( [5.2~))
					Мр.'Н
где	Мо(Хо,	УIJ,	го) -	некоторая фиксироваlfrrая			точка	06.7аСТII	V.
М(х,	у, г) -	лю6ая точка			06ласти V; С - произвольная			постоянная.
	Из формулы		([5.29) следует формула ДЛ51 вычис.7еlfиЯ					КРИВО,1инеи

ного интеграла второго рода, не зависящего от пути интегрирования:

\ Pdx + Qdy + Rdz =

и(В) -

и(А),

(13.30)

АВ

где и(А)

и и(В) -

значения

потенциала

и в

начальной

А и

конечноi'l

В точках

пути.

Гармоническое векторное поле. Векторное поле а(М), удовлетво

ряющее двум условиям: div а(М) = О и rot а(М) =

О, называется гарл1О

ническим. Потенциал и гармонического поля является р('шеНJ\ем

уравнения Лапласа

д'и

(15.31)

/',.и = -- + -- + -- = о

дх'

ду'

дг'

Функция

и =

и(х,

у, г), удовлетворяющая

уравнению

Лапласа

(15.3 [),

иызываетСя гармонической.

Пример 1. Показать, что

поле

а(М) =

(2ху + г) i

+ (х" -

2у) j +

+ xk является

потенциальным,

но не

соленоидальным.

Найти потен

циал и данного поля.

~ Имеем: Р = 2ху + г,

Q =

х' -

2у,

R =

х. Тогда

rot а(М) =

(О -

О) i + (1 -

1) j +

(2х-

дх

ду

дг

2ху +г

х2 -

2у

-2х) k = О,

т. е. поле а(М) -

потенциальное.

Далее имеем

дР

=2у-2 +0*

О,

dlva= -

дх

+ -- + -

дг

ду

поэтому поле а(М) не является соленоида,Пьным.

Согласно формуле (15.29),

и(х, у, г) = \ (2ху + г) dx + (х' - 2у) dy + xdz + С

М•.\1

Так как функции Р(х, У, г), Q(x, у, г), R(x, у, г) непрерывны и имеют

HerlpepbIBHbIe чаСТllые производные во всех точках пространства R',

то в качесто(' точки Мо(хо, Уа, го) можно ВЗять начало координат

0(0, О, О), а в K~'leCTBe М(х, у, г) - произвольную точку пространства.

Как отмечал ось раиее, криволинейный интеграл второго рода ие зависит

252

ОТ пути интегрирования, поэтому его можно ВЫЧIIСЛИТЬ по ломаной

ОАВМ (рис. 15.12):.			.			.
U(X,Y,Z)=		\ +с= \			+ \ + \ +с=
_IOk у =		И.\1		И.1	АВ	В.\1
_IOk у =	О,	z =:. о,	dy =:.О,		d~ =:.О,	О ~ х ~ Х, 1_
- , АВ .. х= Х, z -=- О,. dx -=-0, d~ -=-0. О ~ У ~ У, -
ВМ..у=Х, у-}, dx-O, dy-O, O~z~Z
.\	У			L
= \о.ах+ \(X'-2Y)1Iy+ \Xi/z=X2 }:-У'+ХZ.
о	,i		()
		z
				NIX,Y,Z)
			O}-_+--~_--..._
		A.Ji--_~				v
		A.Ji--_~
		х
			Рис. 15.12
Заменив в последнем равенстве Х, У, Z на х, у, z, запишем выраже
ние ДJlЯ ГlОтенциала	поля:		х2у - у" + х;: + с.....
и(х, у, z) =			х2у - у" + х;: + с.....
Пример 2. Проверить, является ли					потенциальным поле а = (уг -
- ху) i + (х;: - х'/2 + yz2) j +			(ху + y'z) k, найти его потенциал и ВЬГЧIJС

лить соответствующий криволинейный интеграл второго рода по .~инии,

соединяющей точки А(I, 1, 1) и				В(2,	-2, Э).			ху + y'z,
~ Учитывая,	что Р = у;: -			ху,	Q = х;: - х2 /2 + yz2, R =			ху + y'z,
находим
					j	k
					j	k
rot а(М) =			а		а	а
rot а(М) =			ах		ду	а;:
			ах		ду	а;:
		у;: -	ху	х;: -	х'/2 + yz'	ху + у';:
= (х + 2у;: -		х -	2yz) i + (у -		у) j + (г -	х - z + х) k	=	О.

Следовательно, поле а - потенциаJ\ьное и существует потенциаjj (см. формулу (15.29) и пример 1)

и(Х, У, Z) = \ Pdx + Qdy + Rdz + С =

М,.М

= ~ О. l/Х+ ~ ( - ~2) dy + ~ (ху+ у'г) dz + С=

{)

()

= -Х'У/2 + XYZ + y 2Z'/2 + с.

!53

Замснив	Х,	У, Z на х, у,	2, ОIШllчателыlO flо.1УЧИМ
		а =	хуг - х'у/2 + у'г'/2 + С.
Так	как в lIоТСНl(иаЛЬНО.\1 ноле КРИВОJlннсiiныii интсграл ВТОрСН'О
рода I1е	заВИСIН ОТ нути		интегрировання, соеДИНflющего точки А 11 В,
то, COI"JIaCI!O		формуле (15.30). нмеем

\ (уг - ху) с/х + (хг - х'/2 + уг') с/у + (ху + у'г) d? =

AlI

=а(В) - Il(А) = 9. •

Пример 3. доказать,	что ФУНКЦIIЯ		1/г, где
		1/ =		г = "jx' + у' + г'.
является гаРМОНIIЧССКОИ	iI BCI(TOpHOe	[1 0,1 С	а(М) =	grad а(М) - гармо

Нl1ческое.

~Прежде всего следуст [lровернть, справеДЛlIВО Лlf. ддя. д·аннОЙ

Ф!"К!t'!И y!}aBlfeHlle

Jlанл,н:а

(15.:J!).

вычнслfl('м д-и/дх",

c)1[1/d!1.

д u/дг- и

/11/:

dll

d'll

3х'

-;;; = -

7'дх2

- 7 + 7;

d'lI

:Iy'

- = -- + -

ду'

,.1

да

d'll

Зг'

д; = - 7'дг' = - -;<

Ilu = -

х' + у' + 2'

:з

= О.

-" +::;,

- . + -

r·

r j

r"\

Следовательно, уравиеНllе пап,nаса Illl = О удовлетворястсн и дан

ная

функция II =

j /, -

гаРМОНllческаfl.

Далсе наКОДllМ

а(М) = grad u(М) = - ,'(xi + yj + zk).

Как

известно,

го! а(М) =

rot grad Il(M) =

ддя любоii

функции

и, т

е.

одно нз

условий

опрсделеНlI11

гармонического поля а(М)

ВЫПОЛIlt'НО. Другое условие

div а(М) = О также

выполняется,

поскольку·

cli\'а =

di\

grad II(M) =

i~II(M) =

О. •

АЗ-15.6

1. Доказать с помощью формулы Стокса, что

Ф yzdx + п-dу + xydz == О,

где

l' -

любой

замкнутый KOIITYp.

Результат

проверить

путем вычисления интеграла по контуру треугольника

АВС с вершинами А(О. О, О), 8(1,		1, О), С(I,	1,	1).	+z 3 k.
2.	Найти grad div а(М), если	а(М) =	х3;	+ y3j	+z 3 k.
3.	Среда вращается как твердое тело вокруг оси Ог с

254

угловой скоростью w= шk. Найти ротор поля линейных

скоростей V=		~ х г, где	г - радиус-вектор	двюкущеЙся
точ!ш	М(х, у,	г). (Ответ:	2шk.)
4.	Найти	ЦИРКУЛЯЦИЮ	поля скоросТ<;,й V'"ОПИС,анного
в предыдущем задании, по окружности х- +				у- = R-, z = О

в положительном направлении обхода относительно орта

k.	(Ответ: 2лR2.)
	5.	Доказать,			что div rot а(М) = О для любого				поля
а(М).					'
	6. Установить потенциаЛЫJQСТЬ поля а(М) и найти его
потенциал 1l, еС.1И:
	а)	а(М) =	2xyi + (х2 - 2уг) j -				!/k;
	б) а(М) = (3х2у - уЗ) i + (хЗ					-	3ху2) j;
	в) а(М) = (у + 2) i + (х + г) j + (у + х) k.
(Ответ: а) u =х2				у._ у"г+ С; б) u =х3у_ хуЗ + С; в) u =
= ху		+ уг + хг +			С.)
	7.	Проверить,			является ли		гармонической	функция
u =	ln (, ссли		r =-VX2 +у2.				.
	8.	Установить l1отеНЦI1альность ПОЛЯ а(М)						и	найти
его	потенциал		и:
	а)	а(М) =	еи/:; +( еу/г (: + 1)			+ zeYz) j + ( _ еи/г		(X ;	')!I +
					+ ус!!г + е-г) k;			z
					+ ус!!г + е-г) k;
	б)	а (М) =		уг cos (ху) i + хг cos (хуН + siп (ху) k.
(Ответ: а)			u=e!J/Z(x+l)+eYZ_e-z+С;					б)	и=
= z siп (ху) +			С.)
	9.	Доказать,		что HelHopHoe		поле а(М) = -		~3	Г, где
г =	xi + yj + zk,							Ir I
г =	xi + yj + zk,			которое описывает гравитационное поле,

создаваемое точечной массой т, помещенной в начало координат (у - ньютоновская постоянная тяготения), является гармоническим (1I0тенциальным и безвихревым) ,

найти его потенциаJ1 11 и убедиться, что потенциал u удовлетворяет уравнению Лапласа. (Ответ: u = уm/I rl.)

10.	Доказать,	что rot grad ЩМ) = о.
11.	Найти потеllциал u поля а(М) = (уг + 1) i + xzj +
+ xyk	и ВЫЧИС.1ИТЬ
	(2, З,	2)
	)	(уг + 1) dx + xzdy + xydz.

,1,1,1)

(Ответ: l1=х+хуг+С; 12.)

255

Самостоятельная работа

Про верить потенциальность векторного поля а(М),

найти его потенциал и вычисюпь значение соответствую щего криволинейного интеграJJа второго рода по дуге JJИ

нии, соединяющей точки А и 8 (А - начаJJО дуги, 8 -

ееконец).

1.а{М) = 2xyzi +x~zj +x~yk, A(I, -1,2),8(-2,4,2).

(Ответ: 34.)

2. а(М) = (х2 -			2уг) i + (у2 - 2хг) j + (г~ - 2ху) k, А ~ 1,
-1, 1),	8( -	2, 2,	3). (Ответ: 92/3.)
3. а(М) = (2ху + г2) i + (2ху + х2) j + (2хг + у2) k, А (и,
1, -2), 8(2, 3, 1). (Ответ: 25.)
15.7. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ 1( ГЛ. 15
				ИДЗ-15.1
1. Дана функция и(М) = и(х, у, г)						и точки M 1, М2. Вы
ЧИСJJИТЬ: 1)		производную этой Функцни В точке М I по на-
			~
праВJJению		вектора M M ; 2) grad u(M ).
			1	2		1
1.1.	и(М) = х2у +у2г + г2х,				M1(1,	-1,2), М2(3, 4, - 1).
1.2.	и(М)=5ху3г2, M 1(2, 1,				-1),	М2(4, -3, О).

1.3.u(M)=II1(x2 +y2+ z 2),M 1(-1,2, 1),M2(3, 1, -1).

1.4.u(M)=zex"+y'+z', M1(O, О, О), М2(З, -4,2).

+уг +хг), МI (-2; 3, - 1), А12 \2,

1, -3).							.
							2		\
1.6.	_/	2	+у	2	2	1), М2(3,	2		\
1.6.	и(М)= уl +х		+у		+г, Л-1J(I, 1,	1), М2(3,		,1/.
1.7.	и(М)=х<у+хг"-2, MI(I, 1, -1),					М2(2, -1,			Зу.

1.8.u(M)=xeY+yeX-z2,МI(3,О,2),М2(4, 1,3).

1.9.и(М)=3ху2+г2_хуг, M1(1, 1,2), М2(3, -1,4).

1.10. и(М)=5х2уг-ху2г+уг2, M1(1, 1, 1), M2(~),

-3,9).
	1.11. u(M)=Xj(x2+y2+ z 2),	MI(I,	2,	2),	М2(-3,
2,	-1).
	1.12. и(М)=у2г -2хуг+г2,	M 1(3,	1,	-1),	М2(-2,
1,	4).
	1.13. и(М)=х2 +у2+ г2_2хуг, M1(l.			-1.2), М2(5.
-1,4).

25.

1.14.	u(M)=ln(l+x+y2 +2 2),						M1(1,		1,		1),		М2(3,
~I).
1.15.	и(М)=х2 +2у2_422 -5, M1(1, 2,1),										М2(-3,
-2,6).														4
1.16.	u(M)=ln(x	3		'J		1),		13М						4
1.16.	u(M)=ln(x		+У' +2+			1),	M 1(,		,0),.2(-,
1, 3).
1.17.	и(М)=х-2у+ег , M 1 (-4,						-5,		О),	М2(2,			з,	4).
1.18.	ЩМ)=ХУ -3ХУ2, MI(2,					2,	-4),		M 2 (I,		О,		-3).
1.19.	u(м)=зх2У23 ,			M 1(-2,		-3,		1),	М2(5,		-2,			О).
1.20.	u(M)=e"l+		,M 1 (-5, О,			2), М2(2,			4,	-3).
1.21.	u(M)=X'I:,	M 1 (3,			1, 4),	J'vЦI, -1,				-1).
1.22.	и(М) = (х2 +		у2 + 22)3, М I(1,2,					- 1), М2(О,				-	1,	3).
1.23.	и(М)=(х-у)', M1(I, 5,					О),	М2 (3,		7,	-2).
1.24.	ЩМ) = х2у + у22 -				32, M 1 (О,			-2, - 1),				/\!1 2 ( 12,
-5, О).	и(М)= 10/(x2 +y2+ 22+ 1),
1.25.	и(М)= 10/(x2 +y2+ 22+ 1),							M1(-I,			2,		-2),
М2(2, О,	1).	+ х2 -			У" + 22),
1.26.	и(М) = Iп (1	+ х2 -			У" + 22),		АЧ1,		1,		1),		М2(5,
-4,8).
1.27.	и(М)= ~ +.J!... -~, M 1 ( -1,							1,	1),	M~(2, 3,				4).
	у		z		х
1.28.	и(М)=х3 + ху2_6ХУ2,					M;(I,		3,		-5),			М2(4,
2, -2).
1.29.	и(М)= ~ -.J!... -~, M					1 (2,	2,	2),	М2(-3, 4,					1).
	у		z		z
1.30.	и(М) = ех - уг , M1(I, О, 3),					М 2(2, -4,5).
2. ВЫЧИСJlИТЬ поверхностный интегра"l первого рода по
поверхности S, где S -				часть 1U1Oскости (р),						отсеченная
координатными ПJlОСКОСТЯМИ.
2.1. \\(2х+Зу+22)dS,					(р): х+зу+z =						з.		(01'-
	5
вет: 15-V~112.)
2.2. \\ (2 + У - 7х + 92) dS,						(р): 2х-у-22 =							-2.
	5
(Ответ:	12.)
2.3. \\ (6х + У + 42) dS,					(р): 3х + ЗУ + 2 =					з. (Ответ:
	5

9-357

257

2.4. ~) (х + 2у + Зz)dS,	(р):	х + у + z =	2.	(Ответ:
s
8-f3.)
2.5. ).\ (Зх - 2у + 6г) dS,	(р):	2х + у +2г =	2.		(Ответ:
s
5/2.)
2.6.~) (2x+5y-z)dS,	(р): 5--·=I:::.2y+z=2.			(Ответ:
s
7-{6/з.)
2.7.)~(5х-8у-z)(IS,	(р): 2х-Зу+z=6. (Ответ:
s
25-Y14.)
2.8.)) (Зу-х-z)(lS,	(р;: х - у + z = 2.			(Ответ:
s
-20-{З/З.)
2.9.~) (Зу-2х ~'2z)(iS,	(р): 2х-!)-2г= -2.				(От-
s
вет: З.)
2.10. JJ(2x-Зу+z){iS,	!р): х+2у+г=2.			(Ответ:
s
-fб.)
2.11. \] (5х + У - z)dS, (р): х + 2у + 2г = 2.			(Ответ: 5.)
s
2.12. JJ (:3х+2у+ 2z)(iS,	(р): Зх+2у+2z=6.				(От-
s
вет: 9y"17.)
2.13. JJ (2х + Зу - z) (IS,	\р):	2х + У + z = 2.		( Ответ:
s

2-{6.)

2.14. JJ(9x+2y+z)dS, (17): 2х+у+г=4. (Ответ: s

40-у6.)

258

2.15.~\\:)x+t)!f+8z:L!S,		(pi: x+4y+~г=ё.				(ОТ-
s
вет: 96-{2l.)
2.16.\\(4y-x+4z)d5,		(р): х-2у+2г=2.			(ОТ6С1":
s
-1.)
2.17. ~\(7x+y+2z)LI5,		(/)): Зх--2у+2z=G.				(ОТ-
.\
ВСТ: 17{17/2.)			2х +:Зу + z =
2.18. ~\ (2х+Эу+z)d5,		(р):	2х +:Зу + z =		ti.	(ОТ-
s
вет: 18-{14.)
2.19. \\ (1х -!! + г) d5, (е): х--у +':' = 2. (ОТ6СТ: 8.yJ.)
.\
2.20. ~\ (6х -	у + Ьг) а5,	(р):	Х +!I + 2:; = 2.		(ОТ6СТ:
.s
6-{6.)
2.21. ~\ (4х -	4u - г) а5,	(р):		х + 2у + 2г =	4.	(ОТ-
s
вет: 44.)
2.22. \\ (2х + 5у + z) а5,		(р):	х + у + 2.: = 2.		(ОТВСТ:
.~
5..)6.)
2.23. ~\ (4х -!I + 4г) (15,		(р):		2х + '2у +:; =	4.	(ОТ-
s
вет: 44.)
2.24. \\ (5х + 2у + 2г) (15,		(р):		х + 2у + z =	2.	( От-
5
вет: 16{3/6.)
2.25. \\ (2х + 5у + 10г) d5, (р):				2х +!! + ~~г = 6.		(От-
.s
ВСТ: 56-у'14.)
2.26. ~\(2x+ 15y+z)d5,		(р): х+2у+2г =			2.	(01'-
.)
вет: 10.)

259

2.27. \\(Зх+ 10y-z)dS, (р): х+Зу+2z=6. (От- s

г--

вет: З5-У 14.)
2.28. \\	(2х + Зу + г) dS,	(р):	2х + 2.11 + z =	2.	(От-
s
вет: 7/6.)	(5х - у + 5z)dS,		Зх + 2.11 + z =
2.29. j\	(5х - у + 5z)dS,	(р):	Зх + 2.11 + z =	6.	(Ответ:
s
З7-{14.)	(х + Зу + 2г) dS,		2х +у + 2г =
2.30. j\	(х + Зу + 2г) dS,	(р):	2х +у + 2г =	2.	(Ответ:
.'>
9/2.)

3. ВЫЧИС"1ИТЬ поверхностный интеграл второго рода.

3.1.\\ (.112 + z2)dydz,	где S - часть поверхности парабо-
s
ЛОllда х = 9 - .112 - г2	(норма"1ЬНЫЙ вектор n которой

образует острый угол с ортом i), отсеченная плоскоСтью

х=О. (Ответ: 81.:1:/2.)

3.2. )\	z 2dxdy, где S -	внешняя сторона поверхности
s
ЭJIлипсоида х2 +.11:2 + 2г2 =		2. (Ответ: О.)
3.3. j\	zdxdy + ydxdz + xc!yciz, где S - внешняя сто
s

рона поверхности куба, ограниченного плоскостями х = О,

.11=0, 2=О, х= 1, .11= 1,			г= 1.		(Ответ: З.)
3.4. \\ (г + 1) (!xciy. где			S -	внешняя сторона				поверх-
	.,
ности	сферы х2 + .112 + г2 =		16. (Ответ: 256л/З.)
3.5. \\ yzdydz + xzdxdz + xyc!xdlj. где S -							веРХIIЯЯ сто
	.s
рона	п"~оскости х + у + z =		4.	отсечеНlIОЙ		координатными
плоскостями. (Ответ: 32.)
3.6. \\ x2dydz + y2dxdz + z 2dxdy, где S -							внешняя сто
	s	х2 + .112 + г2 =
рона	сферы	х2 + .112 + г2 =		16,	лежащая		в	первом
октанте. (Ответ: 96л.)
3.7. \\ xciyc!z + ydxdz + zdxciy,					где S -	внешняя сто
	.'>	+ .112 + г2 =
рона	сферы х:2	+ .112 + г2 =	1. (Ответ: 4л.)
3.8. \\ x2dxdy + xydydz +yzdxdz, где S-верхняя часть

260

плоскости х +у +z = 1,			отсеченной координатными пло
скостями. (Ответ: 1/8.)
3.9. ~~ yzdxdy + xzdydz + xydxdz,				где S -	наружная
s			+у2 = 1, отсеченная
поверхность		цилиндра х2	+у2 = 1, отсеченная		плоскОСтя
ми z = О,	z =	5. (Ответ:	25л.)
3.10. ~~	y2z dxdy + xzdydz + x 2ydxdz, где S -				часть по-
s			z = х2 +у2
верхности	параболоида		z = х2 +у2	(нормальный вектор

n которой образует тупой угол с ортом k), вырезаемая

цилиндром х2	+у2= 1. (Ответ: л/8.)
3.11. \~ (х2 +у2) zdxdy,		где S -	внешняя		сторона НИЖ
.s		+ у2 + г2 =
ней половины	сферы х2	+ у2 + г2 =		9. (Ответ: 324л/5.)
3.12. ~~ x 2(iydz+ z 2dxdy, где			S -	часть	повеРХНОСТJI
s	+у2 (нормальный
конуса г2 = х2	+у2 (нормальный		вектор n		которой обра

зует тупой угол с ортом k), лежащая между плоскостями

z = О, z =		1. (Отвст: -л/2.)
3.13. \\ (2у2 -				г) (ixdy, где S -		часть поверхности па-
	s			+у2
раболоида z =			х2		(нормальный вектор n которой об
разует	тупой		yrO,l с		ортом k),	отсекаемая		ПЛОСКОСтью
г=2. (Ответ: О.)
3.14.	((		"dXif!:		' где S - часть		поверхности гипер-
	J)	'У[ +у"- 1
болоида	х2	+ у2 = г2 + 1 (нормальный					вектор	n которой

образует тупой угол с ортом k), отсекаемая ПЛОСКОСТЯМII

z = О, z =-{З.	(Ответ: -2-{З::r..)
3.15. ~~ xydy(iz + yzdxdz + xzdxc!y,					где	S -		внешняя
s	х2 +у2 + г2 =
сторона сферы	х2 +у2 + г2 =		1,	лежащая		в	первом ок
танте. (Ответ:	3л/ 16.)
3.16. ~\ x 2dyliz + zdxdy,		где		S -	часть	lювеРХНОСТlI
s
параболоида z = х2 +у2		(НОрУ1зльный вектор					n	которой
образует тупой	угол с ортом		k),	отсекае:-.1ая			плоскостыо

z = 4. (Ответ: 8::r..)

3.17. ~~ x 2dydz + y 2dxdz - zdxliy, где S - часть поверх s

ности конуса г2 = х2 +у2 (нормальный вектор n которой

261

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 2926 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.04.2019371.71 Кб30R1.doc
#
21.02.20165.71 Mб138readmsg.docx
#
21.02.2016109.57 Кб60refland.ru_turizm_1.doc
#
13.08.2019254.09 Кб22ReportLab3TPR.docx
#
21.02.2016463.98 Кб23RGR_1.pdf
#
21.02.20166.32 Mб47RIII_OCR[6].pdf
#
21.02.20168.54 Mб67RII_OCR[1].pdf
#
21.02.201642.09 Кб31Rixos.docx
#
21.02.20166.99 Mб55RI_OCR[4].pdf
#
02.12.20183.59 Mб26ROZDIL_ 5.doc
#
10.11.20181.95 Mб10ROZDIL_1.doc