МIНIСТЕРСТВО ТРАНСПОРТУ та ЗВ'ЯЗКУ УКРА НИ Днiпропетровський нацiональний унiверситет залiзничного транспорту
iменi академiка В. Лазаряна
Кафедра "Прикладна математика"
Вища математика. Модуль III
Частина 2 Ряди
Методичнi вказiвки та завдання до третього модульного контролю з вищо¨ математики
Укладач Ю.П. Бабич. Для студентiв I курсу спецiальностi ¾Економiчна кiбернетика¿
Днiпропетровськ 2007
ÓÄÊ 512.64
Укладач
канд. фiз.-мат. наук, доцент Юрiй Панасович Бабич
Рецензенти:
канд.фiз.-мат. наук, доц. В.М. Трактинська (ДНУ), д-р фiз.-мат. наук, проф. С.О. Пiчугов (ДIIТ)
Вища математика. Модуль III. Частина 2. Ряди: Методичнi вказiвки та завдання до третього модульного контролю з вищо¨ математики/ Днiпропетр. нац. ун-т залiзн. трансп. iм. акад. В.Лазаряна; Укл. Ю.П. Бабич.Д., 2007. 50 с.
Вказiвки складенi у вiдповiдностi до типово¨ програми курсу ¾Вища математика¿ для економiчних спецiальностей i охоплюють такi теми з роздiлу ¾Математичний аналiз¿: числовi ряди, функцiональнi ряди, ряди Фур'¹.
У методичних вказiвках викладено необхiдний теоретичний матерiал та наведено розв'язання типових задач. Вказiвки мiстять завдання для самостiйно¨ роботи. Виконання завдань студентами сприятиме поглибленому засво¹нню теоретичного матерiалу та виробленню практичних навичок.
Ië. 8. Áiáëiîãð.: 7 íàçâ.
c Бабич Ю.П., укладання, 2007
c Вид-во Днiпропетр. нац. ун-ту залiзн. трансп. iм. акад. В. Лазаряна, 2007
Передмова
Друга частина третього модульного контролю передбача¹ вивчення таких тем:
1.Числовi ряди.
2.Функцiональнi ряди. Степеневi ряди. Ряд Тейлора.
3.Ðÿäè Ôóð'¹.
Данi вказiвки мiстять стислi теоретичнi вiдомостi та приклади розв'я- зування типових задач. Наводяться задачi для iндивiдуальних завдань.
Задачi для iндивiдуальних завдань згрупованi за темами i подаються наприкiнцi кожно¨ теми.
3
Òåìà 1
Числовi ряди
1.1. Основнi поняття
Означення 1. Нехай задана числова послiдовнiсть a1, a2, . . . , an, . . . |
|||
Вираз |
∞ |
|
|
|
|
|
|
a1 + a2 + · · · + an + · · · = |
ai |
(1.1.1) |
|
|
=1 |
|
|
|
Xi |
|
|
називають ч и с л о в и м р я д о м. Числа |
a1, a2, . . . , an, . . . називають |
||
÷ ë å í à ì è ð ÿ ä ó. |
|
|
|
Означення 2. Ñóìó n перших членiв ряду |
|
|
|
|
n |
|
|
sn = a1 + a2 + · · · + an = |
ai |
(1.1.2) |
|
|
=1 |
|
|
|
Xi |
|
|
називають n−÷ à ñ ò è í í î þ ñ ó ì î þ ðÿäó. |
|
|
|
Якщо iсну¹ скiнченна границя lim sn |
= S, то ¨¨ називають с у - |
||
n→∞ |
|
ç á i ã à ¹ ò ü ñ ÿ. ßêùî |
|
м о ю р я д у (1.1.1) i кажуть, що ряд (1.1.1) |
|||
lim sn = ∞ або не iсну¹, то кажуть, що ряд (1.1.1) р о з б i г а ¹ т ь с я.
n→∞
П р и к л а д 1. Найпростiшим прикладом ряду ¹ геометрична прогресiя
a + aq + aq2 + · · · + aqn−1 + · · ·
Якщо знаменник прогресi¨ q 6= 1, òî ñóìà n ¨¨ перших членiв дорiвню¹
1 − qn sn = a 1 − q .
4
Ïðè |
| |
q |
| |
< 1 iсну¹ скiнченна границя |
lim s |
|
= lim a |
1 − qn |
= |
|
a |
, тобто при |
|
n |
1 − q |
1 − q |
|||||||||||
|
|
|
n→∞ |
n→∞ |
|
|
|||||||
| q| < 1 ма¹мо збiжний ряд нескiнченно спадну геометричну прогресiю. При | q| > 1 геометрична прогресiя да¹ приклад розбiжного ряду:
ïðè |
| |
q |
| |
> 1 |
lim s |
= lim a |
1 − qn |
= |
∞ |
; |
|||||
1 − q |
|||||||||||||||
|
|
|
n→∞ n |
n→∞ |
|
nlim sn = ∞; |
|||||||||
ïðè q = 1 |
sn = a + a + · · · + a = na, |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
| |
|
|
{z |
|
|
} |
|
|
→∞ |
|
n доданкiв
ïðè q = −1 s1 = a, s2 = a − a = 0, s3 = a, . . . , s2k−1 = a, s2k = 0, k = 1, 2, . . . ,
границя lim sn íå iñíó¹.
n→∞
П р и к л а д 2. Розглянемо ряд
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
+ |
|
+ · · · + |
|
+ · · · |
1 · 2 |
2 · 3 |
n(n + 1) |
|||
Éîãî n-на частинна сума ма¹ вигляд
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
sn = |
|
+ |
|
+ · · · |
+ |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 · 2 |
2 · 3 |
n(n + 1) |
3 |
+ · · · + |
n |
− n + 1 |
= 1 − n + 1 |
||||||||||||
|
|
|
|
= |
1 − 2 |
+ |
2 − |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
Оскiльки iсну¹ скiнченна границя S послiдовностi частинних сум {sn}, òî ðÿä çáiãà¹òüñÿ i éîãî ñóìà äîðiâíþ¹
n→∞ sn = n→∞ |
1 − n |
||
S = lim |
lim |
1 |
= 1. |
|
|||
Означення 3. Ряд, утворений з ряду (1.1.1) вiдкиданням перших n |
|||
÷ëåíiâ |
∞ |
|
|
an+1 + an+2 + · · · = |
kX |
|
|
|
ak, |
(1.1.3) |
|
називають з а л и ш к о м ряду (1.1.1). |
=n+1 |
|
|
|
|
|
|
Теорема 1. ßêùî ðÿä (1.1.1) çáiãà¹òüñÿ, òî çáiãà¹òüñÿ i ðÿä |
(1.1.3), i |
||
навпаки, якщо збiга¹ться ряд (1.1.3), то збiга¹ться i ряд (1.1.1). |
|||
Iз теореми 1 виплива¹, що вiдкидання скiнченно¨ кiлькостi членiв |
|||
ряду не вплива¹ на його збiжнiсть. |
|
|
|
Нехай ряд (1.1.1) збiга¹ться i ма¹ суму |
S, через sn позначимо ча- |
||
стинну суму ряду (1.1.1), символом |
|
||
rn позначимо суму ряду (1.1.3). Тодi
5
S = sn + rn. Перейдемо у цiй рiвностi до границi при n → ∞ (цей перехiд ¹ правомiрним, оскiльки {sn} i {rn} збiжнi послiдовностi):
nlim S = nlim sn + nlim rn S = S + nlim rn nlim rn = 0. |
||||
→∞ |
→∞ |
→∞ |
→∞ |
→∞ |
Тобто справджу¹ться твердження:
Якщо ряд (1.1.1) збiга¹ться, то сума ряду (1.1.3) пряму¹ до нуля, коли n → ∞.
1.2.Необхiдна умова збiжностi ряду
Розглянемо умови, за яких ряд (1.1.1) збiга¹ться. Нехай {sn} ïîñëi-
довнiсть його частинних сум. Тодi загальний член |
an ряду можна можна |
||
подати у виглядi |
|
||
an = sn −sn−1. Якщо ряд збiга¹ться, тобто якщо sn → S |
|||
ïðè n → ∞, äå S деяке фiксоване число, то iсну¹ границя |
|
||
nlim an = nlim (sn − sn−1) = S − S = 0. |
|
||
→∞ |
→∞ |
|
|
Отже, ми отримали твердження: |
|
|
|
Твердження 1.2. 1. |
ßêùî ðÿä ∞ an çáiãà¹òüñÿ, òî |
|
|
|
X |
|
|
|
n=1 |
|
|
|
lim an = 0. |
|
(1.2.1) |
|
n→∞ |
|
|
Умова lim an = 0 ¹ н е о б х i д н о ю умовою збiжностi ряду. При невиконаннinöi¹¨→∞ умови ряд розбiга¹ться. Якщо ця умова викону¹ться, то ряд може бути як збiжним, так i розбiжним.
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
||||
П р и к л а д 1. Очевидно, що для ряду 1 + √ |
|
+ √ |
|
+ · · · + |
√ |
|
+ · · · умова |
|||||
2 |
3 |
n |
||||||||||
(1.2.1) виконана: nlim an = nlim |
1 |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
||
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
→∞ |
→∞ |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Покажемо, що ряд ¹ розбiжним. Для будь-якого натурального n > 1 ìà¹ìî
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
n |
√ |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
sn = 1 + √ |
|
+ √ |
|
+ · · · + |
√ |
|
> |
√ |
|
+ |
√ |
|
+ · · · + |
√ |
|
|
|
= |
√ |
|
= n. |
|||||
2 |
3 |
n |
n |
n |
n |
n |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
{z |
|
|
} |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n доданкiв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Звiдси виплива¹, що lim sn = ∞, тобто даний ряд розбiга¹ться.
n→∞
6
1.3.Достатнi умови збiжностi рядiв з додатними членами
1.3.1.Ознаки порiвняння
Нехай заданi два ряди з д о д а т н и м и членами
∞
X
an |
(A) |
i=1
i
∞
X
bn. |
(B) |
i=1 |
|
Теорема 3 (перша ознака порiвняння). Якщо, починаючи з деякого
n > N, викону¹ться нерiвнiсть
an 6 bn,
то iз збiжностi ряду (B) виплива¹ збiжнiсть ряду (A), iз розбiжностi ряду (A) виплива¹ розбiжнiсть ряду (B).
Теорема 4 (друга ознака порiвняння). ßêùî iñíó¹ âiäìiííà âiä íóëÿ |
|||||||||||||||||||
скiнченна границя |
|
|
|
|
|
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
nlim |
|
= K, |
0 < K < ∞, |
|||||||||||||
|
|
|
|
b |
n |
||||||||||||||
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
то ряди (A) i (B) збiгаються або розбiгаються одночасно. |
|||||||||||||||||||
Ï ð è ê ë à ä 1. Ðÿä |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
+ |
|
|
+ · · · + |
|
|
|
+ · · · |
||||
|
|
|
22 |
|
33 |
nn |
|||||||||||||
çáiãà¹òüñÿ, îñêiëüêè |
1 |
1 |
|
|
äëÿ n > 2, à ðÿä |
|
|||||||||||||
|
|
< |
|
|
|
||||||||||||||
nn |
2n |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||||||
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
+ |
|
+ |
· · · + |
|
|
+ · · · |
|||||
|
|
|
|
22 |
|
23 |
2n |
||||||||||||
¹ збiжним його члени, починаючи з другого, утворюють нескiнченно спадну геометричну прогресiю (¨¨ знаменник дорiвню¹ 12 ).
П р и к л а д 2. Посилаючись на збiжний ряд (див. прикл. 2 на с. 5)
1 |
|
1 |
1 |
|
||
|
|
+ |
|
+ · · · + |
|
+ · · · , |
1 · 2 |
2 · 3 |
n(n + 1) |
||||
7
перекону¹мось у збiжностi ряду з меншими членами
|
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
+ · · · + |
|
+ · · · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
32 |
(n + 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 1 |
|
X |
|
|
|
|
|
|||
Îòæå, ðÿä |
n2 збiга¹ться, а разом iз ним збiга¹ться i ряд |
n2 . |
|
|
|
|||||||||||||||||
n=2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
sin 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
∞ |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||||
Ï ð è ê ë à ä 3. Ðÿä |
|
n |
çáiãà¹òüñÿ, îñêiëüêè |
lim |
|
|
|
= 1, à ðÿä |
|
|
|
|||||||||||
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n2 |
|
|
|
Xi |
|
2 , |
|||
|
|
n=1 |
n |
|
|
|
|
→∞ |
1 |
|
|
|
|
=n n |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
як було показано в попередньому прикладi, ¹ збiжним.
1.3.2.Ознака Даламбера
∞
Теорема 5 (ознака Даламбера). ßêùî äëÿ ðÿäó X an з додатними
членами an > 0, n = 1, 2, . . . iсну¹ границя |
n=1 |
||
|
|||
lim |
an+1 |
= p, |
(1.3.1) |
|
|||
n→∞ |
an |
|
|
òî:
1)ðÿä çáiãà¹òüñÿ ïðè p < 1;
2)ðÿä ðîçáiãà¹òüñÿ ïðè p > 1.
У випадку p = 1 ознака Даламбера вiдповiдi н е |
ä à ¹. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
||
Ï ð è ê ë à ä |
4. Äîñëiäèòè íà çáiæíiñòü ðÿä |
|
n! |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Òóò an = |
|
|
, òîäi an+1 |
= |
|
. Застосу¹мо ознаку Далам- |
||||||||||||
n! |
(n + 1)! |
|||||||||||||||||
áåðà: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
an+1 |
= lim |
n! |
= lim |
|
1 · 2 · · · n |
|
= |
lim |
|
1 |
|
= 0 < 1. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n→∞ |
an |
n→∞ (n + 1)! |
n→∞ 1 · 2 |
· · · n · (n + 1) |
n→∞ n + 1 |
|
||||||||||||
Ðÿä çáiãà¹òüñÿ.
X
∞ 2n
Ï ð è ê ë à ä 5. Äîñëiäèòè íà çáiæíiñòü ðÿä n=1 n2 . Р о з в ' я з а н н я. Знаходимо границю
|
an+1 |
|
2n+1 n2 |
|
|
n |
|
2 |
||
|
= n→∞ |
|
|
|||||||
n→∞ |
an |
(n + 1)2 |
2n |
n→∞ |
n + 1 |
|
|
|||
lim |
|
lim |
|
|
= lim 2 |
|
|
|
|
= 2 > 1. |
Ðÿä ðîçáiãà¹òüñÿ.
8
1.3.3.Ознака Кошi
∞
Теорема 6 (ознака Кошi). ßêùî äëÿ ðÿäó X an з додатними членами
n=1
an > 0, n = 1, 2, . . . iсну¹ границя
√
lim an = p, (1.3.2)
n
n→∞
òî:
1)ðÿä çáiãà¹òüñÿ ïðè p < 1;
2)ðÿä ðîçáiãà¹òüñÿ ïðè p > 1.
У випадку p = 1 ознака Кошi вiдповiдi н е |
ä à ¹. |
|
|
|||||||||||
При використаннi ознаки Кошi досить часто зустрiча¹ться границя |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
âèäó lim √nα, äå α фiксоване число. Покажемо, що ця границя до- |
||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
рiвню¹ 1. Позначимо y = lim √ |
|
, òîäi |
|
|
|
|
||||||||
nα |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
ln n |
|||||
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|||||
ln y = ln nlim |
√nα = nlim ln |
√nα = nlim |
|
· ln n = α nlim |
|
. |
||||||||
n |
n |
|||||||||||||
|
|
→∞ |
|
|
→∞ |
|
|
|
→∞ |
|
→∞ |
|
|
|
Границю з крайньо¨ право¨ частини цi¹¨ низки рiвностей знайдемо за правилом Лопiталя:
|
|
|
|
1 |
|
|
|
lim |
ln x |
= |
lim |
x |
|
= 0. |
|
x |
|
|
|||||
x→+∞ |
|
x→+∞ 1 |
|
|
|||
Îòæå, ln y = 0, тобто y = lim √ |
|
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
nα |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
∞ |
|
|
2n |
|
n |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||
Ï ð è ê ë à ä |
6. Äîñëiäèòè íà çáiæíiñòü ðÿä |
n=1 n4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
3n + 5 |
|
|
|||||||||||||||||||
Р о з в ' я з а н н я. Знаходимо границю |
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
nlim |
√an = nlim |
s |
|
|
|
|
= nlim |
√n4 · 3n + 5 = 1 · 3 < 1. |
|||||||||||||
n4 |
3n + 5 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2n |
n |
|
n |
|
|
2n |
|
|
2 |
|
|||||
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
→∞ |
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ðÿä çáiãà¹òüñÿ.
1.3.4.Iнтегральна ознака
∞
Нехай члени ряду X an мають вигляд
n=1
an = f(n), n = 1, 2, . . .
9
Теорема 7 (iнтегральна ознака Кошi). Якщо функцiя f(x), визна-
÷åíà íà ïðîìiæêó [1, +∞), додатна i спада¹, то ряд
∞
X
|
|
f(n) |
|
n=1 |
|
i iнтеграл |
+∞ |
|
|
||
|
Z |
f(x)dx |
|
1 |
|
збiгаються або розбiгаються одночасно. |
||
Застосування iнтегрально¨ ознаки значно полегшу¹ться, якщо фун- |
||
êöiÿ f(x) ¹ неперервною. У цьому випадку для функцi¨ f(x) iñíó¹ ïåðâi-
ñíà F (x) i
+∞
Z1 |
f x |
dx |
lim F (x) |
− |
F (1), |
( ) |
|
= x→+∞ |
|
тобто ряд ¹ збiжним, якщо границя |
lim F (x) скiнченна. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
x→+∞ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|||
Ï ð è ê ë à ä |
7. Розглянемо ряд |
|
|
. Öåé ðÿä ðîçáiãà¹òüñÿ: òóò an = f(n) = |
|
, |
|||||||||||||
|
|
n |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n |
|
|
|||||
ïåðâiñíà F (x) = Z |
1 |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|||||||
dx = ln x → +∞, êîëè x → +∞. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
x |
|
||||||||||||||||||
Ï ð è ê ë à ä |
8. Ðÿä |
|
∞ |
1 |
|
|
α > 1 çáiãà¹òüñÿ, îñêiëüêè ïåðâiñíà F (x) äëÿ ôóí- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n=1 |
nα , |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
êöi¨ f(x) = |
|
ма¹ скiнченну границю при x → +∞: |
|
||||||||||||||||
xα |
|
||||||||||||||||||
F (x) = Z |
|
1 |
dx = |
|
1 |
|
|
|
→ 0 ïðè x → +∞, ÿêùî α > 1. |
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
xα |
(1 − α)xα−1 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
||
Ï ð è ê ë à ä |
9. Äîñëiäèòè ðÿä |
|
íà çáiæíiñòü. |
|
|||||||||||||||
n ln n |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
1
Ð î ç â ' ÿ ç à í í ÿ. Òóò an = f(n) = n ln n. Знаходимо первiсну для функцi¨ f(x):
F (x) = Z |
x ln x dx = ln(ln x). |
|
|
1 |
|
Знаходимо границю
lim F (x) = lim ln(ln x) = +∞.
x→+∞ x→+∞
Ðÿä ðîçáiãà¹òüñÿ.
10