7. Методи обчислення інтегралів

1. Формула трапецій.

Н

ехай необхідно знайти визначений інтеграл. Замінимо на відрізкукриву на січну. Шуканий інтеграл ,рівний площі криволінійної фігури, заміняється на площу трапеції. З геометричних міркувань неважко написати для ньогофункції трапецій

(1)

Це одна з найпростіших квадратних формул. Знайдемо її похибку. Для цього розкладемо за формулою Тейлора, обираючи середину відрізку за центр розкладу, і вважаючи у функції є потрібні по ходу розмірковувань безперервні похідні:

(2)

Похибкою є різність точного і наближеного значень інтеграла. Підставляючи в (1) розклад (2), отримаємо головний член похибки

(3)

Де члени, отримані при заміні точної рівності наближеним, містять старші похідні і більш високі ступеня довжини відрізку інтегрування.

Взагалі кажучи, довжина відрізку (b – a) не мала, тому залишковий член (3) може бути великим. Для підвищення точності на відрізку вводять досить густу сітку. Інтеграл розбивають на суму інтегралів по кроках сітки і до кожного кроку застосовують формулу (1). Отримуютьузагальнену формулу трапеції.

(4)

На рівномірній сітці вона спрощується

.

Таким чином, узагальнена функція трапеції має другий порядок точності відносно кроку сітки.

Такий шлях дає точне значення для лінійних функцій.

2. Формула Симпсона.

П

рямі лінії занадто «жорсткі» для наближення кривих. Якщо ми бажаємо мати криву (апроксимувати), проводячи ряд відрізків прямої, потрібно для цієї мети провести велике число малих відрізків. Ми поступимо набагато краще, якщо апроксимуємо криву параболами другого порядку, поєднуючи три послідовні точки. Завжди можна знайти параболу виду

,

Яка проходить через три завдані точки.

Розіб'ємо всю площу на парну кількість смуг, відкладаючи, таким чином, непарну кількість ординат.

Вивід формули для інтегралу не містить нових ідей, у порівняння з виводом формули трапецій, проте є більш громіздким.

Для трьох вузлів формула Симпсона

,

Узагальнена формула Симпсона для рівномірної сітки і парному

Для довільних нерівномірних сіток формули такого вигляду не складають.

Формула Симпсона точна для будь-якого багаточлена другої степені. Але не важко перевірити, що для ця формула також точна, тобто вона точна для багаточлена третьої степені. Це пояснюється тим, що на рівномірній сітці залишковий член формули трапеційвідрізняється тільки по парним степеням кроку.

Похибка формули Симпсона обчислюється аналогічно формулі трапецій. За центр беруть вузол для кожної пари інтерваліві.

Після додавання попарно сусідніх інтервалів отримаємо

тобто формула Симпсона має четвертий порядок точності, а чисельний коефіцієнт в залишковому члені дуже малий. Ця формула, зазвичай, дає гарну точність при невеликій кількості вузлів (якщо четверта похідна функції не занадто велика).

3. Формула прямокутників (середніх).

Я

кщо на відрізку взяти єдиний вузолквадратної формули, то функція апроксимується константою. Оскільки симетрія формули чисельного інтегрування призводить до підвищення її точності, то оберемо в якості єдиного вузла середину відрізка. Наближено заміняючи площу криволінійної трапеції площеюпрямокутника, отримаємо формулу середніх

Похибка формули описується стандартно. В даному випадку за центр розкладу потрібно брати середину відрізка, тобто вузол квадратурної формули. Неважко отримати:

Про обчисленні знищується не тільки перший, але й другий член розкладу Тейлора. Це пов'язане з симетричним побудуванням формули середніх, і означає, що формула точна для будь-якої лінійної функції.

Такс само, як і для формули трапецій, для підвищення точності вводиться досить подобна сітка і складається узагальнена формула середніх

На рівномірній сітці вона має вигляд

.

Зауваження 1. залишковий член формули середніх приблизно в 62 рази менший, ніж у формули трапецій. Тому, якщо значення функції однакове, легко визначити в будь-яких точках, то краще вести розрахунок по більш точній формулі середніх. Формулу трапецій використовують тоді, коли функція завдана лише в вузлах сітки, а всередині інтервалів невідома.

Зауваження 2. Знаки головного члена похибки в формулі трапецій і середніх відрізняються. Тому, якщо є розрахунки за обома формулами, то точне значення лежить, як правило, у вилці між ними. Ділення цієї величини у відношенні 2:1 дає уточнений результат, відповідний формулі Симпсона.

8. ЧИСЕЛЬНЕ РІШЕННЯ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ

Задача Коші.

П

отрібно знайти рішення звичайного диференційного рівняння

(1)

що задовольняє початковій умові .

Іншими словами, потрібно знайти криву , що проходить крізь завдану точку(рис. )

Для диференційного рівняння n-ного порядку

Задача Коші полягає в знаходженні рішення , що враховує початкові умови

де – завдані числа.

Систему, що містить похідні вищих порядків, і вирішену відносно старших похідних шуканих функцій шляхом введення нових невідомих функцій можна привести до вигляду (5)

Зокрема, для диференційного рівняння n-ного порядку

вважаючи будемо мати еквівалентну систему

У векторному вигляді

(*)

, ,.

Так як система диференційних рівнянь має незліченну можність рішень, то для виділення одного конкретного рішення , крім рівняння потрібні додаткові умови. У найпростішому випадку завдаються початкові умови

(**)

Що приводить до задачі Коші:

знайти рішення системи (*), що задовольняє завданим початковим умовам (**), де– фіксоване значення незалежної змінної і

В доданках часто зустрічаються системи звичайних диференційних рівнянь. Обмежимось розглянутою нормальною системою n-ного порядку звичайних диференційних рівнянь:

де – невідома змінна,– шукані функції.

Метод Ейлера.

Нехай завдана задача Коші

(1)

Оскільки за визначенням похідної є границя відношенняпри, то заміняючи похідну цим кінцевим відношенням, отримаємо замість диференційного різницеве рівняння

чи

Таким чином, знаючиможна знайти послідовно всі.

Метод Ейлера є найпростішим чисельним методом інтегрування диференційних рівнянь.

Його недоліки:

1. мала точність;

2. систематичне накоплення помилок.

Можна довести, що якщо безперервна, то послідовність ламаних Ейлера прина досить малому відрізкурівномірно наближається до шуканої інтегральної кривої

Метод легко розповсюджується на системи диференційних рівнянь. Мала точність зумовлена тим, що інтеграл диференційного рівняння (1) на кожному частковому відрізку представляється двома членами ряду Тейлора.

тобто для цього відрізку існує похибка порядку .

Крім того, при обчисленні значень на наступному відрізку початкові данні не є точними і містять похибки, що залежать від неточностей попередніх обчислень.

Метод Рунге-Кутта.

Цей метод дозволяє спростити схеми різного порядку точності. Наприклад, схема ламаних є схема Рунге-Кутта першого порядку точності. Схеми, що найбільш використовуються, є схеми четвертого порядку точності, що утворюють сімейство чотириточечних схем.

Приведемо ту з них, яка записана в більшості програм на ПЕОМ

,

,

Формули більш високого порядку точності майже не застосовуються. П'ятиточкові формули мають всього лише четвертий порядок точності; шести точкові мають шостий порядок точності, але вони дуже громіздкі. Крім того, високий порядок реалізується лише при наявності в правій частині безперервних похідних відповідного порядку.

Переваги:

1. хороша точність;

2. це явний метод, тобто значення знаходяться за раніше знайденим значенням;

3. допускають змінний крок, тобто неважко зменшити крок там, де функція швидко змінюється, і збільшити його в протилежному випадку;

4. всі обчислення ідуть за одними формулами.

Крок сітки варто обирати настільки малим, щоб забезпечити потрібну точність розрахунку; інших обмежень на крок нема. Практично вибір кроку здійснюється після попередніх розрахунків зі згущенням сітки.