6. Ітераційні методи рішення систем рівнянь

Метод простої ітерації.

Для системи рівнянь

чи у векторному вигляді (1)

Нехай діагональні коефіцієнти .

Вирішимо перше рівняння відносно , друге –, і так далі. Отримаємо еквівалентну систему.

(2)

де приіпри(3)

Оберемо довільно початкове наближення коренів

(4)

намагаючись, звісно, щоб вони певною мірою відповідали шуканим невідомим .

У якості початкового наближення можна взяти, наприклад, стовпчик відповідних членів

(4').

Знайдемо перше наближення системи за формулами (2)

чи

,

Друге наближення знаходять аналогічно:

,

Якщо відомо k-е наближення коренів, то (k + 1)-е знаходиться аналогічно

, .

Якщо послідовність наближень має границю

то ця границя є рішенням системи (2).

На практиці розрахунок наближень виконується до тих пір, поки буде виконуватись умова

ε – попередньо завдане мале число.

Приклад.

Вирішимо систему

Рішення.

В даному випадку діагональні коефіцієнти 4, 3, 4 системи значно переважають над іншими коефіцієнтами при невідомих. Приведемо цю систему до нормального вигляду

(*)

За нульові наближення коренів приймаємо

Підставляючи ці значення в праві частини рівнянь, отримаємо перші наближення коренів:

Перевіряємо похибку

Далі, підставляючи ці знайдені наближення в формулу (2) отримаємо друге наближення коренів

.

Після третьої підстановки будемо мати третє наближення коренів

і так далі.

Зауваження.

1. Інколи вигідно приводити систему (1) до вигляду (2) так, щоб коефіцієнти не були рівня нулю. Наприклад, рівняння

Природно записати у вигляді

Взагалі маємо систему

Можна вважати

де . Тоді дана система еквівалентна приведеній системі

,

де при

2. Початковий вектор може бути взятий довільно. Немає необхідності за нульові наближення приймати саме стовпчик вільних членів. Збіжність процесу ітерації залежить лише від властивостей матриці α, причому при виконанні відомих умов. Якщо цей процес протікає при будь-якому виборі вихідного начального наближення, то він буде сходитися до того ж граничного вектора і при будь-якому іншому виборі початкового наближення.

Достатні умови збіжності.

Без доказу:

Теорія. Якщо для приведеної системи (2) виконане хоча б одна з умов

1)

чи

2)

То процес ітерації (3) сходиться до єдиного рішення цієї системи, не залежно від обрання початкового наближення.

Наслідки. Для системи

Метод ітерації сходиться, якщо виконуються нерівності

тобто модулі діагональних коефіцієнтів для кожного рівняння системи більше суми модулів усіх інших коефіцієнтів (не враховуючи вільних членів).

Умова є достатньою, але не необхідною. Це означає, що навіть при порушенні її може мат місце збіжність.

Приведення системи до вигляду, зручному для ітерації.

З заданої системи обирають рівняння з коефіцієнтами, модулі яких більше суми модулів інших коефіцієнтів рівняння. Кожне виділене рівняння записують у таку строку нової системи, найбільший за модулем коефіцієнт опинився діагональним.

З залишившихся невикористаних і виділених рівнянь складають лінійно незалежні між собою лінійні комбінації так, щоб виконувався приведений вище принцип комплектування нової системи. При цьому необхідно потурбуватися, щоб кожен невирішене раніше рівняння теж потрапило б в одну лінійну комбінацію.

Наприклад:

В новій системі

(А) – (Б): буде рівнянням (ІІ).

У нову систему увійшли рівняння (А), (Б) і (Г) тому в рівняння (ІV) обов’язково має увійти рівняння (В).

За рівняння (ІV) можна взяти 2(А) – (Б) + 2(В) – (Г) тобто

Метод Гауса-Зейделя (Зейделя).

Метод являє собою певну модифікацію методу інтерполяції. Основна ідея полягає в тому, що при обчислювані (k + 1)-го наближення невідомої враховуються вже обчислені раніше (k + 1)-го наближення невідомі .

Нехай дана приведена система

,

Обираємо довільно початкові наближення коренів

.

Далі, вважаючи, що k-те наближення відомо, будемо будувати (k + 1)-е наближення коренів за формулами

Розрахунки виконуються до тих пір, поки ,k = 0, 1, 2,…

Зауваження:

1. Теорема збіжності лишається вірною для метода Гауса-Зейделя.

2. Зазвичай метод Гауса-Зейделя дає кращу збіжність, ніж метод простої ітерації.

Приклад.

Діагональне переважання.

(*)

Знайдемо похибку на першій стадії

Нехай похибка дорівнює .

Тоді , тому знову підставляємов (*) і отримаємоі так доти, док не виконається умова.