2. Методи розв'язання рівнянь теплофізики

Наближене рішення алгебраїчних і трансцендентних рівнянь.

Якщо рівняння алгебраїчне чи трансцендентне досить складне, то його корені порівняно рідко вдається знайти точно. Крім того, в деяких випадках рівняння містить коефіцієнти, відомі лише приблизно, і, отже безпосередньо задача щодо точного визначення коренів рівняння втрачає смисл. Тому важливе значення отримують способи наближеного знаходження коренів рівняння і оцінки ступеня їх точності.

Нехай дане рівняння

(1)

де функція визначена і безперервна у певному кінцевому чи безкінечному інтервалі.

Будь-яке значення ξ, що обертає функцію в нуль, тобто, називається коренем рівняння (1) чи нулем функції.

Будемо вважати, що рівняння (1) має лише ізольовані корені, тобто, для кожного кореня рівняння (1) існує окіл, який не містить інших коренів цього рівняння.

Наближене знаходження ізольованих дійсних коренів рівняння, зазвичай, складається з двох етапів:

1. визначення коренів, тобто встановлення проміжків , в яких міститься один і лише один корінь рівняння (1);

2. уточнення наближених коренів, тобто доведення їх до завданої точності.

Для визначення коренів корисна відома теорема з математичного аналізу:

Я

α

β

ξα

ξ'α

yα

xα

y=f(x)

кщо безперервна функціяприймає значення різних знаків н кінцях відрізку, тобто, то всередині цього відрізку міститься хоча б один корінь рівняння, тобто знайдеться хоча б одне числотаке, що. (рис. 1).

К

Рис. 1.

орінь завідомо буде єдиним, якщо похіднаіснує і зберігає постійний знак всередині інтервалу, тобто якщо(чи) при(рис. 2).

Рис. 2

Процес визначення коренів починається з встановлення знаків в граничних точкахіобласті її існування.

Потім визначаються знаки функції в ряді проміжних точоквибір яки враховує особливості функції. Якщо виявиться, що,то в силу теореми в інтерваліє корінь рівняння. Потрібно тим чи іншим способом упевнитися, чи є цей корінь єдиним. Для визначення коренів практично часто буває достатньо провести процес половинчастого ділення, наближено ділячи даний інтервална дві, чотири, вісім і так далі рівних частин (до певного кроку), визначаючи знаки функціїв точках ділення. Корисно пам'ятати, що алгебраїчне рівнянняn-ної степені

,

має не більш n дійсних коренів. Тому, якщо для такого рівняння ми отримаємо n + 1 зміну знаків, то всі корені його визначені.

Графічне вирішення рівнянь.

Дійсні корені рівняння

(1)

Наближено можна визначити, як абсциси точок перетину графіка функції з віссюОх. Якщо рівняння не має близьких коренів, то цим способом його корені легко визначаються.

На практиці часто буває рівняння (1) вигідно замінити рівносильним йому рівнянням (рівняння вважаються рівносильними, якщо вони мають однакові корені)

(2)

де функції більш прості, ніж функція.

Шукані корені отримаємо як абсциси точок перетину цих графіків.

Приклад.

Графічно вирішити рівняння x lg x=1

Рішення:

Запишемо рівняння рівністю

Побудувавши криві і, наближено знайдемо єдиний корінь.

Метод половинчастого ділення (метод вилки).

Якщо дане рівняння , де функція безперервна наі.

Для знаходження кореня рівняння (1), що належить відрізку , ділимо цей відрізок навпіл. Якщо, тоє коренем рівняння. Якщо, то обираємо ту з половинчи, на кінцях яких функція має протилежні знаки. Новий звужений відрізокзнову ділимо навпіл і проводимо те саме розглядання і так далі. В результаті отримаємо на певному етапі чи точений корінь рівняння (1), чи нескінченну послідовність викладених одне в одного відрізків,, …,… таких, що

(n = 1, 2, …) (2)

(3)

Так як ліві кінці утворюють монотонну неубутну обмежену послідовність, а перші кінці– монотонну обмежену послідовність, що не зростає, то в силу рівняння (3) існує загальна границя

Переходячи до границі в нерівності (2), в силу безперервності функціїотримаємо. Звідси, тобтоξ є коренем рівняння (1), причому, очевидно, .

Якщо корені рівняння (1) не визначені на відрізку , то таким способом можна знайти один з коренів рівняння (1). Метод легко реалізується на ПЕОМ.

Метод ітерацій (послідовних наближень).

Сутність методу. Нехай дане рівняння , де– безперервна функція, і вимагається знайти його дійсні корені. Замінимо рівняння (1) рівносильним рівнянням

(2)

Оберемо будь-яким способом грубо наближені значення кореня і підставимо його в праву частину рівняння (2). Тоді отримаємо певне число

(3)

Підставляючи тепер в праву частину рівності (3) замість число, отримаємо нове число. Повторюючи процес, будемо мати послідовність чисел

, (4)

Якщо ця послідовність – збіжна, тобто існує границя , то переходячи до границі в рівності (4) і вважаючи функціюнеперервною, знайдемо

чи

(5)

Таким чином, границя ξ є коренем рівняння (2) і може бути обчислена за формулою (4) з будь-яким ступенем точності.

Г

Рис. 3 (І)

Рис. 3 ІІ

Рис. 3 ІІ

еометричний спосіб інтерполяції може бути пояснений так. Побудуємо на площиніОху графік функції і. Кожен дійсний коріньξ рівняння (2) є абсцисою точки перетину М кривої з прямою(рис. 3).

Відправляючись від певної точки будуємо ламану…

Метод релаксації.

При інженерних рішеннях рівнянь часто бажано від ітерації до ітерації прискорювати чи уповільнювати зміну функції. Цей спосіб часто використовують для того, щоб уникнути розбіжності при ітераціях.

Позначимо через значення змінноїна попередній ітерації, тоді маємо

(1)

Додамо і віднімемо в правій частині

З правого боку знаходиться зміна, отримане на попередній ітерації. Цю зміну можна скорегувати введенням коефіцієнта :

(*)

При збіжності ітерації стає рівним. З рівняння (*) витікає, що в наслідок ітерації значеннязадовольняє рівнянню (1).

Якщо – нижня релаксація.

– верхня релаксація.

Загального правила для вибору α немає.

Оптимальне α вибирають виходячи з фізично поставленої задачі і попередніх обчислень.

α може мінятися від ітерації до ітерації.

Метод Ньютона (дотичних).

Н

Рис. 4

еобхідно знайти коріньна ділянці, початкове наближення.

1) знаходимо дотичну в точці

оскільки точка задовольняє рівнянню дотичних і, то

Рівняння дотичної

Для наступного наближення :

У точці знову проводимо дотичну і так далі

(*)

Зауваження: якщо обирати , тотобто поза відрізку. Тому початкове наближенняповільно задовольняти нерівності

.

Якщо , то метод Ньютона має вигляд

Тому, застосовуючи метод Ньютона, варто керуватися наступним правилом: в якості вихідної точки обирається той кінець інтервалу, якому відповідає ордината того самого знаку, що і знак.

Зауваження.

З формули (*) витікає, що чим більше чисельне значення похідної в околі даного кореня, тим менше поправка, яку потрібно додати до-ого наближення, щоб отриматиі-те наближення.

Тому метод Ньютона особливо зручно застосовувати, коли в околі даного кореня графік функції має більшу крутизну. Проте чисельне значення похідної коло кореня мале, то поправки будуть великі, і обчислення кореня по цьому методу може виявитись довгим, а інколи і взагалі неможливим. Тобто якщо криваколо точки перетину зОх майже горизонтальна, то використовувати метод Ньютона не рекомендується.

Рис. 5

Видозмінений метод Ньютона.

Якщо похідна мало змінюється на відрізку, то в формулі (*) можна вважати.

Тоді для кореня ξ рівняння отримаємо послідовне наближення

(**)

Геометрично цей спосіб означає, що ми заміняємо дотичну в точці прямими, паралельними дотичній до кривої, в її фіксовані й точці.

По формулі (**) немає необхідності обчислювати кожен раз значення похідної , тому ця функція корисна, якщоскладна. Можна довести, що у припущенні сталості знаків похіднихіпослідовне наближення (**) дають збіжний процес.

Метод хорд (метод пропорційних частин)

З

Рис. 6

амінимо кривухордою, яка проходить через точкиі. Рівнянням хорди буде

в точці , тоді

(1)

Для доведення збіжності вважатимемо, що корінь відділений і зберігає знак на відрізку. Нехай для визначеностіпри(випадокзводиться до нашого, якщо записати рівняння в загальному вигляді).

Тоді крива буде випукла донизу а, отже розташована нижче хорди А-В. можливі два випадки:

1) 2)

В першому випадку кінець а нерухомий і послідовне наближення при

(2)

утворюють обмежену монотонно убуваючу послідовність, причому

.

В другому випадку нерухомий кінець b, а послідовне наближення

(3)

Утворюють обмежену монотонно зростаючу послідовність, причому

.

Узагальнюючи результати, заключаємо:

1. нерухомий той кінець, для якого знак функції співпадає зі знаком її другої похідної;

2. послідовне наближення лежить по той бік кореняξ, де функція має знак, протилежний знаку її другої похідної.

Нехай

(границя існує, так як послідовність обмежена і монотонна).

Переходячи до границі (в рівнянні (2) будемо мати)

.

Так як за припущенням рівняння має єдиний корінь на, то.

Аналогічно, при переході до границі в (3) доводячи, що для випадку (2).