Глава 4 Средние величины

4.1. Методические указания и решения типовых задач

Средняя величина есть обобщенная количественная характеристика единиц совокупности по вариации определенного признака. Она рассчитывается на единицу этой совокупности. В статистике используются различные виды средних величин: агрегатная, арифметическая, гармоническая, геометрическая, средний квадрат и др. Выбор средней зависит как от поставленной задачи, которую правильно может разрешить только определенная средняя, так и от характера и содержания исходного материала, имеющегося в конкретном случае. При расчете средних величин необходимо исходить из экономического содержания статистических показателей.

В основе такого подхода лежит исходное соотношение средней, а именно:

Средний уровень признака =	Итог значений признака по совокупности явлений
	Число единиц совокупности

Так, например, средняя урожайность представляет собой соотношение сбора урожая со всей площади (валовой сбор) и размера посевной площади (выраженной в гектарах). Уточняя исходное соотношение средней, можно сформулировать и более общее положение расчета средних величин (показателей): средние величины (показатели) рассчитываются таким же способом, как и индивидуальные показатели, только на основе данных по совокупности в целом. Если, например, уровень (процент) брака по отдельным предприятиям вычисляется делением объема бракованной продукции на объем всей продукции (результат деления умножается на 100), то по совокупности предприятий необходимо просуммировать объемы бракованной и всей продукции, а затем первое число разделить на второе, выражая полученный результат в процентах.

Уяснив экономическую природу средней величины, необходимо, чтобы все процедуры (операции) ее вычисления имели реальный смысл с точки зрения исходного соотношения средней.

Основанием для расчета средних величин является определяющее свойство средней, заключающееся в том, что сумма (произведение) индивидуальных значений признака равно сумме (произведению) средних значений признака по объему изучаемой совокупности. Это свойство свидетельствует о том, что средняя величина является уравнительным значением признака для всех единиц совокупности.

Реализуя исходное выражение расчета средней, используются различные формулы расчета средних величин.

Средняя арифметическая.Применяются формулы средней арифметической простой и взвешенной.

Если исходные данные осредняемого признака представлены в несгруппированном виде (как индивидуальные значения первичного признака у отдельных единиц совокупности), то в этом случае средняя рассчитывается по формуле средней арифметической простой:

, (4.1)

где – среднее значение признака; х – индивидуальные значения признака у каждой единицы совокупности;– знак суммирования;n– число единиц совокупности.

Если исходные данные представлены в сгруппированном виде, т.е. в виде рядов распределения (дискретных или интервальных), то средняя величина в таких случаях рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной:

, (4.2)

где х – варианты значений осредняемого признака; f– частоты (веса) для каждого из вариантов признака, показывающие их повторяемость.

Частоты ряда распределения можно заменить их удельными весами, т.е. частостями ()

(4.3)

(4.4)

В таких случаях формула расчета средней примет вид:

, (4.5) или, (4.6) если удельные весавыражены в признаках.

Средняя гармоническая. Если известны варианты значений осредняемого признака (х) и их суммарные (итоговые) результаты (M=xf), то в этом случае средняя рассчитывается по формуле средней гармонической взвешенной:

. (4.7)

Если вместо абсолютных значений (М), вычислить их удельные веса, т.е.

; (4.8)

, (4.9)

то формула расчета средней примет вид:

, (4.10)

или , (4.11)

если удельные веса (d_M) выражены в процентах

При M–constсредняя гармоническая взвешенная преобразуется в среднюю гармоническую простую:

(4.12)

Задача 1.Имеются следующие условные данные об урожайности картофеля.

Таблица 4.1

Хозяйства Номер п/п/	Базисный период			Отчетный период
	Урожайность картофеля, ц/га (х)	Посевная площадь, га (f)	Доля посевной площади (df)	Урожайность картофеля, ц/га (х)	Валовой сбор картофеля, ц (М)	Посевная площадь картофеля, ц
1	2	3	4	5	6	7
1	180	300	0,30	190	57000	300
2	200	200	0,20	210	42000	200
3	250	500	0,50	260	130000	500
Итого		1000	1,0		229000	1000

Определим среднюю урожайность картофеля в базисном периоде, используя формулу средней арифметической взвешенной:

ц/га.

Такой же результат получим на основе данных доли посевов в общем их итоге (d_f):

ц/га.

Вычислим среднюю урожайность картофеля в отчетном периоде, применив формулу средней гармонической взвешенной:

ц/га.

Во всех случаях, когда известны значения числителя и знаменателя исходного соотношения средней, средняя вычисляется по формуле средней агрегатной:

. (4.13)

Применительно к отчетному периоду будем иметь среднюю урожайность картофеля:

ц/га.

Средний квадрат. При решении ряда задач возникает необходимость вычисления среднего квадрата вариантов признака. Для этого случая используется формула:.

Задача 2. Имеются следующие условные данные штабелях бревен.

Таблица4.2.

№№ штабеля	1	2	3	4
Радиус бревен в штабеле, см (r)	10	12	15	20
Количество бревен, шт. (f)	200	100	600	100

Известно, что Среднюю площадь сечения бревна можно определить из выражения:

Для расчета среднего квадрата радиуса бревна используем формулу:

.

Величина средней площади сечения бревна составит: = =657,516 см².

Расчет средних величин на основе взаимосвязи признаков.Например, затраты на производство валового сбора зерновых (3) можно представить произведением трех признаков: себестоимости 1 ц. зерна (z), урожайности зерновых (х) и размера посевной площади (f). Взаимосвязь указанных признаков посредством символов будет выражена:

З = zxf. (4.15)

Уровень средней урожайности зерновых культур определим на основе взаимосвязи признаков по следующей формуле:

.

Средний уровень себестоимости 1 ц. зерновых культур будет вычислен по формуле:

. (4.16)

В каждом конкретном случае формула расчета среднего значения признака определяется экономическим содержанием взаимосвязи признаков и исходным соотношением расчета средней величины.

Вычисление средней арифметической по вариационным интервальным рядам.В подобных рядах необходимо предварительно по каждой группе от интервальных значений признака перейти к их дискретным выражениям путем определения полусумм нижней и верхней границ интервалов ряда распределения.

Средние затраты времени на одну деталь вычислим обычным (прямым) способом по формуле средней арифметической взвешенной (значения числителя и знаменателя формулы средней возьмем из табл. 4.3.):

мин.

Задача 3. Имеются следующие данные о распределение деталей по затратам времени на их изготовление.

Таблица 5.3.

Затраты времени на производство деталей, мин.	Количество деталей, шт. (f)	Середина интервала (х)	xf	x-A			Накопленные частоты
1	2	3	4	5	6	7	8
до 10	10	9	90	-4	-2	-20	10
10-12	10	11	110	-2	-1	-10	20
12-14	50	13	650	0	0	0	70
14-16	20	15	300	2	1	20	90
16 и выше	10	17	170	4	2	20	100
Итого	1000		1320			10

В рядах распределения с равными интервалами значение средней вычислим по преобразованной формуле («способ условного момента»).

Вычислим среднюю арифметическую из значений – первый условный момент (m₁), где; к – кратный делитель, равный величине интервала для рядов распределения с нечетным числом интервалов и– для рядов распределения с четным числом интервалов (i– величина равного интервала).

Первый условный момент исчисляется по формуле:

;

а среднее значение признака

мин.

Структурные средние.К их числу относятся мода, медиана и соответствующие квартильные характеристики.Мода(М₀) – величина признака (варианта), которая встречается в ряду распределения с наибольшей частотой (весом). В дискретных рядах распределения значение моды определяется визуально, то есть по наибольшей частоте. Если же варианты ряда распределения заданы в виде интервалов, равных по величине, то сначала находится модальный интервал, т.е. интервал, обладающий наибольшей частотой, а затем – приближенное значение модальной величины признака по формуле:

, (4.17)

где x_mo– нижняя граница модального интервала;i_mo– величина модального интервала;f_mo-1– частота интервала, предшествующего модальному;f_mo– частота модального интервала;f_mo+1– частота интервала, следующего за модальным.

Вычислим значение модальной величины признака на основе данных табл. 4.3.:

мин.

Медиана (М_е) – величина признака у единицы совокупности, находящейся в середине ранжированного (упорядоченного) ряда. Если ряд распределения представлен конкретными индивидуальными значениями признака в ранжированном порядке, то значение медианы находится как серединное значение признака (например, число значений нечетное – 55, то М_есоответствует 28-му в ряду значений признака; если же число значений четное – 56, то М_есоответствует полусумме 28 и 29 значений признака). Если варианты в ряду распределения представлены в виде равных интервалов, то первоначально находят медианный интервал, который содержит единицу, находящуюся в середине ранжированного ряда. Для определения этого интервала сумму частотделят пополам и на основе последовательного накопления (суммирования) частот интервалов, начиная с первого, находят интервал, где расположена медианная единица. Приближенное значение медианы в медианном интервале исчисляют по формуле:

(4.18)

где х_me– нижняя граница медианного интервала;i_me– величина медианного интервала;– сумма частот ряда;S_me-1– накопленный итог численностей до медианного интервала;f_me– численность медианного интервала.

Вычислим значение медианной величины признака на основе данных табл. 4.3.:

мин.

Следовательно, 50% изделий произведены с затратами времени 13,2 мин и меньше на одну деталь, а 50% – больше, чем 13,2 мин.

Квартили– это значения признака в ранжированном ряду, выбранные таким образом, что 25% единиц совокупности будут меньше величиныQ₁; 25% единиц будут заключены между Q₁и Q₂; 25% – междуQ₂иQ₃; остальные 25% превосходят Q₃. Квартили определяется по формулам, аналогичным формуле для расчета медианы. Так значение первой квартили (Q₁) определяется по формуле:

(4.19)

где – нижняя граница интервала, в котором находится первая квартиль;– накопленные итоги численностей интервалов, предшествующих интервалу, в котором находится первая квартиль;– величина первого квартильного интервала;– частота интервала, в котором находится первая квартиль.

Вычислим значение первой квартили по данным табл. 4.3.:

мин.

Таким образом 25% изделий произведены с затратами времени 12,2 мин. и меньше на одну деталь, а 75% – больше чем 12,2 мин.

Вторая квартиль равна значению медианы, т.е.

Q₂=M_e. (4.20)

Значение третьей квартили определяется по формуле:

(4.21)

(условные обозначения те же, что и для величины Q₁, только применительно к расчету третьей квартили). Определим значение третьей квартили на основе данных табл. 4.3.:

мин.

Применительно к данному примеру следует, что 75% изделий произведены с затратами времени 14,6 мин. и меньше на одну деталь, а 25% – больше, чем 14,6 мин.