Проверка гипотез о равенстве средних значений при известной и неизвестной дисперсии.

Имеются две генеральные совокупностиисизвестными дисперсиями и. Необходимо проверит гипотезу о равенстве генеральных средних, т.е. : . Для проверки этой гипотезы взяты две независимые выборки объемамии, по которым найдены средние арифметическиеи. В качестве критерия принимаем нормированную разность междуи:

.

Поскольку , то критерий при известных генеральных дисперсиях будет равен:

При выполнении гипотезы критерий при больших объемах выборок или при малых, при условии, что генеральные совокупностииподчиняются нормальному закону, так же будет подчиняться нормальному законус нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Поэтому, например, при конкурирующей гипотезе, выбирают двухстороннюю критическую область. Критическое значение критериявыбираем из условия:

.

Если фактически наблюдаемое значение критерия по абсолютному значению больше критического, определенного на уровне значимости, т.е., то гипотеза отвергается.

Если , то делаем вывод, что нулевая гипотеза не противоречит имеющимся наблюдениям.

При неизвестных генеральных дисперсиях и, но они равны, т.е., то в качестве неизвестной величиныможно взять ее оценку – «исправленную» выборочную дисперсию:

или .

Однако лучшей оценкой дисперсии разности независимых выборочных средних будет дисперсия смешанной совокупности:

.

В этом случае критерий вычисляем по выражению:

.

Доказано, что в случае критерий имеет распределение Стьюдента сстепенями свободы. Поэтому критическое значение критериянаходится в зависимости от типа критической области по функциираспределения Стьюдента, т.е..

При этом сохраняется тоже правило принятия гипотезы: гипотеза отвергается на уровне значимости , еслии принимается, если, т.е. с надежностьюможно считать расхождение средних значений незначимым.

В случае невозможности наложения допущения о равенстве генеральных дисперсий задача не имеет точного решения (пока) – это проблема Беренса-Фишера.

Рассмотренные критерии можно применять для исключения грубых ошибок при проведении наблюдений.

Например, если в ряде наблюдений ,- резко отличается, то справедливость гипотезы : о принадлежностик остальным наблюдениям проверяем по критерию:

,

где - средняя арифметическая,-«исправленное» среднее квадратическое отклонении ряда наблюдений. При справедливости критерий должен подчиняться так же закону распределения Стьюдента со степенью свободы . При конкурирующей гипотезеили, т.е. является ли резко выделяющееся значение меньше или больше остальных наблюденийнаходится по функциираспределения Стьюдента при условии, что. Если, то гипотеза принимается. При условии , гипотеза отвергается.

Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей.

Проверка гипотезы , о том, что дисперсии двух нормально распределенных генеральных совокупностей , сводится к сравнению выборочных «исправленных» дисперсийи, вычисляемые по двум независимым выборкам объемоми. В качестве критерия принимается отношение выборочных «исправленных» дисперсийи:

.

Доказано, что при справедливости гипотезы критерий представляет собой случайную величину с распределением Фишера-Снедекора с степенями свободыи.

Поэтому, выбрав необходимый уровень значимости по таблицам распределения Фишера-Снедекора, находим критическое значение.

Если , то гипотеза принимается.