Лекция 11. Связь между генеральной и выборочной совокупностью.

Понятие генеральной совокупности в определенном смысле аналогично понятию случайной величины (закону распределения, вероятностному пространству). Выборку можно рассматривать, как некий эмпирический аналог генеральной совокупности.

Средние арифметические распределения признака в генеральной и выборочной совокупностях называются соответственно генеральной и выборочной средними.

Дисперсии этих распределений называют генеральной и выборочной дисперсиями.

Отношение числа элементов генеральной ивыборочной совокупностей, обладающих некоторым признаком, к их объемам, называются соответственно генеральнойи выборочной долями.

В случае бесконечной генеральной совокупности (под генеральной средней и дисперсией понимаются соответственно математической ожиданиеи дисперсияраспределение признака(генеральной совокупности), а под генеральной долей- вероятность данного события.

Сущность выборочного метода состоит в том, чтобы по некоторой части генеральной совокупности (по выборке) выносить суждение о свойствах генеральной совокупности в целом.

Чтобы по данным выборки можно было достоверно судить о генеральной совокупности, выборочная совокупность должна быть отобрана случайно (т.е. по схеме случая или «урн»). При случайном отборе используют два способа образования выборки:

• Повторный отбор, когда каждый элемент, отобранный и обследованный, возвращается в общую совокупность и может быть повторно отобран;

• Бесповторный отбор, когда отобранный элемент не возвращается в общую совокупность.

Оценкой неизвестного параметра генеральной совокупности называют всякую функцию результатов наблюдений над случайной величиной, с помощью которой судят о значении параметра. Оценка в отличие от оцениваемого параметра являетсяслучайной величиной, зависящей от закона распределения и числа(объема выборки).

В качестве оценок параметров генеральной совокупности желательно использовать оценки, удовлетворяющие одновременно требованиям несмещенности, состоятельности и эффективности.

Оценка параметраназываетсянесмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру:

Требование несмещенности гарантирует отсутствие систематических ошибок при оценивании.

Оценкапараметра называетсясостоятельной, если она удовлетворяет закону больших чисел, т.е. сходится по вероятности к оцениваемому параметру:

или .

Оценкапараметраназываетсяэффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных оценок параметра , вычисленных по выборкам одного и того же объема.

Оценки можно находить методамимоментов, максимального правдоподобия и наименьших квадратов.

Согласно методу моментов, определенное количество выборочных моментов (начальных или центральный) приравнивается к соответствующим теоретическим моментам распределения (и) случайной величины.

Основы метода наибольшего правдоподобия составляют функции правдоподобия, выражающая плотность вероятности совместного появления результатов выборки :

.

Согласно метода наибольшего правдоподобия в качестве оценки неизвестного параметра принимается такое значение, которое максимизирует функцию:

или

Метод наименьших квадратов предусматривает определение оценки из условий минимизации квадратов отклонений выборочных данныхот определяемой оценки:

.

Точечная и интервальная оценка.

Оценка неизвестного параметра генеральной совокупностиодним числом называютточечной: =.

Выборочная доля является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной доли , дисперсия которой для повторной выборки равна:

,

а для бесповторной:

Выборочная средняя есть несмещенная и состоятельная оценка генеральной средней, дисперсия которой для повторной выборки рана:

,

а для бесповторной:

.

Выборочная дисперсия повторной и бесповторной выборок есть смещенная и состоятельная оценка генеральной дисперсии , так как

.

Не смещенной и состоятельной оценкой генеральной дисперсии является исправленная выборочная дисперсия

.

Интервальной оценкой параметра называется числовой интервал, который с заданной вероятностьюнакрывает неизвестной значение параметра. Такой интервал называютдоверительным, а вероятность -доверительной вероятностью или надежностью оценки.

Наиболее часто доверительный интервал выбирают симметричным относительно параметра :

,

где наибольшее отклонение оценкиот параметра генеральной совокупности, возможное с вероятностьюи называетсяпредельной ошибкой выборки.

При заданной доверительной вероятности и большом объемы выборке, ее предельная ошибка оценки генеральной средней и генеральной доли равна-кратной величине средней квадратической ошибки или средним квадратическим отклонениям выборочной среднейи выборочной доли:

и ,,

где -функция (интеграл вероятностей) Лапласа.

Интервальные оценки (доверительные интервалы) для генеральной средней и генеральной доли равны:

;

,

где ив зависимости от типа отбора (повторный или бесповторный) определяем по формулам:

• Для повторного отбора:

и ;

• Для бесповторного отбора:

и .