Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
polnye_shpory вышка.doc
Скачиваний:
21
Добавлен:
20.02.2016
Размер:
749.57 Кб
Скачать

17. Геометрическая задача. Определение опред-ого интеграла.

Пусть ф-я y=f(x) опред. И непрерывна на [a;b]. Продел. следующие операции:

1. отрезок [a;b] разобьем на n-частей (не обяз. равных) точками.

a=x0<x1<x2<…<xk<xk+1<…<xn=b

2. На кажд. k-ом отрезке выберем xk[xk,xk+1] и найдем значение ф-и в них.

3. Обозначим через k длину k-того отрезка k=| xk+1- xk|б а через  max k. =(max k) 0≤k≤n-1

4. Составим произведение: f(xk)k=f(xk)(xk+1) и найдем сумму всех таких произведений - сумма Римана.

5. найдем предел суммы Римана

Определение определ-ого ∫:

Если этот предел сущ. и конечен, ни зависящий ни от способа дробления, ни от выбора точек в соответствующих частичных промежутках ,то его наз. определ. интегралом от ф-и f(x) по отрезку [a;b] и обознач. след. символов:

Если ф-я f(x) непрерывна или кусочнонепрерывна на [a;b], то она интегрируема на нем, т.е. ее опред. интеграл сущ.

18. Свойства определённых ∫-ов.

1) Определённый ∫ есть число, которое зависит от вида интегральной ф-ии и от пределов интегрирования, но не зависит от переменной интегрирования, поэтому можно обозначать любой буквой.

2) определенным ∫-ом явл-ся ∫ когда нижний предел меньше верхнего : a<b

если же a>b, то

3).Постоянный множитель можно выносить за знак ∫:

4). Опред-ый ∫ от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме отрезков интегралов:

5).при любом расположении точек a,b,c справедливо рав-во

6). Если m и M соответственно наименьшее и наибольшее значения ф-ии на [a;b] и a<b, то

7) теорема о среднем значении:

Если f(x) непрерывна на [a;b] , то на этом отрезке обязательно найдётся такая точка ξ, что

19. Теорема о существовании первообразной для непрерывной ф-ии. Теорема Ньютона-Лейбница

1 теорема: Производная определённого ∫ от ф-ии по верхнему пределу равна значению подинтегральной ф-ии на верхнем пределе интегрирования

Если f(x) непрерывна на [a,b], то для неё на этом отрезке существует первообразная.

2 теорема (ф-ла Ньютона-Лейбница): Если ф-ия f(x) непрерывна на [a,b] и имеет на этом отрезке первообразную F(x), то

По данному f(x) непрерывна на [a,b],поэтому по теореме (1) для неё существует первообразная:

Кроме того по данному , F(x) также первообразная для f(x), а любые 2 первообразные отличаются друг от друга на постоянную величину, т.е

20. Замена переменной и интегрирование по частям в опред-ом интеграле.

Если f(x) непрерывн. ф-я на [a;b] и сущ. непрерывно дифф. ф-я x=(t) такая, что t[;], ()=a, ()=b и при изменении t от  до  х принимает все значения от  до  ([a;b]), то: (3)

Формула замены переменной в опр. интеграле. Док-во: пусть F(x) – это некоторая первообр. для f(x), т.е. F’(x)=f(x) для x[a;b]. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница:

Таким образом, для вычисл. интеграла , надо подобрать непрерывно дифф. монотонную ф-ю x=(t), решить ур-е ()=a, ()=b, откуда =-1(а), =-1(b) и

и подставить в формулу (3), тогда

Формула замены переменной (3) прочитанная справа налево позволяет сводить вычисление интеграла: c помощью замены (x)=t, (a)=t, (b)=, к вычислению интеграла

Интегрирование по частям:

Если U=U(x), V=V(x) непрерывно дифф. на [a;b], то имеет место формула (5)

Док-во: следует из равенства

, а с др. стороны

28. лин-ые одн-ые ДУ второго порядка с пост. Коэффициентами:

Уравнение вида y”+py’+qy=0.

Характеристическое уравнение: k2+pk+q=0, k-корень уравнения.Случаи:

D= p2-4q>0 – тогда 2 различных корня: =, = и общее решение у=+.

D= p2-4q=0 – тогда равные корни: = и общее решение у=+.

D= p2-4q<0 – тогда корни ищем по формулам: == .

Обозначим = и =β, тогда корни и .

Общее решение

у= ()

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]