- •7.Понятие функции нескольких переменных:
- •8.Частные производные функции нескольких переменных:
- •9.Экстремум функции нескольких переменных:
- •11. Первообразная ф-ии. Св-ва ∫. Таблица
- •12. Замена переменной в неопред-ом интеграле.
- •13. Интегрирование простых дробей
- •14. Интегрирование рациональных дробей
- •15. Интегрирование некоторых иррациональных ф-ий
- •17. Геометрическая задача. Определение опред-ого интеграла.
- •18. Свойства определённых ∫-ов.
- •19. Теорема о существовании первообразной для непрерывной ф-ии. Теорема Ньютона-Лейбница
- •20. Замена переменной и интегрирование по частям в опред-ом интеграле.
- •30. Понятие числового ряда и суммы ряда. Геометрическая прогрессия
- •36. Степенной ряд.Обл-ть сх-ти ст-ого ряда
- •38. Ряды Тейлора и Маклорена:
- •6.Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции:
- •21. Площадь плоских фигур:
- •24. Дифференциальные уравнения:
17. Геометрическая задача. Определение опред-ого интеграла.
Пусть ф-я y=f(x) опред. И непрерывна на [a;b]. Продел. следующие операции:
1. отрезок [a;b] разобьем на n-частей (не обяз. равных) точками.
a=x0<x1<x2<…<xk<xk+1<…<xn=b
2. На кажд. k-ом отрезке выберем xk[xk,xk+1] и найдем значение ф-и в них.
3. Обозначим через k длину k-того отрезка k=| xk+1- xk|б а через max k. =(max k) 0≤k≤n-1
4. Составим произведение: f(xk)k=f(xk)(xk+1) и найдем сумму всех таких произведений - сумма Римана.
5. найдем предел суммы Римана
Определение определ-ого ∫:
Если этот предел сущ. и конечен, ни зависящий ни от способа дробления, ни от выбора точек в соответствующих частичных промежутках ,то его наз. определ. интегралом от ф-и f(x) по отрезку [a;b] и обознач. след. символов:
Если ф-я f(x) непрерывна или кусочнонепрерывна на [a;b], то она интегрируема на нем, т.е. ее опред. интеграл сущ.
18. Свойства определённых ∫-ов.
1) Определённый ∫ есть число, которое зависит от вида интегральной ф-ии и от пределов интегрирования, но не зависит от переменной интегрирования, поэтому можно обозначать любой буквой.
2) определенным ∫-ом явл-ся ∫ когда нижний предел меньше верхнего : a<b
если же a>b, то
3).Постоянный множитель можно выносить за знак ∫:
4). Опред-ый ∫ от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме отрезков интегралов:
5).при любом расположении точек a,b,c справедливо рав-во
6). Если m и M соответственно наименьшее и наибольшее значения ф-ии на [a;b] и a<b, то
7) теорема о среднем значении:
Если f(x) непрерывна на [a;b] , то на этом отрезке обязательно найдётся такая точка ξ, что
19. Теорема о существовании первообразной для непрерывной ф-ии. Теорема Ньютона-Лейбница
1 теорема: Производная определённого ∫ от ф-ии по верхнему пределу равна значению подинтегральной ф-ии на верхнем пределе интегрирования
Если f(x) непрерывна на [a,b], то для неё на этом отрезке существует первообразная.
2 теорема (ф-ла Ньютона-Лейбница): Если ф-ия f(x) непрерывна на [a,b] и имеет на этом отрезке первообразную F(x), то
По данному f(x) непрерывна на [a,b],поэтому по теореме (1) для неё существует первообразная:
Кроме того по данному , F(x) также первообразная для f(x), а любые 2 первообразные отличаются друг от друга на постоянную величину, т.е
20. Замена переменной и интегрирование по частям в опред-ом интеграле.
Если f(x) непрерывн. ф-я на [a;b] и сущ. непрерывно дифф. ф-я x=(t) такая, что t[;], ()=a, ()=b и при изменении t от до х принимает все значения от до ([a;b]), то: (3)
Формула замены переменной в опр. интеграле. Док-во: пусть F(x) – это некоторая первообр. для f(x), т.е. F’(x)=f(x) для x[a;b]. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница:
Таким образом, для вычисл. интеграла , надо подобрать непрерывно дифф. монотонную ф-ю x=(t), решить ур-е ()=a, ()=b, откуда =-1(а), =-1(b) и
и подставить в формулу (3), тогда
Формула замены переменной (3) прочитанная справа налево позволяет сводить вычисление интеграла: c помощью замены (x)=t, (a)=t, (b)=, к вычислению интеграла
Интегрирование по частям:
Если U=U(x), V=V(x) непрерывно дифф. на [a;b], то имеет место формула (5)
Док-во: следует из равенства
, а с др. стороны
28. лин-ые одн-ые ДУ второго порядка с пост. Коэффициентами:
Уравнение вида y”+py’+qy=0.
Характеристическое уравнение: k2+pk+q=0, k-корень уравнения.Случаи:
D= p2-4q>0 – тогда 2 различных корня: =, = и общее решение у=+.
D= p2-4q=0 – тогда равные корни: = и общее решение у=+.
D= p2-4q<0 – тогда корни ищем по формулам: == .
Обозначим = и =β, тогда корни и .
Общее решение
у= ()