5.2. Осьовий, полярний і відцентровий моменти інерції

Розглянемо ще кілька геометричних характеристик плоских фігур. Одна з цих характеристик називається осьовим або екваторіальним моментом інерції. Ця характеристика відносно осей і(Рис.5.1) набуває вигляду:

; . (5.4)

Основною властивістю осьового моменту інерції є те, що він не може бути меншим нуля або дорівнювати нулю. Цей момент інерції завжди більший нуля: ;. Одиниця виміру осьового моменту інерції – (довжина)⁴.

З'єднаємо відрізком прямої лінії початок координат з нескінченно малою площеюі позначимо цей відрізок літерою(Рис.5.4). Момент інерції фігури відносно полюса – початку координат – називається полярним моментом інерції:

. (5.5)

Цей момент інерції так само, як і осьовий, завжди більший нуля () і має одиницю виміру – (довжина)⁴.

Рис.5.4

З рис.5.4 видно, що . Підставимо цей вираз у формулу (5.5), одержимо:

. (5.6)

Таким чином, полярний момент інерції дорівнює сумі моментів інерції відносно двох будь-яких взаємно перпендикулярних осей, що перетинаються в точці, яка є полюсом.

Момент інерції плоскої фігури відносно одночасно двох взаємно перпендикулярних осей називається двохосьовим або відцентровим моментом інерції. Відцентровий момент інерції має такий вигляд:

. (5.7)

Відцентровий момент інерції має одиницю виміру – (довжина)⁴. Він може бути додатним, від’ємним і рівним нулю. Осі, відносно яких відцентровий момент інерції дорівнює нулю, називаються головними осями інерції. Доведемо, що вісь симетрії плоскої фігури є головною віссю.

Розглянемо плоску фігуру, зображену на рис.5.5.

Рис.5.5

Виберемо зліва і справа від осі симетрії два елементи з нескінченно малою площею. Центр ваги усієї фігури лежить у точці С. Розташуємо початок координат у точці С и позначимо координати обраних елементів по вертикалі літерою “”, по горизонталі – для лівого елемента “”, для правого елемента “”. Обчислимо суму відцентрових моментів інерції для обраних елементів з нескінченно малою площею відносно осейта:

. (5.8)

Якщо проінтегрувати вираз (5.8) зліва і справа, одержимо:

, (5.9)

зважаючи на те, що вісь є віссю симетрії і що для будь-якої точки, яка лежить зліва від цієї осі, завжди знайдеться їй симетрична.

Аналізуючи отриманий розв’язок, робимо висновок, що вісь симетрії є головною віссю інерції. Центральна вісьтакож є головною віссю, хоча вона і не є віссю симетрії, тому що відцентровий момент інерції обчислювався одночасно відносно двох осейіі виявився рівним нулю.