16.5. Урахування сил внутрішнього опору при вимушених коливаннях

Розглянемо тепер вимушені коливання з урахуванням сил внутрішнього опору. Диференціальне рівняння коливань з урахуванням (16.12) має вигляд [6]:

. (16.28)

Рівняння вимушених коливань (16.28) відрізняється від рівняння власних коливань (16.12) не тільки наявністю правої частини, але і коефіцієнтів при першій похідній . Замість величини , введеній у рівнянні (16.12), приймається коефіцієнт .

Гіпотеза Фойгта, прийнята при описанні власних коливань, дає узгоджені з експериментом результати лише у тому випадку, якщо коефіцієнт в'язкого тертя у формулі (16.11) не є сталою величиною, а залежить від частоти коливань. Результати теорії і експерименту будуть у більшій мірі узгоджені, якщо прийняти, що при власних коливаннях , а при сталих вимушених коливаннях, що відбуваються з частотою , , де  логарифмічний декремент коливань. Відношення двох коефіцієнтів буде таким самим, як відношення коефіцієнтів в'язкого тертя :

. (16.29)

Звідки:

. (16.30)

Розглянемо окреме вирішення рівняння (16.28), що відповідає тільки вимушеним коливанням:

. (16.31)

Візьмемо першу і другу від переміщення за часом . Одержимо:

;

і підставимо в рівняння (16.28):

(16.32)

.

Групуючи члени, що містять і і підставляючи у рівняння (16.32), одержимо:

. (16.33)

Рівняння (16.33) має тотожно дорівнювати нулю при будь-яких значеннях . Дана умова виконуватиметься, якщо коефіцієнти при і прирівняти нулю. В результаті одержимо два рівняння з двома невідомими і :

(16.34)

Вирішуючи рівняння (16.34), знаходимо:

. (16.35)

Будемо вважати, що

, а (16.36)

і підставляючи у рівняння (16.31), одержуємо:

.

Таким чином, рівняння вимушених коливань (16.31) за аналогією з (16.6) можна записати у вигляді:

, (16.37)

де і  відповідно, амплітуда і початкова фаза вимушених коливань.

Зводячи в квадрат ліву і праву частину виразів (16.36) і складаючи їх, одержуємо:

. (16.38)

Розділивши на з виразів (16.36), маємо:

. (16.39)

Підставляючи сталі і у (16.36) та (16.37), одержуємо вирази для амплітуди вимушених коливань і початкової фази коливань :

; .

Враховуючи, що

,

амплітуда вимушених коливань дорівнює:

.

Коефіцієнт наростання коливань визначається з виразу:

. (16.40)

Виразимо коефіцієнт затухання через логарифмічний декремент коливань :

. (16.41)

Підставляючи (16.41) в (16.40), одержимо:

. (16.42)

Вираз (16.42) може виявитися зручнішим при обчисленні коефіцієнта наростання коливань, ніж вираз (16.40). Необхідно тільки пам'ятати, що логарифмічний декремент коливань , а період коливань визначається за формулою .

Рис.16.12

На рис.16.12 наведені криві залежності коефіцієнта наростання коливань від відношення частот вимушених і власних коливань . Положення кожної кривої залежить від декремента коливань . Як видно, з рис.16.12, в реальних балках у момент резонансу коефіцієнт наростання коливань не буде рівний нескінченності за наявності внутрішнього опору, але, проте, досягає великих значень. Тому виникнення резонансу вельми небезпечне для конструкції і його не можна допускати. На рис.16.12 виділена небезпечна зона, в межах якої сплеск коефіцієнта наростання коливань найвищий. Межі цієї зони визначаються відношенням частот і . Поза цією зоною резонансу немає. Тому при вимушених коливаннях при розрахунках конструкцій слід перевіряти, чи має місце резонанс.

При проектуванні конструкцій, що зазнають вимушених коливань, розміри поперечних перерізів конструкції слід вибирати такими, щоб частота власних коливань системи відрізнялася приблизно на 20% від частоти збуджуючої сили.

Розглянемо приклади розв’язку задач при вимушених коливаннях.

Приклад 16.6. На двох балках двотаврового профілю № 22 встановлений двигун вагою кН (Рис.12.13,а), який виконує об/хв. Відцентрова сила інерції, що виникає внаслідок неврівноваженості частин двигуна, що обертаються, дорівнює кН. Власну вагу балок і сили опору можна не враховувати. Момент інерції двотавру №22 см⁴, осьовий момент опору см³. Необхідно визначити найбільші нормальні напруження в балках.

Розв’язок:

1. Визначаємо статичний прогин балок у місці встановлення двигуна . Для цього завантажуємо балку вагою двигуна і будуємо епюру вантажних згинальних моментів (Рис.16.13,б).

Рис.16.13

Далі зображуємо одиничний стан системи (Рис.16.13,в) і будуємо епюру одиничних згинальних моментів . Використовуючи формулу трикутників, визначаємо статичний прогин:

м.

2. Знаходимо частоту власних коливань системи:

с^1.

3. Визначаємо частоту вимушених коливань:

с^1.

4. Обчислюємо коефіцієнт наростання коливань:

.

5. Знаходимо динамічний коефіцієнт:

.

6. Визначаємо максимальне динамічне напруження, що виникає в балках:

МПа.

Приклад 16.7. Балка з поперечним перерізом прямокутного профілю (довжина балки і розміри перерізу вказані на рис.16.14) навантажена силою кН посередині прольоту і зазнає дії збуджуючої сили кН, прикладеної в цьому ж перерізі. Частота вимушених коливань складає с^1. Модуль пружності матеріалу МПа. Визначити амплітуду вимушених коливань балки.

Рис.16.14

Розв’язок:

1. Обчислюємо момент інерції поперечного перерізу балки і визначаємо жорсткість балки:

см⁴ ; Н/м.

2. Знаходимо частоту власних коливань системи:

с^1.

3. Визначаємо коефіцієнт наростання коливань:

.

4. Визначаємо статичний прогин , що спричиняється збуджуючою силою в місці прикладення вантажу, і амплітуду вимушених коливань :

м ; м.

Приклад 16.8. Електродвигун вагою 90Н, встановлений на чотирьох симетрично розташованих циліндричних гвинтових пружинах, кожна з яких має десять витків при середньому діаметрі витка см і діаметрі дроту мм. На осі електродвигуна закріплений стержень АВ, який несе на кінці В вантаж вагою Н, розташований на відстані см від осі електромотора (Рис.16.15). Визначити критичне число обертів електродвигуна, найбільшу деформацію і найбільше дотичне напруження в пружинах. Вагою пружин нехтувати. Коефіцієнт затухання коливань прийняти с^1. Модуль зсуву МПа.

Розв’язок:

1. Визначаємо жорсткість пружин:

Н/м.

Рис.16.15

2. Визначаємо колову частоту власних коливань:

с^1.

3. Критичне число обертів електродвигуна відповідає виникненню резонансу с^1:

об/хв.

4. Обчислюємо найбільшу величину збуджуючої сили , яка дорівнює відцентровій силі інерції, що виникає при обертанні вантажу :

Н.

5. Визначаємо коефіцієнт наростання коливань з урахуванням резонансу. Коефіцієнт загасання при резонансі дорівнює коефіцієнту с^1.

.

6. Знаходимо амплітуду вимушених коливань електродвигуна:

м мм.

7. Визначаємо найбільше вертикальне переміщення електродвигуна (деформацію пружин):

м мм.

8. Обчислюємо динамічний коефіцієнт:

.

9. Визначаємо максимальні дотичні напруження в пружинах:

МПа.

Приклад 16.9. Двигун вагою кН, закріплений на кінці консольної балки завдовжки м, виконує об/хв (Рис.16.16). При роботі двигуна виникає відцентрова сила інерції, яка дорівнює (Н). Поперечний переріз балки складається з двох симетрично розташованих відносно силової площини рівнобічних кутників мм. Визначити найбільше нормальне напруження в балці. Знайти число обертів двигуна, при якому виникає явище резонансу, і визначити відповідне найбільше нормальне напруження. При розрахунках врахувати сили опору, які пропорційні швидкості коливального руху. Коефіцієнт загасання коливань прийняти рівним с^1. Масою балки нехтувати.

Рис.16.16

Розв’язок:

1. З сортаменту прокатної сталі виберемо необхідні дані для кутника мм: см⁴; см. Мінімальний момент опору для всього перерізу балки дорівнює: см³. Розрахунковий момент дорівнює абсолютній величині максимального згинального моменту, що виникає в жорсткому затисненні: кНм.

Знаходимо статичні напруження в балці:

МПа.

2. Знаходимо жорсткість балки:

Н/м.

3. Визначаємо частоту власних коливань двигуна:

с^1.

4. Обчислюємо частоту вимушених коливань:

с^1.

5. Визначаємо коефіцієнт наростання коливань з урахуванням затухання. Період власних коливань с. Логарифмічний декремент коливань дорівнює . Коефіцієнт знайдемо з рівняння (16.42):

.

6. Обчислюємо величину відцентрової сили інерції:

Н.

7. Визначаємо динамічний коефіцієнт:

.

8. Знаходимо найбільші динамічні напруження в балці:

МПа.

9. Визначаємо критичне число обертів вала двигуна при резонансі ():

об/хв.

10. Коефіцієнт наростання коливань при резонансі знайдемо з формули (16.43):

.

11. Динамічний коефіцієнт при резонансі дорівнює:

.

12. Визначаємо найбільші нормальні напруження при резонансі:

МПа.

Приклад 16.10. Дослідним шляхом було встановлено, що період власних коливань вантажу вагою кН, розташованого посередині прольоту м двотаврової балки №24, дорівнює с. Стінка балки розташована горизонтально. Визначити величину модуля пружності першого роду матеріалу балки , враховуючи при розрахунку власну вагу балки. Дані для двотавра №24: см⁴; вага погонного метра Н/м.

Розв’язок:

1. Визначаємо частоту власних коливань вантажу :

с^1.

2. З виразу визначаємо величину статичного прогину балки посередині прольоту:

м.

3. Записуємо вираз для статичного прогину з урахуванням власної ваги балки:

,

звідки знаходимо величину модуля пружності

Па МПа.

4. Одержимо цей самий розв’язок, використовуючи жорсткість балки:

,

звідки знаходимо величину модуля пружності першого роду:

Па МПа.

16.6. Поняття про критичну швидкість обертання вала

Як показує практика, деталі машин, які швидко обертаються, зокрема вали, не можуть бути ідеально збалансовані. Інерційні сили дисбалансу, що виникають при обертанні відводять деталь (вал, ротор), що обертається, від осі обертання. При деяких кутових швидкостях обертання, званих критичними, деталь потрапляє у резонанс, виникають значні поперечні коливання, система стає динамічно нестійкою. Покажемо, що критична швидкість для вала відповідає числу обертів вала в секунду, яке дорівнює власній частоті його поперечних коливань.

Розглянемо обертання вертикального вала з диском посередині (Рис.16.17) [3].

Рис.16.17

Припустимо, що центр ваги диска знаходиться від осі вала на відстані , яку назвемо ексцентриситетом. При обертанні на вал діятиме відцентрова сила інерції, що викликає його згинання:

, (16.43)

де  прогин валу в місці посадки диска;  кутова швидкість обертання вала.

Реакція сил пружного опору вала в місці прикладення відцентрової сили:

, (16.44)

де – згинальна жорсткість вала, для даного випадку при посадці диска посередині вала між опорами

. (16.45)

Вал перебуває у рівновазі. Отже, пружні сили і сили інерції врівноважуються :

, (16.46)

звідки

. (16.47)

Враховуючи, що і підставляючи в (16.47), одержимо:

, (16.48)

де  власна частота поперечних коливань вала.

З рівняння (16.48) видно, що прогин вала прагне до нескінченності при наближенні кутової швидкості обертання вала до власної частоти поперечних коливань вала . Критичним значенням швидкості обертання вала буде:

. (16.49)

Виникнення резонансу в системі, як вже наголошувалося вище, не завжди призводить до руйнування конструкції через втрату сил внутрішнього опору і втрат енергії, що є в системі. В результаті на практиці при попаданні вала в резонанс прогини не завжди набувають значень, небезпечних для експлуатації.

При швидкостях обертання вала, більших, ніж критичні, частота коливань змінюється і вал починає обертатися спокійніше. Досліди показують, що при центр ваги диска розташовуватиметься між лінією, що сполучає опори і викривленою віссю валу (Рис.16.17,б). В цьому випадку рівняння для визначення прогину матиме вигляд:

,

звідки

. (16.50)

З рівняння (16.50) видно, що зі збільшенням швидкості обертання вала прогин зменшується і наближається до ексцентриситету . Це означає, що при дуже великих швидкостях центр ваги диска досягає лінії, що сполучає опори, і зігнутий вал обертається навколо центра ваги С диска.

Приклад 16.11 [3]. Вал електродвигуна потужністю 100кВт розташований горизонтально і несе посередині прольоту завдовжки м диск вагою кН. Число обертів вала об/хв. Визначити діаметр вала електродвигуна, якщо критичне число обертів вище заданого на 30%. Масою вала у порівнянні з масою диска нехтувати. Ексцентриситет при посадці диска склав см; МПа; МПа.

Розв’язок:

1. Визначаємо частоту власних коливань системи, виходячи з умови, що у момент настання резонансу :

с^1.

2. Знаходимо діаметр вала з виразу для частоти власних коливань:

,

звідки

м мм.

3. Визначаємо максимальний прогин при коливаннях:

м.

4. Обчислюємо нормальні напруження від згинання. Для цього скористаємося виразом для максимального прогину і перетворимо його.

,

звідки

МПа.

5. Визначаємо дотичне напруження від кручення:

МПа.

6. Виконуємо перевірку міцності вала за допомогою енергетичної теорії міцності:

МПаМПа.

Таким чином, міцність вала забезпечена.

16.7. Тести до теми №16 “Коливання пружних систем”

Таблиця 16.2

№	Питання	Час для відповіді, секунди
1	2	3
1	З якими коливаннями доводиться мати справу в будівництві та машинобудуванні?	20
	1. Хвильовими.
	2. Механічними.
	3. Електромагнітними.
	4. Звуковими.
	5. Електромеханічними.
2	Що має мати тіло, здатне до коливання?	20
	1. Масу та жорсткість.
	2. Жорсткість та міцність.
	3. Пружність та масу.
	4. Масу та міцність.
	5. Пружність та міцність.
3	Який з видів коливань може бути включений до класифікації, що називається “кінематичною”?	20
	1. Власні коливання.
	2. Автоколивання.
	3. Вимушені коливання.
	4. Періодичні коливання.
	5. Параметричні коливання.
4	Яка з наданих на рисунку плоских систем має два ступеня вільності?	30
5	Які коливання називаються власними?
Продовження таблиці 16.2
1	2	3
	1. Коливання, що відбуваються при дії на систему (протягом усього періоду коливань) заданих зовнішніх збуджуючих сил, що періодично змінюються і діють безперервно незалежно від коливань у системі.	40
	2. Коливання, в процесі яких періодично змінюються фізичні параметри системи.
	3. Коливання, що виникають в ізольованій системі внаслідок зовнішнього збудження (поштовхів), що спричинює в точках системи початкові відхилення від положення рівноваги, і тривають потім завдяки наявності внутрішніх пружних сил, які відновлюють рівновагу.
	4. Незатухаючі коливання, що відбуваються в системі без зовнішнього періодичного впливу і підтримуються такими зовнішніми силами, характер впливу яких визначається самим коливальним процесом механічної системи.
6	Які коливання називаються вимушеними?	40
	1. Коливання, що відбуваються при дії на систему (протягом усього періоду коливань) заданих зовнішніх збуджуючих сил, що періодично змінюються і діють безперервно незалежно від коливань у системі.
	2. Коливання, у процесі яких періодично змінюються фізичні параметри системи.
	3. Коливання, що виникають в ізольованій системі внаслідок зовнішнього збудження (поштовхів), що спричинює в точках системи початкові відхилення від положення рівноваги, і тривають потім завдяки наявності внутрішніх пружних сил, які відновлюють рівновагу.
	4.Незатухаючі коливання, що відбуваються в системі без зовнішнього періодичного впливу і підтримуються такими зовнішніми силами, характер впливу яких визначається самим коливальним процесом механічної системи.
7	Які коливання називаються параметричними?	40
	1. Коливання, що відбуваються при дії на систему (протягом усього періоду коливань) заданих зовнішніх збуджуючих сил, що періодично змінюються і діють безперервно незалежно від коливань у системі.
Продовження таблиці 16.2
1	2	3
	2. Коливання, у процесі яких періодично змінюються фізичні параметри системи.
	3. Коливання, що виникають в ізольованій системі внаслідок зовнішнього збудження (поштовхів), що спричинює в точках системи початкові відхилення від положення рівноваги, і тривають потім завдяки наявності внутрішніх пружним сил , які відновлюють рівновагу.
	4. Незатухаючі коливання, що відбуваються в системі без зовнішнього періодичного впливу і підтримуються такими зовнішніми силами, характер впливу яких визначається самим коливальним процесом механічної системи.
8	Які коливання відносяться до категорії автоколивань?	40
	1. Коливання, що відбуваються при дії на систему (протягом усього періоду коливань) заданих зовнішніх збуджуючих сил, що періодично змінюються і діють неперервно незалежно від коливань у системі.
	2. Коливання, у процесі яких періодично змінюються фізичні параметри системи.
	3. Коливання, що виникають в ізольованій системі внаслідок зовнішнього збудження (поштовхів), що спричинює в точках системи початкові відхилення від положення рівноваги, і тривають потім завдяки наявності внутрішніх пружним сил, які відновлюють рівновагу.
	4. Незатухаючі коливання, що відбуваються в системі без зовнішнього періодичного впливу і підтримуються такими зовнішніми силами, характер впливу яких визначається самим коливальним процесом механічної системи.
9	Де знаходиться джерело енергії для підтримки автоколивань?	30
	1. Усередині системи.
	2. Поза системою.
	3. Відсутнє.
10	Які з цих коливань не відносяться до класифікації коливань за характером деформації?	30
	1. Поздовжні коливання.
	2. Поперечні коливання.
	3. Вимушені коливання.
	4. Крутильні коливання.
Продовження таблиці 16.2
1	2	3
	5. Згинно-крутильні коливання.
11	Частота яких коливань має збігатися з частотою збуджуючих сил при резонансі?	30
	1. Вимушених коливань.
	2. Параметричних коливань.
	3. Автоколивань.
	4. Власних коливань.
12	Яке з диференціальних рівнянь описує власні коливання системи з одним ступенем вільності?	30
	1.
	2.
	3.
	4.
13	Яке з диференціальних рівнянь описує власні коливання системи з одним ступенем вільності при урахуванні сил внутрішнього тертя?	30
	1.
	2.
	3.
	4.
14	Що називається жорсткістю системи при коливаннях?	30
	1. Сила, яку треба прикласти до системи, щоб визначити переміщення, що дорівнює одиниці.
	2. Переміщення, що визначається при прикладені до системи сили, що дорівнює одиниці.
	3. Одиничне переміщення, обумовлене величиною сили, що дорівнює одиниці.
	4. Сила, що дорівнює одиниці, яку треба прикласти до системи при визначенні переміщення.
Продовження таблиці 16.2
1	2	3
15	Визначити частоту власних коливань зображеної на рисунку балки, що являє собою двотавр №24 з моментом інерції см4. Матеріал балки – сталь з модулем пружності МПа. Коефіцієнт зведення .	480
16	Визначити частоту власних коливань зображеної на рисунку пружини, навантаженої на вільному кінці вантажем вагою Р = 20Н. Матеріал пружини – сталь з модулем зсуву МПа. Діаметр витка пружини см. Пружина має 10 витків. Діаметр дроту, з якої виготовлена пружина, мм.	600

250