16.4. Вимушені коливання пружної системи

Як наголошувалося вище, коливання називаються вимушеними, якщо на систему діє сила , що змінюється протягом часу за яким-небудь законом. Після прикладення сили інерції балку у відхиленому стані можна розглядати як таку, що знаходиться у стані рівноваги (Рис.16.9).

Рис.16.9

Переміщення маси описуватиметься рівнянням [6]:

, (16.16)

де  переміщення від одиничної сили, прикладеної в місці закріплення маси.

Переносячи всі невідомі у ліву частину, після розподілу всіх членів на одержимо:

. (16.17)

Інтеграл цього рівняння складається з двох частин: розв’язання однорідного рівняння і окремого інтеграла, залежного від правої частини.

Розглянемо окремий випадок, коли зовнішня сила змінюється за гармонійним законом з частотою :

. (16.18)

З урахуванням виразу (16.18) диференціальне рівняння (16.17) набуває вигляду:

. (16.19)

Інтеграл однорідного рівняння був одержаний при вирішенні рівняння (16.4) і наданий виразом (16.6) у попередньому розділі. Окремий інтеграл шукатимемо у вигляді:

. (16.20)

Візьмемо першу і другу похідні від переміщення за часом. Одержимо:

; . (16.21)

Підставимо (126.20) і (16.21) в рівняння (16.19) і вирішимо його щодо сталої інтегрування :

. (16.22)

Враховуючи, що , одержимо:

, (16.23)

де  прогин від статично прикладеної збуджуючої сили .

Таким чином, вирішення рівняння (16.19) з урахуванням (16.6) має вигляд:

. (16.24)

Перший доданок в цьому рівнянні є власними коливаннями, а другий описує вимушені коливання. Величини та знаходимо з початкових умов, як це було показано у попередньому розділі.

Оскільки власні коливання в реальних конструкціях швидко затухають, розглянемо тільки вимушені коливання, що відбуваються з частотою .

Якщо прийняти , то відхилення від стану рівноваги досягне максимальної величини, яку прийнято називати амплітудою вимушених коливань:

.

Величина є коефіцієнтом наростання коливань і має вигляд:

. (16.25)

На рис.16.10. наведений графік абсолютного значення коефіцієнта . З графіка видно, що при наближенні частоти вимушених коливань до частоти власних коливань системи , коефіцієнт наростання коливань безмежно зростає (при , ). Таке явище називається резонансом.

Рис.16.10

Динамічний коефіцієнт при вимушених коливаннях знайдемо на прикладі консольної балки жорсткістю , що згинається, і несе на вільному кінці електродвигун вагою з неврівноваженим ротором (Рис.16.11). Величина неврівноваженого вантажу, закріпленого на роторі і здійснюючого обертальний рух навколо осі електродвигуна, дорівнює . Внаслідок обертання вантажу на роторі виникає відцентрова сила інерції, яка і є причиною виникнення коливань.

Рис.16.11

Повний прогин, що спричиняється статичним прикладенням ваги електродвигуна і інерційного навантаження , дорівнює:

, (16.26)

де:  статичне переміщення, спричинене вагою електродвигуна ;  амплітудне значення переміщення (амплітуда вимушених коливань),  коефіцієнт наростання коливань.

Динамічний коефіцієнт знайдемо з відношення:

(16.27)