3.3. Деформации при осевом растяжении и сжатии. Закон Гука

Рассмотрим деформации стержня при осевом растяжении и сжатии. Экспериментальные исследования показали, что при растяжении для большинства материалов длина стержня увеличивается, а поперечные размеры уменьшаются (Рис.3.4). При сжатии длина стержня уменьшается, а поперечные размеры увеличиваются.

Рис 3.4

Величина , на которую стержень увеличивает свою длину при осевом растяжении, называетсяабсолютной продольной деформацией. Величины и, на которые стержень уменьшает поперечные размеры при осевом растяжении, называетсяабсолютной поперечной деформацией. Если отнести асолютную деформацию к первоначальным размерам стержня, то получим относительные деформации:

; (3.4)

Здесь: относительная продольная деформация;относительная поперечная деформация.

Модуль их отношения получил название коэффициента относительной продольной деформации или коэффициента Пуассона по имени известного французского ученого Симеона Дени Пуассона, математика, механика и физика, одного из основоположников математической физики, который исследовал деформации при осевом растяжении и сжатии и предложил выражение для этого коэфициента в следующем виде:

(3.5)

Отношение (3.5) всегда берется по абсолютной величине, так как знаки относительной поперечной деформации и относительной продольной деформациивсегда полярны.

Пуассон считал, что для всех материалов коэффициент относительной поперечной деформации одинаков и равен 0,25. Дальнейшие исследования показали, что это не так: коэффициент Пуассона имеет различную величину для разных материалов и меняется в пределах: . Для пробки коэффициент Пуассона, для резины. Для стали. Коэффициент Пуассона характеризует упругие свойства материала.

Между напряжениями и деформациями существует линейная зависимость, получившая название закона Гука:

(3.6)

Известный английский ученый-энциклопедист, член Лондонского королевского общества Роберт Гук, выполняя эксперименты с растяжением различных матералов, первым заметил линейную зависимость между деформацией стержня и величиной усилия в нем. Свое открытие он сфоромулировал следующим образом: Ut tensio sic vis. В переводе с латинского это означает: каково удлинение, такова и сила.

В современной трактовке закон Гука формулируется таким образом: в пределах упругости напряжения прямо пропорциональны деформациям.

В выражении (3.6) коэффициент пропорциональности представляетмодуль упругости первого рода или модуль Юнга, названный так в честь английского ученого Томаса Юнга, который занимался исследованиями, связанными с растяжением стержней из разных материалов и ввел понятие модуля упругости. Практические результаты исследований Юнга нашли продолжение в работах его последователей, в результате чего был получен набор модулей упругости для различных материалов. Для стали модуль Юнга равен МПа.

Подставляя в формулу (3.6) напряжения (3.3) и выражение для относительной продольной деформации из (3.4), получим величину абсолютной деформации стержня, нагруженного растягивающей силой :

, (3.7)

где  внутренне усилие в стержне;  жесткость поперечного сечения стержня при растяжении или сжатии.

Рассмотрим определение перемещений сечений при осевом растяжении и сжатии на примере стержня, изображенного на рис 3.3,а.

Пример 3.3. Определить перемещения “характерных” сечений для стержня, приведенного на рис.3.3,а. Площадь поперечного сечения стержня на всех участках см². Длины участков приведены на рисунке. Материал стержня – сталь с модулем упругости МПа. Построить эпюру продольных перемещений поперечных сечений стержня. Собственный вес стержня не учитывать.

Решение:

1. “Характерными” будут сечения на стыке участков. Обозначим их соответственно буквами А, В, С и D. Начинать строить эпюру перемещений сечений будем от того сечения, перемещение которого заранее известно. Таким сечением является сечение А. Перемещение этого сечения .

2. Определим перемещение сечения В. Перемещение этого сечения произойдет за счет деформации участка №3. При определении перемещений воспользуемся численными значениями продольных усилий на участках, найденных в примере 3.1. Получим:

м.

3. Перемещение сечения С произойдет за счет деформации участков №3 и №2:

м.

4. Перемещение сечения D произойдет за счет деформации всего стержня, т.е.:

м.

5. Откладываем полученные перемещения сечений от базисной линии и строим диаграмму продольных перемещений поперечных сечений (Рис.3.3,г). При отсутствии влияния собственного веса стержня на перемещения сечений зависимость перемещений от продольной координаты будет линейной. Поэтому соединяем точки на диаграмме преремещений прямыми линиями.

Из диаграммы продольных перемещений поперечных сечений можно определить продольную деформацию каждого из участков , и (Рис.3.3, г).