3.13. Влияние неточностей изготовления на усилия в элементах статически неопределимых конструкций

При изготовлении всякого рода сооружений нельзя обеспеечить абсолютно точного выполнения размеров их элементов; всегда надо считаться с возможностью тех или иных небольших неправильностей при их изготовлении. Если мы имеем дело со статически определимой системой, то такие неточности не вызовут никаких напряжений в этой системе. Совсем иначе ведет себя статически неопределимая система. Проиллюстрируем это на численном примере.

Пример 3.9. Определить напряжения в стержнях фермы, изображенной на рис.3.22, после ее сборки, если средний стержень изготовлен короче необходимой длины на величину мм. Ферма внешней нагрузки не несет. Крайние стержни стальные, средний медный. Модуль упругости стали МПа, модуль упругости медиМПа. Проектная длина среднего стержням, крайних , угол между крайними стержнями. Площади поперечного сечения крайних стержнейсм², среднего см².

Решение:

1. Чтобы соединить конец среднего стержня В₀ с концами крайних стержней В в точке В₁, необходимо средний стержень растянуть на длину , а крайние сжать на величину. Проводя из точек С₂ и А₂ перпендикуляры к первоначальному положению крайних стержней, получаем точку соединения концов всех трех стержней В₁. Уравнение совместности деформаций имеет вид:

В₀В = В₀В₁+В₁В

или

. (а)

Рис.3.22

2. Так как внешних нагрузок нет, усилие  сжимающее, а  растягивающее, и принимая во внимание, что ввиду симметрии системы усилия в крайних элементах одинаковы и равны , уравнение равновесия принимает вид:

,

откуда

. (б)

3. Заменяя в уравнении (а) величины иих значениями

и

и решая совместно (а) и (б), получаем:

кН;

кН.

Знак “+” перед значениями усилий ипоказывет, что предположения об их направлении были правильны.

4. Определяем напряжения в стержнях фермы:

МПа;

МПа.

Таким образом, в незагруженной конструкции из-за неточности изготовления среднего стержня после сборки возникают напряжения сжатия в крайних стержнях МПа и напряжения растяжения в среднем стержнеМПа.

Приведенные расчеты показывают, что неточности изготовления отдельных элементов конструкции влекут за собой напряжения даже при отсутствии внешних воздействий на конструкцию. Таким образом, возможность появления так называемых начальных напряжений тоже является основным свойством статически неопределимых конструкций.

3.14. Температурные напряжения

В статически неопределимых системах возникают напряжения при осутствии внешних гагрузок не только от неточностей исготовления и сборки, но и от изменения температуры.

Рассмотрим стержень, концы которого жестко зажаты при температуре (Рис.3.23). Длина стержня, площадь поперечного сечения, модуль упругости материала. Стержень нагревается от температурыдо. Нагреваясь стержень стремится удлиниться и будет распирать опоры А и В. Со стороны опор на стержень будут действовать реакции, направленные, как показано на рис.3.23. Эти силы будут вызывать сжатие стержня.

Конструкция оказывается статически неопределимой, так как действующие в опорах реакции равны по величине, противоположны по напрвлению и неизвестны.

Для решения задачи необходимо одно дополнительное уравнение совместности деформаций. При составлении этого уравнения используем тот факт, что при нагревании длина стержне не меняется, так как его концы жестко защемлены. Значит, укорочение , вызванное силами, равно по абсолютной величине тому температурному удлинению, которое стержень получил бы, если бы опора А осталась на месте, а конец В стержня был бы освобожден и мог бы перемещаться при нагревании. Таким образом, уравнение совместности деформации принимает вид:

. (3.30)

Рис.3.23

Так как

и ,

где  коэффициент линейного температурного расширения материала стержня.

Подставляя удлинения стержня в формулу (3.30), получим:

,

откуда напряжение в стержне равно:

. (3.31)

Таким образом, напряжение, вызванное изменением температуры в стержне постоянного сечения с жестко защемленными концами, зависит лишь от модуля упругости материала, его коэффициента температурного расширения, разности температур и не зависит ни от длины стержня, ни от площади поперечного сечения.

Реакция, возникающая в опоре, равна

.

В рассмотренном примере при напряжениебудет сжимающим, так как направление реакцийвнутрь стержня здесь принято положительным. Для автоматического получения знака напряжений формулу (3.31) следует записывать в виде:

.

Пример 3.10. Стальной стержень, состоящий из двух частей длиной см исм и площадью соответственносм² и см² , защемлен одним концом; другой конец не доходит до опоры на величину мм (Рис. 3.24). Найти напряжения в обеих частях при повышении температуры на, если.

Рис.3.24

Решение:

1. Составляем уравнение совместности деформаций. Повышение температуры вызывает удлинение стерженя , а сжатие его реакциями опор укорочение . Разность этих двух деформаций (по абсолютной величине) равна(Рис.3.24):

, (а)

где

; .

2. Подставляя удлинения стержня в (а), получим:

.

Отсюда

кН

3. Определяем напряжение в верхней части стержня:

МПа.

4. Вычисляем напряжение в нижней части стержня:

МПа.