3.12. Статически неопределимые задачи при осевом растяжении и сжатии

Статически неопределимыми называются задачи, которые нельзя решить с помощью только уравнений статики. Степень статической неопределимости таких задач определяется как разность между числом связей, наложенных на тело, и числом независимых уравнений равновесия, которые можно составить для рассматриваемого тела. Дополнительные уравнения можно составить, изучая деформации, которые испытывает тело. Оказывается, что всегда можно найти столько дополнительных уравнений, сколько нам нужно, чтобы полное число уравнений вместе с условиями равновесия равнялось числу неизвестных.

Эти дополнительные уравнения составляют на основе общего принципа, известного как принцип совместности деформаций. Всякая конструкция деформируется так, что не происходит разрывов стержней, отрывов стержней в узлах, не предусмотренных схемой сооружения перемещений одной части конструкции относительно другой. В этом и заключается принцип совместности деформаций элементов системы.

Общий метод расчета статически неопределимых систем состоит в следующем. Сначала следует выяснить, какие усилия необходимо определить; затем необходимо написать все возможные уравнения равновесия, затем определить степень статической неопределимости системы и составить столько дополнительных уравнений совместности деформаций, чтобы можно было найти все неизвестные усилия.

Рассмотрим несколько примеров расчета статически неопределимых систем.

Пример 3.7. Стержень, состоящий из верхней медной части и нижней стальной (Рис.3.20,а), нагружен силой кН. Оба конца стержня жестко защемлены. Площадь его поперечного сечениясм². Определить напряжения на каждом участке стержня. Модуль упругости стали МПа. Модуль упругости медиМПа.

Рис.3.20

Решение:

1. Обрываем связи и заменяем действие связей реакциями (Рис.3.20,б). Составляем уравнение равновесия:

. (а)

2. Определяем степень статической неопределимости – вычитаем из числа связей (опорных реакций) число уравнений равновесия:

.

3. Составляем одно дополнительное уравнение совместности деформаций. Для этого запишем уравнение для удлинения всего стержня как сумму удлинений каждого из участков. В качестве условия совместности деформаций примем условие, что полное удлинение стержня равно нулю, так как оба конца стержня жестко защемлены.

. (б)

4. Подставляем в уравнение (б) численные значения длин участков и учитывая, что модуль упругости стали в два раза больше модуля упругости меди , получаем:

.

5. Подставляя реакции в уравнение (а), находим:

кН.

6. Вычисляем усилия на каждом участке стержня: кН;кН и строим диаграмму продольных усилий (Рис.3.20,в).

7. Определяем напряжения на каждом участке стержня:

МПа; МПа.

Пример 3.8. Жесткая балка поддерживается двумя стержнями (Рис.3.17,а). Площадь поперечного сечения первого стержня см². Площадь поперечного сечения второго стержня см². Материал стержней  сталь с допускаемым напряжением МПа.Угол .Определить допускаемую величину силы , приложенной к балке.

Решение:

1. Составляем расчетную схему. Для этого обрываем связи и действие связей заменяем реакциями. (Рис.3.17,б).

Рис.3.21

2. Составляем уравнения равновесия для балочно-стержневой системы:

; (а)

; (б)

. (в)

3. Определяем степень статической неопределимости задачи:

.

4. Составляем уравнение совместности деформаций. Для этого дадим балке повернуться вокруг точки А. При этом ось балки останется прямой, так как по условию задачи балка является жесткой. Узел В переместится в положение , при этом стержень №1 удлинится на величину. УзелDпереместится в положение. Перемещение узлаDв новое положение обозначим буквой. Это перемещение узла D можно представить состоящим из двух движений: сначала стержень №2 удлинится на величинуи узел D попадет в положение, а затем повернется, чтобы попасть в положение. Если этого не произойдет, нарушится принцип совместности деформаций.

Теперь составим соотношение между удлинениями стержней №1 и №2. Для этого сначала выразим перемещение узла D через удлинение стержня №2:

,

а затем подставим это перемещение в уравнение, полученное из подобия треугольников АВи AD. Учитывая, что В=, а D=, имеем:

. (г)

Уравнение (г) включает в себя удлинения стержней №1 и №2 и представляет собой уравнение совместности деформаций. Преобразуем это уравнение к виду, удобному для решения. Выразим удлинения стержней через усилия, действующие в них, учитывая, что ,,,:

,

откуда с учетом того, что , получаем:

. (д)

5. Выражаем усилия в стержнях через внешнюю силу . Для этого подставляемв уравнение (в), получим:

,

откуда

; .

6. Вычисляем напряжения в стержнях №1 и №2, выразив их через силу :

; .

7. Большее из напряжений приравниваем допускаемому напряжению , откуда находим допускаемое значения для силы:

,

откуда

кН.

Анализируя результаты решения задач, приведенные в примерах 3.7, 3.8, можно отметить некоторые особенности расчета статически неопределимых систем:

 недостающие для определения усилий уравнения могут быть получены только при помощи изучения совместности деформаций данной системы;

 распределение усилий между элементами статически неопределимой системы зависит от соотношения между площадями, модулями упругости и длинами этих элементов;

 чем более жестким является данный элемент, тем большую долю усилия он принимает на себя.