Завдання 6.1 (для варіантів 1-25)

На основі даних про результати аналітичного групування (завдання 2.4 лабораторної роботи № 2) за допомогою методу аналітичних групувань та дисперсійного аналізу дослідіть соціально-економічні явища на наявність взаємозв’язку, оцініть його щільність та перевірте істотність. З цією метою обчисліть наступні показники:

• загальну та між групову дисперсію;

• кореляційне відношення та емпіричне кореляційне відношення.

Для перевірки істотності зв’язку застосуйте критерії Фішера і Стьюдента з ймовірністю 0,99.

Зробіть висновки.

Взаємозв’язок досліджуваних явищ представте графічно.

Методичні вказівки щодо виконання Завдання 6.2

Особливе місце для статистичного вивчення взаємозв’язку явищ посідає кореляційно-регресійний аналіз, основним завданням якого є виявлення математичної залежності між досліджуваними ознаками та встановлення щільності взаємозв’язку між ними.

Важливою характеристикою кореляційного зв’язку є лінія регресії‑ емпірична в моделі аналітичного групування і теоретична в моделі регресійного аналізу.Емпірична лінія регресіїпредставлена груповими середніми результативної ознаки, кожна з яких належить до відповідного інтервалу значень групувального фактора.Теоретична лінія регресіїописується певною функцієюяку називають рівнянням регресії, аY‑ теоретичним рівнем результативної ознаки.

Якщо зі зміною фактора х результат у змінюється більш-менш рівномірно, такий зв’язок описується лінійною функцією Y = a + bx. Коли йдеться про нерівномірне співвідношення варіацій взаємозв’язаних ознак (наприклад, коли прирости значень у зі зміною х прискорені чи сповільнені або напрям зв’язку змінюється), застосовують нелінійні регресії, зокрема:

• степеневу ;

• гіперболічну ;

• параболічну тощо.

Рівняння регресії характеризує зміну середнього рівня результативної ознаки узалежно від зміни факторної ознаких. Воно визначає математичне сподівання групових середніх результативної ознаки під впливом різних значень факторної ознаки.

У разі лінійної форми зв’язку результативна ознака змінюється під впливом факторної ознаки рівномірно:

(6.8)

де  ‑ згладжене середнє значення результативної ознаки;

‑ факторна ознака;

aіb ‑ параметри рівняння;

а‑ значення Y приx = 0;

b‑ коефіцієнт регресії.

В рівнянні прямої параметр аекономічного змісту немає.

Параметр b(коефіцієнт регресії)величина іменована, має розмірність результативної ознаки і розглядається як ефект впливуxнаy. Параметрa‑ вільний член рівняння регресії, це значення y приx = 0.Якщо межі варіаціїxне містять нуля, то цей параметр має лише розрахункове значення.

Коефіцієнт регресії bвказує на те, наскільки змінюється результативна ознакаYвнаслідок зміни факторної ознакиxна одиницю.

Якщо bмає позитивний знак, то зв'язок прямий, якщо від’ємний – зв’язок обернений.

Параметри рівняння зв’язку визначають шляхом розв’язання системи нормальних рівнянь за методом найменших квадратів, основною умовою якого є мінімізація суми квадратів відхилень емпіричних значень від теоретичних:

Система нормальних рівнянь для визначення параметрів парної лінійної регресії має вигляд:

де n‑ число членів у кожному з двох порівнюваних рядів;

‑ сума значень факторної ознаки;

‑ сума квадратів значень факторної ознаки;

‑ сума значень результативної ознаки;

‑ сума добутків значень факторної та результативної ознаки.

‑ теоретичні значення результативної ознаки

Розв’язавши дану систему рівнянь, одержують формули розрахунків параметрів парного лінійного рівняння регресії:

(6.9)

(6.10)

На основі рівняня регресії визначаються теоретичні значення Y, тобто значення результативної ознаки за умови впливу лише фактора х при незмінному рівні інших факторів.

Досить часто ознаки, що досліджуються, мають різні одиниці вимірювання, тому для оцінки впливу факторної ознаки на результативну використовують характеристику відносної зміни у за рахунокх, яка називаєтьсякоефіцієнтом еластичності.

Він показує, на скільки відсотків в середньому змінюється результативна ознака упри зміні факторної ознаких на 1,0%. Відповідно, для лінійної залежності коефіцієнт еластичності визначається за формулою:

(6.11)

або

(6.12)

де ‑ коефіцієнт еластичності.

Результати кореляційно-регресійного аналізу відображують за допомогою графіка, де є три лінії:

• ламана лінія фактичних даних y;

• пряма похила лінія теоретичних значень Yпри абстрагуванні від впливу всіх факторів, крім факторах(змінна середня);

• пряма горизонтальна лінія , із середнього значення якої виключено вплив наувсіх без винятку факторів (стала середня).

Відхилення фактичних значень увід теоретичнихY називаютьсязалишковими.Вони характеризують вплив на результативну ознаку всіх інших факторів, окрім х. Середній розмір цих відхилень визначаєзалишкова дисперсія:

(6.13)

Варіацію у, зумовлену впливом тільки фактора х вимірюєфакторна дисперсія:

(6.14)

Загальна дисперсіядорівнює:

(6.15)

Частка факторної дисперсії у загальній характеризує щільність зв’язку і називається коефіцієнтом детермінації:

Щільність зв’язку оцінюється також індексом кореляції, який є коренем квадратним з коефіцієнта детермінації, якщо зв’язок лінійний:

,

звідси:

(6.16)

або (6.17)

Індекс кореляції оцінює щільність зв’язку. Він, як і емпіричне кореляційне відношення, вимірює лише щільність зв'язку і не вказує на її напрямок.

Для доповнення дослідження напрямку зв’язку у разі лінійної залежності використовують лінійний коефіцієнт кореляції (Пірсона):

(6.18)

Лінійний коефіцієнт кореляції rколивається в межах від –1 до +1, і тому характеризує не тільки щільність, а й напрямок зв’язку. Додатне значення свідчить про прямий зв’язок між ознаками, а від’ємне – про зворотний. Оцінюють щільність зв’язку за даними табл. 6.4.

Таблиця 6.4 ‑ Градація щільності зв’язку

Зв’язок	Лінійний коефіцієнт кореляції
	прямий зв’язок	зворотний зв’язок
слабкий середній щільний	0,100...0,300 0,300…0,700 0,700...0,990	‑0,100...‑0,300 ‑0,300...‑0,700 ‑0,700...‑0,990

Абсолютне значення r дорівнює індексу кореляції:

Перевірка істотності зв’язку здійснюється таким же чином, як і в моделі аналітичного групування, шляхом порівняння та ..

Ступені свободи залежать від числа m параметрів рівняння регресії k₁=m ‑ 1 і кількості одиниць n досліджуваної сукупності k₂=n-m.

Істотність зв’язку перевіряють за допомогою F-критерію Фішера, який функціонально пов’язаний з та.

Фактичне значення F критерію визначають за формулою:

(6.19)

Р. Фішер знайшов розподіл співвідношень дисперсій nf розробив відповідні математичні таблиці для визначення критичних (теоретичних) значень , при двох ймовірностях 0,95 і 0,99.

Якщо , то з прийнятим ступенем ймовірності можна стверджувати про істотність впливу фактора, який вивчається.

Якщо ж  ‑ різниця між дисперсіями зумовлена впливом випадкових факторів.

Для встановлення достовірності обчисленого лінійного коефіцієнта кореляції використовують критерій Стьюдента(t-критерій):

, (6.20)

де  ‑ середня похибка коефіцієнта кореляції, яку визначають за формулою:

(6.21)