Обработка экспериментальных данных / 2-7

Погрешности метода наименьших квадратов Погрешности метода наименьших квадратов В разделе 8 описано применение метода наименьших квадратов для оценивания параметров линейной зависимости y = ax + b. Оценки параметров a и b нормально распределены, а значит, для нахождения соответствующих доверительных интервалов также необходимо использовать коэффициенты Стьюдента. Отличие от случая прямого многократного измерения состоит в том, что применяют коэффициенты t(a, n-1) , где n – количество парных измерений. Вызвано это тем, что в методе наименьших квадратов из экспериментальных данных находят не одну величину (как, например , для прямого измерения), а две – a и b. Связь между ними уменьшает количество независимых случайных переменных, складывающихся в распределение Стьюдента. Сложнее проверить справедливость гипотезы о том, что экспериментально зарегистрированная зависимость является линейной. Фактически речь идет о верификации (проверке справедливости) используемого модельного описания. Обратимся к выражению (8.6), задающему остаточную сумму квадратов

, где в качестве a и b использованы их экспериментальные оценки. Величины yi нормально распределены вокруг axi+b с дисперсией s2 . В статистике обосновывается, что величина S/s2 , составленная из суммы квадратов независимых нормально распределенных величин, подчиняется распределению c2 (читается «хи-квадрат», так как c – греческая буква “хи”), плотность вероятности которого , (9.8)

где 0<c2<, а m = n – 3 (n – количество парных измерений). Вид распределения показан на рис.9.3. Для него характерно совпадение среднего значения и индекса m.

Рис.9.3. c2-распределение. Анализ гипотезы о справедливости интерпретации экспериментальной зависимости, как линейной, начинают с введения уровня значимости a, задающего интервал от 0 до c2(n, a) , в который величина S/s2 попадает, если гипотеза справедлива. Для вычисления c2(n, a) необходимо решить уравнение

Величины c2(n, a) приведены в табл.3 Приложений.

Если неравенство не выполнено, то гипотеза о линейности отвергается. Вместе с тем, возможны другие причины несоблюдения неравенства. Например, наличие в эксперименте систематических погрешностей, или невыполнение предположения о нормальном распределении величин yi вокруг axi+b, или присутствие не равных между собой дисперсий нормально распределенных величин yi . Поэтому проведение сравнения по границе интервала c2(n, a) может стать началом более детального анализа экспериментальных данных и эксперимента в целом.

<<|Оглавление||Бибилиотека|>>