Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
26
Добавлен:
28.12.2013
Размер:
9.89 Кб
Скачать

Общее среднее Общее среднее Экспериментатору приходится сталкиваться с кругом проблем, которые возникают из-за различной точности выполнения измерений. Например, имеется набор результатов независимых измерений одной и той же постоянной физической величины, полученных в разных экспериментах. Естественно желание учесть всю имеющуюся информацию, чтобы найти более точное значение искомой величины. Как это сделать? Допустим, что рассматривают n серий результатов независимых многократных измерений нормально распределенной величины x, в каждой из которых вычислены среднее и дисперсия среднего s2i (i=1, 2,......, n), причем дисперсии полагают известными точно. По всем этим данным необходимо найти общую оценку среднего (общее среднее) и соответствующую дисперсию . Для нормального распределения величин вокруг плотность вероятности: r() = .

Плотность вероятности совместной реализации экспериментальных данных, или функция правдоподобия: L(1,2, …….,n) = r(1)·r(2)·….·r(n) = · ....

Логарифм функции правдоподобия: ln L = . Максимум функции правдоподобия, совпадающий с максимумом ее логарифма, соответствует наибольшей вероятности получить в эксперименте имеющиеся данные многократных измерений. Аргументом функции правдоподобия является , поэтому ее максимум находят дифференцированием: .

Полученное уравнение определяет наиболее вероятное значение искомой физической величины = . (9.6)

Этот результат задает общее среднее всех i , при вычислении которого учитывают точность каждого измерения, обратно пропорциональную дисперсии s2i. Происходит как бы «взвешивание» всех результатов для определения их роли в общем среднем, которое по этой причине называют еще средним взвешенным.

Из (9.6) следует, что общее среднее может быть представлено как линейная комбинация независимых нормальных распределений величин i с множителями

Ki = , в таком случае: . Значит, общее среднее также распределено нормально, а его дисперсию находят через дисперсию s2i: . (9.7)

Полученные выражения легко проверить для случая, когда величины представляют собой результаты одного многократного измерения = xi , а их дисперсии s2i относятся к общему распределению величины x и равны между собой: s2i = . Тогда = и = , как уже было получено для результата прямого многократного измерения в разделе 4.

Выше дисперсии s2i полагались заданными точно. Только тогда (9.7) дает точное значение . Вместо дисперсий s2i в выражениях (9.6) и (9.7) можно использовать погрешности окончательных результатов Dxi , вычисленные при помощи коэффициентов Стьюдента для заданного значения доверительной вероятности (одинаковой для всех результатов). В этом случае (9.7) будет задавать верхнюю оценку погрешности общего среднего Dx для того же значения доверительной вероятности.

<<|Оглавление||Бибилиотека|>>

Соседние файлы в папке Обработка экспериментальных данных