Обработка экспериментальных данных / 2-6
.htmlОбщее среднее Общее среднее Экспериментатору приходится сталкиваться с кругом проблем, которые возникают из-за различной точности выполнения измерений. Например, имеется набор результатов независимых измерений одной и той же постоянной физической величины, полученных в разных экспериментах. Естественно желание учесть всю имеющуюся информацию, чтобы найти более точное значение искомой величины. Как это сделать? Допустим, что рассматривают n серий результатов независимых многократных измерений нормально распределенной величины x, в каждой из которых вычислены среднее и дисперсия среднего s2i (i=1, 2,......, n), причем дисперсии полагают известными точно. По всем этим данным необходимо найти общую оценку среднего (общее среднее) и соответствующую дисперсию . Для нормального распределения величин вокруг плотность вероятности: r() = .
Плотность вероятности совместной реализации экспериментальных данных, или функция правдоподобия: L(1,2, …….,n) = r(1)·r(2)·….·r(n) = · ....
Логарифм функции правдоподобия: ln L = . Максимум функции правдоподобия, совпадающий с максимумом ее логарифма, соответствует наибольшей вероятности получить в эксперименте имеющиеся данные многократных измерений. Аргументом функции правдоподобия является , поэтому ее максимум находят дифференцированием: .
Полученное уравнение определяет наиболее вероятное значение искомой физической величины = . (9.6)
Этот результат задает общее среднее всех i , при вычислении которого учитывают точность каждого измерения, обратно пропорциональную дисперсии s2i. Происходит как бы «взвешивание» всех результатов для определения их роли в общем среднем, которое по этой причине называют еще средним взвешенным.
Из (9.6) следует, что общее среднее может быть представлено как линейная комбинация независимых нормальных распределений величин i с множителями
Ki = , в таком случае: . Значит, общее среднее также распределено нормально, а его дисперсию находят через дисперсию s2i: . (9.7)
Полученные выражения легко проверить для случая, когда величины представляют собой результаты одного многократного измерения = xi , а их дисперсии s2i относятся к общему распределению величины x и равны между собой: s2i = . Тогда = и = , как уже было получено для результата прямого многократного измерения в разделе 4.
Выше дисперсии s2i полагались заданными точно. Только тогда (9.7) дает точное значение . Вместо дисперсий s2i в выражениях (9.6) и (9.7) можно использовать погрешности окончательных результатов Dxi , вычисленные при помощи коэффициентов Стьюдента для заданного значения доверительной вероятности (одинаковой для всех результатов). В этом случае (9.7) будет задавать верхнюю оценку погрешности общего среднего Dx для того же значения доверительной вероятности.
<<|Оглавление||Бибилиотека|>>