Методичні вказівки до практичних занять з фізики №2

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Государственный экономико-технологический университет транспорта

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

В скалярнiй формi спiввiдношення (83) має вигляд

або dϕ = −E dx .

.3.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

365.22 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

тарними зарядами d Qi всього кiльця
	∞	Q d xi
ϕ =	X		.	(77)
	i=1	8 π2 ǫ ǫ R l
		0

Переходячи вiд операцiї додавання нескiнченного числа доданкiв в (76) до iнтегрування по dx, отримаємо

2 π R

Q d x

2 π R

ϕ =

d x.

(78)

8 π2 ǫ ǫ0 R l

2 π R

Враховуючи, що

d x = 2 π R, отримаємо, що потенцiал поля в точцi B

дорiвнює

ϕ =

√

(79)

8 π ǫ ǫ l

√

8 π ǫ ǫ0 R

+ h

бо l =

+ h .

Для знаходження потенцiалу ϕ1 поля в точцi O (рис. 5) в формулi (78)

треба h прирiвняти до нуля

ϕ1 =

(80)

8 π ǫ ǫ0 R

Пiсля пiдстановки числових значень отримаємо

10−8

ϕ =

12√

= 1608 [В]

(81)

8 · 3, 14 · 1 · 8, 85 · 10−

5 · 10−

+ 1 · 10−

ϕ1 =

2 · 10−8

= 3600 [В] .

(82)

8 · 3, 14 · 1 · 8, 85 · 10−12 · 5 · 10−2

Вiдповiдь: ϕ = 1608 В та ϕ1 = 3600 В.

Задача №5. Електричне поле створене занадто довгим (Lц >> R) цилiндром радiуса R = 1 см, який рiвномiрно заряджений з лiнiйною густиною τ = 20 нКл/м. Визначити рiзницю потенцiалiв мiж двома точками, якi знаходяться на вiдстанi a1 = 0, 5 см i на вiдстанi a2 = 2 см вiд поверхнi цилiндра.

τ	=	20 нКл/м	τ	=	20 · 10−9 Кл/м
a1	= 0, 5 см		a1	= 0, 5 · 10−2 м
a2	=	2 см	a2	=	2 · 10−2 м
			ϕ1 − ϕ2	=	?

Для визначення рiзницi потенцiалiв ϕ1 − ϕ2 = dϕ скористаємося спiввiдношенням мiж напруженiстю поля i потенцiалом

Пiсля iнтегрування (84) знайдемо рiзницю потенцiалiв в точках, якi вiддаленi вiд осi цилiндра на вiдстанi r1 та r2,

ϕ2	r2		r2
Z	dϕ = − Z	E dx	ϕ2 − ϕ1 = −Z	E dx.	(85)
ϕ1	r1		r1

Згiдно з теоремою Остроградського-Гауса напруженiсть поля E, яке створює нескiнченний заряджений цилiндр на вiдстанi x вiд осi цилiндра, дорiвнює

E =

(86)

2 π ǫ ǫ0 x

Пiсля пiдстановки (85) в (84) отримаємо

ϕ1

ϕ2 =

r2 dx

! .

(87)

−

2 π ǫ ǫ0

Враховуючи те, що r1 = R + a1 i r2 = R + a2, одержимо шукану рiзницю потенцiалiв

ϕ1	−	ϕ2 =	20 · 10−9			ln		3 · 10−2	= 250 [В].	(88)
			2 · 3, 14 · 8, 85 · 10−	12	· 1			2
							1, 5 · 10−
Вiдповiдь:		ϕ1 − ϕ2 = 250 В .

Задача №6. Електрон влiтає в плоский повiтряний конденсатор паралельно до його обкладок зi швидкiстю v = 6 · 107 м/с. Вiдстань мiж обкладками конденсатора становить 1 см; рiзниця потенцiалiв мiж обкладками дорiвнює

600 В. Знайти вiдхiлення електрона завдяки дiї поля конденсатора, якщо довжина обкладок конденсатора дорiвнює 5 см.

v	=	6 ·	107 н/с	v	=	6 · 107 н/с
d =			1 см	d =		10 · 10−2 м
U	=	600 В		U	=	600 В
l	=		5 см	l	=	5 · 10−2 м
me	=	9, 11	· 10−31 кг	me	=	9, 11 · 10−31 кг
e	= −1, 6 · 10−19 Кл			e	= −1, 6 · 10−19 Кл
				h	=	?

На електрон, що влiтає в плоский конденсатор, обкладки якого розташованi горизонтально (рис. 6), дiє сила Fq електростатичного походження, яка спрямована перпендикулярно до напрямку початкової швидкостi електрона

Fq = |e| E,

(89)

де E – модуль вектора напруженостi однорiдного електростатичного поля конденсатора, який визначається через рiзницю потенцiалiв U на обкладках конденсатора спiввiдношенням

E =	U	F		=	\|e\| U	. (90)
	d		q
					d

Оскiльки в горизонтальному напрямку на

електрон не дiють нiякi сили (опiр руху електрона вiдсутнiй),Рис. № в5:горизонтальному напрямку електрон рухається з постiйною швидкiстю, яка дорiвнює початковiй швидкостi v. Отже, рух електрона можна представити як два незалежних рухiв вздовж двох перпендикулярних напрямкiв; один з постiйною швидкiстю паралельно обкладкам конденсатора та рiвномiрно прискореного руху без початкової швидкостi в напрямку, який перпендикулярний обкладкам конденсатора. Таким чином шлях h, який проходить електрон в напрямку, який є перпендикулярним до обкладок конденсатора, дорiвнює

h =	a t2	,	(91)

2

де a – прискорення, яке отримує електрон внаслiдок дiї сили Fq ; t – час прольоту електрона в конденсаторi.

Прискорення a знайдемо з рiвняння другого закону Ньютона
F		= m a	a =	Fq	=	\|e\| U	.	(92)
				me
	q	e				d me

Час t прольоту електрона в конденсаторi знайдемо з умови, що у горизонтальному напрямку електрон летить вiдстань l з постiйною швидкiстю, яка дорiвнює початковiй швидкостi. Тобто

l = v t

t =

(93)

Звiдки перемiщення електрона h дорiвнює

h =

|e| U l2

(94)

2 v2 d me

Пiсля пiдстановки числових значень отримаємо

h =

5 · 10−2 2 · 1, 6 · 10−19 · 600

= 3, 66

10−3

[м] .

(95)

2 · (6 · 107) · 10−2 · 9, 1 · 10−31

Перевiримо розмiрнiсть отриманої величини

[h] =

м2 Кл (Дж/Кл)

м2 Кл кг м2/(c2 Кл)

= м .

(96)

(м/с)2 м кг

Вiдповiдь: h = 3, 66 · 10−3 м .

Задача №7. Визначити прискорюючу рiзницю потенцiалiв U електростатичного поля, яку повинен пройти електрон, що рухається зi швидкiстю v1 = 106 м/с, щоб його швидкiсть збiльшилась в два рази (n = 2).

v1	=	106 м/с
n = v2/v1	=	2
e	= −1, 6 · 10−19 Кл
U	=	?

Прискорюючу рiзницю потенцiалiв U можна визначити, обчисливши роботу A сил електростатичного поля. Ця робота визначається добутком заряду електрона e та рiзницею потенцiалiв U

A = |e| U .

(97)

Виходячи з закону збереження енергiї, робота, яку виконує електричне поле, йде на збiльшення кiнетичної енергiї електрона. Тобто

A = T2 − T1 =	m v22	−	m v12	,	(98)
	2		2

де T1 i T2 – вiдповiдно кiнетична енергiя електрона пiсля проходження i до проходження поля.

Порiвняємо правi частини рiвнянь (97) i (98) i отримаємо

m v2

|e| U =

−

(99)

Згiдно з умовою задачi

= n. Тому останнiй вираз можна переписати так

m v2 n2

m v2

|e| U =

−

− 1) .

(100)

Звiдки рiзниця потенцiалiв U дорiвнює

U =

(n2 − 1) m v12

(101)

2 |e|

Чисельне значення потенцiалу U дорiвнює

U =

(22 − 1) · 9, 1 · 10−31 · (106)2

= 8, 5 [В].

(102)

2 · 1, 6 · 10−19

Перевiримо розмiрнiсть вiдповiдi

[U ] =

кг · м2

Дж

= [В] .

(103)

с2 · Кл

Кл

Вiдповiдь: U = 8, 5 [В].

Задача №8. На вiдстанi L1 = 50 см вiд поверхнi кулi радiусом R = 9 см, зарядженої до потецiалу ϕкул = 25 кВ, знаходиться точковий заряд q = 10−8 Кл. Яку роботу A необхiдно виконати для зменшення вiдстанi мiж кулею та зарядом до L2 = 20 см?

L1	=	50 см	L1	= 50 · 10−2 м
R	=	9 см	R	= 9 · 10−2 м
ϕкул	=	25 кВ	ϕкул	=	25 · 103 В2
q	=	10 · 10−8 Кл	q	=	10 · 10−8 Кл
L2	=	20 см	L2	= 20 · 10−2 м
			A	=	?

Робота, яку необхiдно виконати для перемiщення заряду q з точки B в точку A пропорцiйна рiзницi потенцiалiв (ϕB − ϕA) в точках B i A i дорiвнює

A = q (ϕB − ϕA).

(104)

Вважається, що потенцiали в точках B i

A, якi розташованi вiдповiдно на вiдста-

нях L1 i L2 вiд поверхнi кулi (рис. 7), утво-

рюється зарядженою сферою радiусом R

i дорiвнюють

ϕB =

qкул

(105)

4 π ǫ0 ǫ(R + L1)

Рис. № 6:

та

qкул

ϕA =

4 π ǫ0 ǫ(R + L2)

Тодi рiзниця потенцiалiв (ϕB − ϕA) буде дорiвнювати

ϕB

−

ϕA =

qкул

−

qкул

4 π ǫ0 ǫ(R + L1)

4 π ǫ0 ǫ(R + L2)

або

(106)

(107)

ϕ	B −	ϕ	A	=	qкул (L2 − L1)	.	(108)
	B −		A		4 π ǫ0 ǫ (R + L1)(R + L2)

Звiдки робота A для перемiщення заряду q з точки B в точку A дорiвнює

A = q (ϕ	B −	ϕ	) =	q qкул (L2 − L1)	.	(109)
	B −	A		4 π ǫ0 ǫ (R + L1)(R + L2)

Знайдемо заряд кулi qкул, виходячи з того, що потенцiал кулi ϕкул дорiвнює

ϕкул =

qкул

qкул = ϕкул 4 π ǫ0 ǫ R.

(110)

4 π ǫ0 ǫ R

Звiдки робота A для перемiщення заряду остаточно дорiвнює

A =

q ϕкул 4 π ǫ0 ǫ (L2 − L1)

= q ϕкул

L2 − L1

(111)

4 π ǫ0 ǫ (R + L1)(R + L2)

(R + L1)(R + L2)

Пiсля пiдстановки числових значень отримаємо

A = 10−8

10−2

103

0, 2 − 0, 5

[Дж] =

(112)

(0, 09 + 0, 5)(0, 09 + 0, 2)

= − 39, 5 [Дж] .

Знак ”–” свiдчить про те, що роботу A виконує зовнiшня сила проти сил електростатичного вiдштохування двох зарядiв однокового знаку: заряду

кульки qкул та заряду q. Тобто, знак ”–” вiдповiдає тому, що зовнiшня сила виконує роботу по перемiщенню додатнього заряду з точки, де потенцiал є малим, в точку, де понцiал є бiльшим.

Перевiримо розмiрнiсть отриманої величини роботи

[A] = Кл · м · В	м	= Кл · м ·	Дж м	= Дж .	(113)

	м2		Кл м2

Вiдповiдь: A = − 39, 5 Дж .

Задача №9. Двi кулi, радiси яких вiдповiдно дорiвнюють 5 i 8 см, та потенцiали яких вiдповiдно 120 i 50 В, з’єднують електричним дротом. Знайти

потенцiали кульок пiсля їх з’єднання. Знайти заряд					q, що перейшов з однiєї
кулi на другу.
R1 =		5 см	R1	=	5 · 10−2 м
R1 =		5 см	R1	=	5 · 10−2 м
R2 =		8 см	R2	=	8 · 10−2 м
ϕ1	=	120 В	ϕ1	=	120 В
ϕ2	=	50 В	ϕ2	=	50 В
ǫ0	= 8, 87 · 10−12 Кл2/(Н · м2)		ǫ0	8, 87 · 10−12 Кл2/(Н · м2)
ǫ	=	1	ǫ	=	1
			ϕ1′ ; ϕ2′	=	?
			q	=	?
Електроємностi двох куль можна визначити через їх радiуси
		c1(2) = 4 π ǫ0 ǫ R1(2).			(114)

Знаючи електроємностi c1 i c2, знайдемо величини зарядiв q1 i q2, якi утримають кулi, щоб мати вiдповiдно потенцiали ϕ1 = 120 i ϕ2 = 50 В

q1(2) = c1(2) ϕ1(2) = 4 π ǫ0 ǫ R1(2) ϕ1(2) .

(115)

Звiдки загальний заряд куль до їх з’єднання дорiвнює

q1 + q2 = 4 π ǫ0 ǫ (R1 + R2) .

(116)

Пiсля з’єднання куль провiдником заряди мiж ними перетечуть з кулi з бiльшим потенцiалом для кулi з меншим потенцiалом i перетiкати вони будуть до тих пiр, поки на кулях встановляться однаковi потенцiали, що дорiвнює ϕ. Тобто

ϕ1′ = ϕ2′ = ϕ .

(117)

При цьому кулi будуть утримувати новi заряди q1′ i q2′

q1(2)′ = 4 π ǫ0 ǫ R1(2) ϕ .	(118)
Загальний заряд q1′ + q2′ двох з’єднаних куль дорiвнює
q1′ + q2′ = 4 π ǫ0 ǫ R1 ϕ + 4 π ǫ0 ǫ R2 ϕ = 4 π ǫ0 ǫ (R1 + R2) ϕ .	(119)

Виходячи з закону збереження зарядiв (сума зарядiв куль до i пiсля з’єднання куль однакова), складемо рiвняння

+ q

= q′ + q′

4 π ε

ε (R + R ) = 4 π ε

ε (R

+ R ) ϕ .

(120)

Звiдки можна знайти потенцiал куль ϕ пiсля їх з’єднання провiдником

ϕ =

ϕ1 R1 + ϕ2 R2

(121)

R1 + R2

Пiсля пiдстановки числових значень отримаємо

ϕ =

120 · 5 · 10−2 + 50 · 8 · 10−2

[В] = 77 [В] .

(122)

5 · 10−2 + 8 · 10−2

Знаючи потенцiал куль ϕ пiсля їх з’єднання, знайдемо заряд

q, що перетiкає

з однiєї кулi до другої

q = q1 − q1′

= 4 π ε0 ε R1 ϕ1 − 4 pi ε0 ε R1 ϕ = 4 π ε0 ε R1 (ϕ1 − ϕ) .

(123)

Числове значення

q дорiвнює

q = 4 ·3, 14 ·8, 87 ·10−12 ·1 ·5 ·10−2(120 −77) [Кл] = 2, 39 ·10−10 [Кл] .

(124)

Перевiримо розмiрнiсть отриманої величини

[Δq] = Кл2/(Н · м2) · м · (Дж/Кл) =

(125)

Кл2 · м · Н · м

= Кл .

Вiдповiдь: ϕ = 77 В;

Н · м2 · Кл

q = 2, 39 · 10−10 Кл .

Задача №10. Плоский повiтряний конденсатор складається з двох пластин площиною 50 см2, якi розташованi на вiдстанi 4 мм одна вiд одної. Конденсатор заряджають вiд батареї 200 В i вiдключають вiд неї. Яку роботу треба виконати, щоб збiльшити вiдстань мiж обкладками конденсатора в два рази?

ǫ	=	1	ǫ =	1
l1	= 4 мм		l1 = 4 · 10−3 м
S1 = S2 = S = 50 см2			S = 50 · 10−4 м2
U	=	200 В	U =	200 В
l2 = 2 · l1	= 8 мм		l2 = 8 · 10−3 м
			A =	?

Для зарядженого i вiдключеного вiд батареї конденсатора незалежно вiд того, на якiй вiдстанi знаходяться обкладки конденсатора, повинен виконуватись закон збереження заряду.

Для збiльшення вiдстанi мiж обкладками конденсатора зовнiшнi сили виконують роботу A проти сил електростатичного поля, якi дiють мiж обкладками. При цьому робота зовнiшнiх сил дорiвнює змiнi енергiї конденсатора

при збiльшеннi вiдстанi мiж обкладками:
A = W2 − W1,	(126)

де W1 i W2 – вiдповiдно енергiя конденсатора при вiдстанi мiж його обкладками l1 l2.

Енергiя Wi зарядженого конденсатора, який вiдключено вiд батареї, залежить вiд його електроємностi Ci, яка за умовою задачi визначається вiдстан-

ню мiж його обкладками

Wi =

(127)

2 Ci

Враховуючи це, отримаємо

A =

! .

(128)

2 C2 −

2 C1

2 C2

− C1

Електроємнiсть плоского конденсатора залежить вiд площi S обкладок та вiдcтанi li мiж ними i дорiвнює

Ci =	ǫ ǫ0	S	.	(129)
	li

Звiдки робота, яку треба виконати для збiльшення вiдстанi мiж обкладками конденсатора, дорiвнює

A =

Q2 l2

−

! =

(l2

−

l1).

(130)

2 ǫ ǫ0 S

ǫ ǫ0 S

2 ǫ ǫ0 S

Причому заряд Q, який зберiгається при будь-якiй змiнi електроємностi при вiдключенiй батареї, визначається напругою U батареї

		ǫ ǫ0	S U
Q = C1 U0	=			.	(131)

		l1

Остаточно отримуємо

ǫ ǫ S U 2

A =

(l2 − l1) .

2 l12

В чисельному виглядi робота A дорiвнює

A =

8, 85 · 10−12 · 50 · 10−4 · 2002

10−3

−

10−3) = 4

10−7

[Дж].

−

3)2

Перевiримо розмiрнiсть отриманої величини

] [l]

[A] =

[ǫ0] [S] [U

= Ф В2 = Кл В = Дж.

[l2]

м2

Вiдповiдь:A = 4 · 10−7 Дж.

(132)

(133)

(134)

Задача №11. Визначити, до якої рiзницi потенцiалiв U необхiдно зарядити плоский кондесатор, який розташовано горизонтально, щоб пилинка масою m = 3 · 10−11 г утримувалась мiж обкладками конденсатора в станi спокою. Заряд пилинки складається з n = 50 зарядiв електрона. Вiдстань мiж обкладками конденсатора дорiвнює d = 8 мм.

m	= 3 · 10−11 г		m = 3 · 10−14 кг
n	=	50	n	=	50
me	=	9, 11 · 10−31 кг	me	=	9, 11 · 10−31 кг
e	= 1, 6 · 10−19 Кл		e	= 1, 6 · 10−19 Кл
d =		8 мм	d = 8 · 10−3 м
			U	=	?

Виходячи з умови рiвноваги (заряджена пилинка, на яку дiють сила тяжiння p та сила Кулона Fq , знаходиться у рiвновазi), можна записати рiвняння

p = Fq (m + n me) g = E n e,

(135)

де E – напруженiсть однорiдного електростатичного поля зярядженого плоского конденсатора.

Вiдомо, що для плоского конденсатора напруженiсть однорiдного поля E дорiвнює

E =	U	,	(136)
	d

де U – рiзниця потенцiалiв мiж обкладками плоского конденсатора. Звiдки маємо рiвняння для знаходження рiзницi потенцiалiв U

	U n e		(m + n me) g d
(m + n me) g =		, U =		.	(137)
	d		n e

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Практичні заняття

#
20.02.201626 б5Lib_StartDATA.ini
#
20.02.201666.14 Кб11Методичні вказівки до практичних занять з фізики №1.3.pdf
#
20.02.2016365.22 Кб10Методичні вказівки до практичних занять з фізики №2.3.pdf
#
20.02.2016314.57 Кб10Методичні вказівки до практичних занять з фізики №3.3.pdf