Методичні вказівки до практичних занять з фізики №2

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Государственный экономико-технологический университет транспорта

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

R, а питома провiднiсть γ є оберненою до питомого опру

.3.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

365.22 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

де ~n – одиничний вектор нормалi до зарядженої площини.

Напруженiсть однорiдного поля Ec мiж двома нескiнченними зарядженими до рiвних протилежних знакiв (нескiнченний за розмiрами обкладок

плоский конденсатор) визначається як:
~	σ				σ
E =	ǫ ǫ	0	~n,	E =	ǫ ǫ	.	(17)
		0			0

				~
Взаємозв’язок мiж напруженiстю E i потеецiалом ϕ електростатичного поля
визначається за спiввiдношенням
		~					(18)
		E = − grad ϕ,					(18)
	∂ϕ		∂ϕ		∂ϕ
де оператор grad = e~1		+ e~2		+ e~3		трансформує скалярну величину
де оператор grad = e~1	∂x	+ e~2	∂y	+ e~3	∂z	трансформує скалярну величину

(потенцiал поля ϕ) у векторну (напруженiсть поля E); e~i – одиничнi ортогональнi вектори, якi спрямованi вздовж декартових осей координат.

Для однорiдного поля модуль вектора напруженостi поля визначається як

E =	ϕ1 − ϕ2	,	(19)
	\|r~12\|
де r~ – радiус-вектор мiж точками поля, в яких потенцiал поля дорiвнює ϕ				1
12				1

та ϕ2.

Для поля, яке має осьову або центральну симетрiю, модуль вектора на-

пруженостi E та рiзниця потенцiалiв			ϕ мiж точками 1 i 2 визначаються за
формулами
	dϕ		2
E = −	dϕ	;	ϕ = − Z	E dr,	(20)

	dr
			1

Електричний диполь p~ – система двох рiвних за модулем рiзноiменних

точкових зарядiв (+Q, −Q), вiдстань мiж якими |l| значно менша порiвняно з вiдстанню |~r| до будь-якої довiльної точки поля, в якiй розглядається дiя

диполя
~	(21)
p~ = \|Q\| · l,	(21)

де вектор p~ називають ще електричним моментом диполя або диполь-

ним моментом ~ плечем диполя i l – .

4.3Робота поля по перемiщенню заряду, циркуляцiя вектора напруженостi поля

Робота сил електростатичного поля (як внутрiшнiх сил замкнутої системи, якi утворюють потенцiальне поле) по перемiщенню заряду Q0 iз точки

1 в точку 2 не залежить вiд форми траєкторiї перемiщення, а залежить лише вiд положення початкової (1) та кiнцевої (2) точок траєкторiї

2		2		2		2
A = Z	(F~ d~l) = Q0	Z	(E~ d~l) = Q0	Z	E dl cos α = Q0	Z	E dr ,	(22)
1		1		1		1
~							~	~
де dl – елементарний вектор змiщення заряду; α – кут мiж векторами E i dl.
Для однорiдного електростатичного поля остання формула спроститься
		2	dx = Q0 E (x2 − x1) = Q0 E d,
	A = Q0 E Z		dx = Q0 E (x2 − x1) = Q0 E d,					(23)
		1

де d = x2 − x1 – вiдстань мiж точками поля 1 i 2.

Робота сил поля по перемiщенню заряду Q0 з точки поля, де потен-

цiал дорiвнює ϕ1, в точку з потенцiалом ϕ2 дорiвнює
A = Q0 (ϕ1 − ϕ2) .		(24)
		~
Циркуляцiєю вектора напруженостi електростатичного поля E є
	~	~
iнтеграл по замкненому контуру L скалярного добутку векторiв E i dl. Для
		~
потенцiального поля, яким є електростатичне поле, циркуляцiя вектора E
дорiвнює нулю
I	(E~ dl)~ = 0 .	(25)

4.4Електроємнiсть

Електроємнiсть вiдокремленого провiдника C є величина, яка дорiвнює вiдношенню заряду Q, що утримається на провiднику, до потенцiалу ϕ провiдника

C =	Q	.	(26)

	ϕ

Електроємнiсть конденсатора C залежить вiд рiзницi потенцiалiв ϕ1 −ϕ2 i визначається за формулою

	Q
C =	ϕ1 − ϕ2 .	(27)

Електроємнiсть:

1) вiдокремленої провiдної кулi (вiдокремленої вiд iнших провiдникiв) радiусом R є

C = 4 π ε0 ε R;

(28)

2) плоского кондесатора з обкладками площиною S, вiдстань мiж якими дорiвнює d, є

S
C = ε0 ε d .	(29)

Правила складання конденсаторiв в батереї, якi складаються з n

конденсаторiв:

а) при послiдовному з’єднаннi конденсаторiв загальна електроєм-

	1			n	1
нiсть Cпсл знаходиться з рiвняння			=	X
		Cпсл		i=1 C i

Cпсл =		C1C2 . . . Cn				;	(30)
	C2C3 . . . Cn + C1C3 . . . Cn + . . . + C1C2 . . . Cn−1

б) при паралельному з’єднаннi конденсаторiв загальна електроємнiсть Cпрл знаходиться з рiвняння

	n
Cпрл =	X	Ci .	(31)

i=1

4.5Енергiя зарядженого конденсатора, енергiя електростатичного поля

Енергiя зарядженого конденсатора Wc з електроємнiстю C, який заряджений до рiзницi потенцiалiв ϕ мiж його обкладинками i, який утримує

заряд Q, дорiвнює	C (Δϕ)2					Q2
	C (Δϕ)2		Q	ϕ		Q2
Wc =		=			=		.	(32)
Wc =	2	=		2	=	2 C	.	(32)

Енергiя W електростатичного поля об’ємом V , напруженiсть якого дорiвнює E, визначається за формулою

	ǫ ǫ E2
W =	0	V.	(33)
W =	2	V.	(33)
	2

Об’ємна густина енергiї електромагнiтного поля w (енергiя одиницi

об’єму) є
	W		ǫ ǫ E2
w =		=	0	.	(34)
	V		2

4.6Постiйний струм

Сила струму (або струм) I – скалярна величина, яка визначається електричним зарядом, що проходить через поперечний зрiз провiдника за одиницю часу

I =	dQ	.	(35)

	dt

Для постiйного струму
I =	Q	.	(36)

	t

Густина струму ~

j – векторна величина, модуль якої дорiвнює вiдношенню змiни струму dI до площини поперечного зрiзу провiдника dS, який орiєнтований перпендикулярно до напряму упорядкованого руху носiїв струму в провiднику

j =	dI	.	(37)

	dS

Напрям вектора густини струму ~

j спiвпадає з напрямом вектора середньої швидкостi < ~v > руху носiїв струму (з напрямом нормалi ~n до пло-

щини dS )	dI
~	dI		~
j = dS		~n	j = N e < ~v > ,	(38)

де N i e – вiдповiдно концентрацiя i заряд носiїв струму; ~n – одиничний вектор

нормалi до площини dS .		~
Взаємозв’язок мiж струмом I та вектором густини струму j визначається
	~		(тобто
виразом для потоку вектора густини струму j через площину dS			(тобто
	~	~
iнтегралом по площинi S вiд скалярного добутку векторiв j та dS = ~n dS )
I = Z	(~j d~S) .		(39)

Електрорушiйна сила (ЕРС) джерела стуму ε – це величина, що дорiвнює вiдношенню роботи A, яку виконують стороннi сили, щоб подiлити заряди на додатнi та вiд’ємнi на клемах джерела струму, до величини перенесеного заряду (або A дорiвнює роботi стороннiх сил по переносу заряду Q по замкнутому колу)

	ε =	A	.			(40)
	ε =	Q	.			(40)
		Q
Закон Ома:
а) для дiлянки кола, яка не має ЕРС
I =	ϕ1 − ϕ2		=	U	,	(41)
I =	R		=	R	,	(41)
	R			R

ϕ1 − ϕ2 = U – рiзниця потенцiалiв (напруга) на кiнцях дiлянки кола, R – розглядуваної дiлянки кола;

б) для дiлянки кола, яка включає ЕРС, на кiнцях якої iснує рiзниця потенцiалiв ϕ1 − ϕ2

I =	(ϕ1 − ϕ2) ± ε	,	(42)
	R + r

I = R + r .

де ε – ЕРС джерела струму, (R + r) – повний опiр дiлянки кола, яке складається з зовнiшнього R опору та внутрiшнього r опору (опору джерела);

в) для повного кола

(43)

Правила Кiрхгофа:

а) (перший) алгебраїчна сума струмiв, що сходяться у вузлi, дорiвнює нулю

N
X	Ii = 0 ,	(44)
	Ii = 0 ,	(44)

i=1

де знак струму у сумi визначається за правилом – струм, що пiдтiкає, має знак плюс, струм, який витiкає з вузла, має знак мiнус, N – повне число гiлок струму, шо сходяться у даному вузлi;

б) (другий) алгебраїчна сума добуткiв струмiв та опорiв обраного кола дорiвнює алгебраїчнiй сумi всiх ЕРС

N		k
X	I · Ri =	X	εk ,	(45)
i=1		i=1

де Ri – опори, включаючи внутрiшнiй опiр ЕРС, якi входять в обране коло, знаки добуткiв I · Ri та знаки εi визначаються вiдповiдно до обраного нами напрямку обходу кола.

Опiр провiдника R визначається питомим опором ρ провiдника, значення якого залежить вiд матерiалу провiдника, вiд його довжини l та вiд площi S поперечного перерiзу

R = ρ	l	.	(46)

	S

Провiднiсть провiдника G є величина, яка дорiвнює оберненiй величинi

Опiр системи провiдникiв R:

а) при послiдовному з’єднаннi N провiдникiв загальний опiр дорiвнює

	N
R =	X	Ri .	(48)

i=1

б) при паралельному з’єднаннi N провiдникiв загальний опiр R визна-

	1		N	1
чається за формулою		=	X
	R		i=1	R

				i

R = R2 · R3 . . . RN + R1 · R3 . . . RN + . . . + R1 · R2 . . . RN −1 . (49) R1 · R2 . . . RN

Закон Ома у диференцiйнiй формi ~

зв’язує вектор густини струму j

	~
та вектор напруженостi електростатичного поля E
~	~	(50)
j	= γ E,	(50)

де γ – питома провiднiсть провiдника.

Робота A та потужнiсть P струму:

а) на дiлянцi кола iз струмом I, на кiнцях якої пiдтримується рiзниця потен-

цiалiв U
	dA = I U dt,			P = I U .			(51)
б) для дiлянки кола, яка не мiстить ЕРС
dA = I2		U 2		P = I2 R =	U 2
	R dt =		dt,			.	(52)

		R			R

Закон Джоуля-Ленца визначає кiлькiсть теплоти dQ, яка видiляється

в провiднику опором R, по якому тече струм I, за час				t
dQ = I U dt = I2		U 2
	R dt =		dt .	(53)

		R

Задача №1. Двi кульки по 0,2 г кожна пiдвiшенi на тонких шовкових нитках довжиною 0,5 м кожна так, що їх поверхнi торкаються одна одної. Пiсля того, як кульки зарядили однаковими за величиною електричними зарядами, вони вiдштовхнулися одна вiд одної i розiйшлися на вiдстань r = 5 см мiж їх центрами. Визначити величину зарядiв кожної кульки (ǫ = 1).

m	=	0, 2 г	m	=	0, 2 · 10−3 кг
l	=	0, 5 м	l	=	0, 5 м
r =		5 см	r =		5 · 10−2 м
ǫ	=	1	ǫ	=	1
ǫ0 = 8, 85 · 10−12 Кл2/(Н · м2)			ǫ0	= 8, 85 · 10−12 Кл2/(Н · м2)
			q	=	?

Якщо кульки розiйдуться пiд дiєю сил Кулона, на кожну з них дiють три

~	~	~
сили: сила ваги P	= m~g, сила Кулона Fq та сила натягу нитки T .

Оскiльки зарядженi кульки пiсля того як розiйшлися знаходяться в станi спокою, то рiвнодiюча всiх сил (згiдно з другим законом Ньютона), що дiє на кульку, повинна дорiвнювати нулю (рис. 2).

За умовою задачi кут α вiдхилення нитки вiд вертикального положення

малий (l >> r). Тому можна записати:
	sin α			l/2		Fq
tan α =		≈ sin α	або		=		.	(54)
	cos α			r		P

Звiдки визначимо модуль кулонiвської сили Fq вiдштовхування кульок
Fq =	P · r	=	m g r	.	(55)
	2 l
			2 l

За законом Кулона модуль сили вiдштовхування кульок (яка може виникати лише у випадку, коли кульки мають однаковi за знаком заряди), дорiвнює:

Fq =	q1 · q2	=	q2	.	(56)
			4 π ǫ0 r2
	4 π ǫ0 r2

Порiвнявши правi частини виразiв (54, 55) отримаємо рiвняння для знаход-

ження r

m g r

(57)

2 l

4 π ǫ0 r2

Звiдки заряд q дорiвнює:

q = v

= v

(58)

m g r 4 π ǫ0 r2

4 π ǫ0 m g r3 .

2 l

Пiсля пiдстановки числових значкнь отримаємо

q = v

= 5, 2

10−9 [Кл]. (59)

4 · 3, 14 · 0, 2 · 10−3 · 9, 8 · (5 · 10−2)3 · 8, 85 · 10−12

0, 5

Перевiремо розмiрнiсть вiдповiдi

[q] = v

= v

кг · м/с2

· м3 · Кл2/(Н · м2)

кг · м · м3 · Кл2

= Кл . (60)

Вiдповiдь: q = 5, 2 · 10−9 Кл.

Задача №2. Два точкових заряда q1 = 2 · 10−7 Кл i q2 = −4 · 10−7 Кл розташованi на вiдстанi d = 10 см один вiд одного. Визначити напруженiсть електростатичного поля та iндукцiю в точцi A, яка знаходиться на вiдстанi r1 = 20 см вiд одного i r2 = 15 см вiд другого заряду.

q1 =		2 · 10−7 Кл	q1	=	2 · 10−7 Кл
q2	=	−4 · 10−7 Кл	q2	=	−4 · 10−7 Кл
d	=	10 см	d	=	10 · 10−2 м
r1 =		20 см	r1	=	20 · 10−2 м
r2 =		15 см	r2	=	15 · 10−2 м
ǫ	=	1	ǫ	=	1
ǫ0	= 8, 85 · 10−12 Кл2/(Н · м2)		ǫ0	= 8, 85 · 10−12 Кл2/(Н · м2)
			EA	=	?
			DA	=	?

Рис. № 2:

Згiдно з принципом суперпозицiї, напруженiсть електростатичного поля в точцi A дорiвнює векторнiй сумi полiв, якi утворюються точковими зарядами q1 i q2

~ ~	~	(61)
EA = E1	+ E2.	(61)
~
Модуль вектора EA визначимо з трикутника ABC (рис. 3)
EA2 = E12 + E22 − 2 · E1 E2 · cos ϕ.		(62)

Модулi векторiв наруженостей полiв E1 i E1, якi утворюються в точцi A точковими зарядами q1 i q2 вiдповiдно на вiдстанях r1 i r2, дорiвнюють:

E1,2 =

q1,2

(63)

4 π ε ε0

(r1,2)2

З трикутника AKL, який подiбний трикутниковi ABC, отримаємо, що

cos ϕ =

r12 + r22 − d2

(64)

2 r1 r2

Пiсля пiдстановки (62) i (63) у вираз (61)

отримаємо

EA =

4 π εε0

q12

q22

(r12 + r22

d2)

. (65)

−

×u r

Вiдомо, що вектор електростатичної iндукцiї D дорiвнює

~	~	(66)
D = ε ε0	E.	(66)

Тому модуль вектора електростатичної iндукцiїї DA в заданiй точцi A поля дорiвнює

q12

q22

(r12 + r22

d2)

(67)

−

4 π u r

Пiдставивши числовi значення, отримаємо
EA = 6, 2	· 104	[В/м],	DA = 1, 09 · 10−6 hКл/м2i .	(68)
Вiдповiдь: EA = 6, 2	· 104	В/м та DA = 1, 09 · 10−6 Кл/м2.

Рис. № 3:

Задача №3. Два тонких проводи розмiщенi паралельно на вiдстанi d один вiд одного i зарядженi рiвномiрно рiзнойменними зарядами з лiнiйною густиною +τ i −τ . Визначити

напруженiсть поля E в точцi симетрiї на вiдстанi l вiд площини, в якiй розмiщенi провiдники.

d l

±τ

E = ?

Напруженiсть електростатичного поля E в шуканiй точцi C (рис. 4) визначається згiдно з принципом суперпозицiї полiв як векторна сума напружено-

~	~
стей полiв E1	i E2, якi утворюються окремо кожним з двох нескiнченних
рiвномiрно заряджених провiдникiв
	~ ~	~	(69)
	E = E1	+ E2 .	(69)

Модуль вектора напруженостi поля, яке утворюється одним з провiдникiв згiдно з теоремою Остроградського-Гауса, дорiвнює:

√

|E1,2| =

2 π ε ε0 R

(70)

4 l

+ d

де R =

– найкоротша вiдстань вiд зарядженого провiдника до

точки C (рис. 4).

Виходячи з рис. 4, модуль сумарного вектора E дорiвнює алгебраїчнiй сумi

проекцiй векторiв E1 та E2

на напрям шуканого вектора E, який паралельний

зi стороною AB трикутника ABC (рис. 4). Тобто модуль вектора E дорiвнює

τ cos α

√

= 2

cos α =

(71)

π ε ε0 ·

4 l

+ d

З трикутника ACB маємо, що

cos α =

√

(72)

4 l2 + d2

Пiдставляючи (71) в (70), отримаємо

τ d

|E| =

π ε ε0 (4 l2 + d2)

(73)

τ d

Вiдповiдь: E = π ε ε0 (4 l2 + d2)

Задача №4. Кiльце з тонкого дроту рiвномiрно заряджене зарядом Q = 2 · 10−8 Кл. Радiус кiльця R = 5 см. Визначити потенцiал ϕ у центрi кiльця i потенцiал ϕ1 у точцi, яка розташована на перпендикулярi до площi кiльця на висотi h = 10 см вiд площi кiльця.

Q = 2 · 108 см2			Q = 2 · 108 см2
R	=	5 см	R = 5 · 10−2 м
h	=	10 см	h	=	10 · 10−2 см
			ϕ	=	?
			ϕ1	=	?

Виходячи з принципу суперпозицiї полiв, потенцiал поля в точцi B (рис. 5) вiд зарядженого кiльця визначається як алгебраїчна сума елементарних потенцiалiв d ϕ, якi утворюються зарядженим нескiн-

ченно	малим елементом d x				довжини
кiльця.
Кiльце заряджено рiвномiрно i густина
заряду τ кiльця є
Рис. № 4:		τ =	Q	,	(74)

			2 π R
a елементарний заряд d Q елементу d x кiльця буде
d Q = τ d x =	Q d x	.			(75)

	2 π R

Кожний елемент d Q заряду кiльця, заряд якого можна вважати точковим, утворює елементарний потенцiал d ϕ в довiльнiй точцi поля на вiдстанi l вiд точкового елементарного заряду d Q, який, згiдно з теоремою Остроградського-Гауса, дорiвнює

	d Q		Q d x
d ϕ =		=		.	(76)
	4 π ε ε0 l		8 π2 ε ε0 R l

Згiдно з принципом суперпозицiї полiв, потенцiал поля ϕ в точцi B (рис. 5) дорiвнює сумi всiх елементарних потенцiалiв d ϕi, якi утворюються елемен-

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Практичні заняття

#
20.02.201626 б5Lib_StartDATA.ini
#
20.02.201666.14 Кб11Методичні вказівки до практичних занять з фізики №1.3.pdf
#
20.02.2016365.22 Кб10Методичні вказівки до практичних занять з фізики №2.3.pdf
#
20.02.2016314.57 Кб10Методичні вказівки до практичних занять з фізики №3.3.pdf