Загальна фізика / Теоретичні курси / Електрика та постійний електричний струм
.pdf
Рис. 2.5. |
Рис. 2.6. |
Для контурiв ACBA, ACDA i CBDC, згiдно з другим правилом Кiрхгофа, можна записати:
Irr + I1R1 + I2R2 = ξ, I1R1 + IGRG − I4R4 = 0, I2R2 − I3R3 − IGRG = 0. |
(2.25) |
Якщо вiдомi всi опори i е.р.с., то, розв’язуючи одержанi шiсть рiвнянь, можна знайти невiдомi струми. Змiнюючи вiдомi опори R2, R3, R4 можна добитися того, щоб струм через гальванометр був рiвний нулю (IG = 0). Тодi з (2.24) знайдемо
I1 = I2 I3 = I4, |
(2.26) |
а з (2.25) одержимо |
|
|
|
|
|
|
|
|
I1R1 = I4R4 |
I2R2 = I3R3. |
(2.27) |
||||||
З (2.26) i (2.27) виходить, що |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
= |
R2 |
|
R1 = |
R2R4 |
. |
(2.28) |
|
R4 |
R3 |
|
|||||
|
|
|
R3 |
|
||||
Таким чином, у разi рiвноважного моста (IG = 0) при визначеннi невiдомого опору R1 значення е.р.с. батареї, опору батареї i гальванометра ролi не грають.
На практицi звичайно використовується реохордний мiст Уiтстона (рис. 2.6), де опори R3 i R4 є довгим однорiдним дротом (реохорд) з великим питомим опором, так що вiдношення R3/R4 можна замiнити вiдношенням l3/l4. Тодi, використовуючи вираз (2.28), можна записати
R1 |
= R2 |
l4 |
(2.29) |
|
l3 |
||||
|
|
|
Довжини l3 i l4 легко вимiрюються за шкалою, а R2 завжди вiдоме. Тому рiвняння (2.29) дозволяє визначити невiдомий опiр R1.
2.7.Задачi для самоконтролю теоретичної пiдготовки
•Що називається силою струму? густиною струму? Якi їх одиницi? (Дати визначення.)
•Назвiть умови виникнення та iснування електричного струму.
•Що таке стороннi сили, яка їх природа?
•В чому фiзичний змiст електрорушiйної сили, що дiє в колi?
•Чому напруга являється узагальненим поняттям рiзницi потенцiалiв?
•Який звязок мiж опором та провiднiстю, мiж питомим опором та питомою провiднiстю?
•В чому суть явища надпровiдностi? Якi його перспективи?
•На чому основана дiя термометрiв опору?
•Виведiть закони Ома та Джоуля Ленца в диференцiальнiй формi.
•В чому фiзичний змiст питомої теплової потужностi струму?
•Проаналiзуйте узагальнений закон Ома. Якi окремi закони можна з нього отримати?
•Пояснiть фiзичний змiст електрорушiйної сили, рiзницi потенцiалiв та напруги на дiлянцi електричного кола.
•Якими дослiдами була встановлена природа носiїв електричного струму в металах?
•Якi основнi iдеї теорiї Друде Лоренца?
•Як формулюються правила Кiрхгофа? На чому вони основанi?
•Як складаються рiвняння, що виражають правила Кiрхгофа?
2.8.Задачi для самоконтролю практичної пiдготовки
12.1. По мiдному провiднику перетином 1 мм2 тече струм; сила струму 1 А. Визначити середню швидкiсть впорядкованого руху електронiв вздовж провiдника, припускаючи, що на кожний атом мiдi доводиться один вiльний електрон. Густина мiдi 8,9 г/см3. [74 мкм/с]
12.2.Визначити, в скiльки разiв зросте сила струму, що проходить через платинову пiч, якщо при по-
стiйнiй напрузi на затискачах її температура пiдвищується вiд (t1 = 20◦C до t2 = 1200◦. Температурний коефiцiєнт опору платини прийняти рiвним 3,65 ·10−3 К−1. [У 5 разiв]
12.3.По мiдному дроту перетином 0,3 мм2 тече струм 0,3 А. Визначити силу, що дiє на окремi вiльнi електрони з боку електричного поля. Питомий опiр мiдi 17 нОм·м. [2,72 ·10−21 Н]
12.4.Сила струму в провiднику опором 10 Ом рiвномiрно убуває вiд I0 = 3 А до I = 0 за 30 с. Визначити кiлькiсть теплоти, що видiлилася за цей час в провiднику. [900 Дж]
12.5.Густина електричного струму в алюмiнiєвому дротi дорiвнює 5 А/см2. Визначити питому теплову потужнiсть струму, якщо питомий опiр алюмiнiю 26 нОм м. [65 Дж/(м3 с)]
12.6.Визначити внутрiшнiй опiр r джерела струму, якщо в зовнiшньому колi при силi струму I1 = 5 А видiляється потужнiсть P1 = 10 Вт, а при силi струму I2 = 8 А потужнiсть P2 = 12 Вт. [0,17 Ом]
12.7.Три джерела струму з е.р.с. ξ1 = 1,8 В, ξ2 = 1.4 В i ξ3 = 1,1 B сполученi накоротко однойменними полюсами. Внутрiшнiй опiр першого джерела r1 = 0,4 Ом, другого r2 = 0,6 Ом. Визначити внутрiшнiй опiр третього джерела, якщо через перше джерело тече струм I1 = 1.13 А [0.2 Ом]
3.Електричнi струми в металах, вакуумi та газах
3.1.Елементарна класична теорiя електропровiдностi металiв
Носiями струму в металах є вiльнi електрони, тобто електрони, слабо пов’язанi з iонами кристалiчних граток металу. Це уявлення про природу носiїв струму в металах грунтується на електроннiй теорiї провiдностi металiв, створеної нiмецьким фiзиком П. Друде (1863–1906) i розробленої згодом нiдерландським фiзиком X. Лоренцем, а також на рядi класичних дослiдiв, що пiдтверджують положення електронної теорiї.
Перший з таких дослiдiв дослiд Рiкке4 (1901), в якому протягом року електричний струм пропускався через три послiдовно сполучених з ретельно вiдшлiфованими торцями металевих цилiндра (Cu, A1, Cu) однакового радiуса. Не дивлячись на те, що загальний заряд, що пройшов через цi цилiндри, досягав величезного значення (3,5·106 Кл), нiяких, навiть мiкроскопiчних, слiдiв перенесення речовини не виявилося. Це явилося експериментальним доказом того, що iони в металах не беруть участь в перенесеннi електрики, а перенесення заряду в металах здiйснюється частинками, якi є загальними для всiх металiв. Такими частинками могли бути вiдкритi в 1897 р. англiйським фiзиком Д. Томсоном (1856–1940) електрони.
Для доказу цього припущення необхiдно було визначити знак i величину питомого заряду носiїв (вiдношення заряду носiя до його маси). Iдея подiбних дослiдiв полягала в наступному: якщо в металi є рухомi, слабо пов’язанi з гратками носiї струму, то при рiзкому гальмуваннi провiдника цi частинки повиннi за iнерцiєю змiщуватися вперед, як змiщуються вперед пасажири, що стоять у вагонi при його гальмуваннi. Результатом зсуву зарядiв повинен бути iмпульс струму; по напряму струму можна визначити знак носiїв струму, а знаючи розмiри i опiр провiдника, можна обчислити питомий заряд носiїв. Iдея цих дослiдiв (1913) та їх якiсне втiлення належать росiйським фiзикам С. Л. Мандельштаму (1879– 1944) i Н. Д. Папалексi (1880–1947). Цi дослiди в 1916 р. були вдосконаленi i проведенi американським
4К. Рiкке (1845–1915) нiмецький фiзик.
фiзиком Р. Толменом (1881–1948) i ранiше шотландським фiзиком Б. Стюартом (1828–1887). Ними |
||||||
експериментально доведено, що носiї струму в металах мають негативний заряд, а їх питомий заряд |
||||||
приблизно однаковий для всiх дослiджених металiв. По значенню питомого заряду носiїв електричного |
||||||
струму i по визначеному ранiше Р. Мiллiкеном елементарному електричному заряду була визначена |
||||||
їх маса. Виявилося, що значення питомого заряду i маси носiїв струму та електронiв, що рухаються у |
||||||
вакуумi, збiгалися. Таким чином, було остаточно доведено, що носiями електричного струму в металах |
||||||
є вiльнi електрони. |
|
|
||||
Iснування вiльних електронiв в металах можна пояснити таким чином: при утвореннi кристалiч- |
||||||
них граток металу (в результатi зближення iзольованих атомiв) валентнi електрони, порiвняно слабо |
||||||
пов’язанi з атомними ядрами, вiдриваються вiд атомiв металу, стають "вiльними" i можуть перемiща- |
||||||
тися по всьому об’єму. Таким чином, у вузлах кристалiчних граток розташовуються iони металу, а мiж |
||||||
ними хаотично рухаються вiльнi електрони, утворюючи своєрiдний електронний газ, що має, згiдно з |
||||||
електронною теорiєю металiв, властивостi iдеального газу. |
||||||
Електрони провiдностi при своєму русi стикаються з iонами граток, внаслiдок чого встановлюється |
||||||
термодинамiчна рiвновага мiж електронним газом i гратками. За теорiєю Друде Лоренца, електро- |
||||||
ни мають такою ж енергiю теплового руху, як i молекули одноатомного газу. Тому, використовуючи |
||||||
висновки молекулярно-кiнетичної теорiї (див. ч. 1, рiвняння 44.3), можна знайти середню швидкiсть |
||||||
теплового руху електронiв |
|
hui = p8kT/ (πme), |
||||
яка для |
T |
= 300 |
K |
дорiвнює 1,1·10 |
5 |
|
|
|
|
м/с. Тепловий рух електронiв, будучи хаотичним, не може привести |
|||
до виникнення струму. При накладеннi зовнiшнього електричного поля на металевий провiдник окрiм |
||||||
теплового руху електронiв виникає їх впорядкований рух, тобто виникає електричний струм. Середню |
||||||
швидкiсть < υ > впорядкованого руху електронiв можна оцiнити згiдно з формулою (2.1) для густи- |
||||||
ни струму: j = ne hυi. Вибравши допустиму густину струму, наприклад для мiдних дротiв 107 А/м3, |
||||||
одержимо, що при концентрацiї носiїв струму n = 8 ·1028 м−3 середня швидкiсть < υ > впорядкованого |
||||||
руху електронiв дорiвнює 7,8·10−4 м/с. Отже, < υ > < u >, тобто навiть при дуже великiй густинi струму середня швидкiсть впорядкованого руху електронiв, що обумовлює електричний струм, значно менше їх швидкостi теплового руху. Тому при обчисленнях результуючу швидкiсть (< υ > + < u >)) можна замiнити швидкiстю теплового руху < u >. Здавалося б, одержаний результат суперечить факту практично миттєвої передачi електричних сигналiв на великi вiдстанi. Рiч у тому, що замикання електричного кола спричиняє за собою поширення електричного поля з швидкiстю c (c = 3 · 108м/с). Через час t = l/c (l довжина кола) вздовж кола встановиться стацiонарне електричне поле i в ньому почнеться впорядкований рух електронiв. Тому електричний струм виникає в колi практично одночасно з його замиканням.
3.2.Одержання основних законiв електричного струму в класичнiй теорiї електропровiдностi металiв
1. Закон Ома. Нехай в металевому провiднику iснує електричне поле напруженiстю E = const. З боку поля заряд вiдчуває дiю сили F = eE i набуває прискорення a = F/m = eE/m. Таким чином, пiд час вiльного пробiгу електрони рухаються рiвноприскорено, набуваючи до кiнця вiльного пробiгу швидкiсть
υmax = eE hti /m,
де < t > середнiй час мiж двома послiдовними зiткненнями електрона з iонами гратки. Згiдно з теорiєю Друде, в кiнцi вiльного пробiгу електрон, стикаючись з iонами гратки, вiддає їм накопичену в полi енергiю, тому швидкiсть його впорядкованого руху стає рiвною нулю. Отже, середня швидкiсть направленого руху електрона
hυi = (υmax + 0)/2 = eE hti / (2m) . |
(3.1) |
Класична теорiя металiв не враховує розподiлу електронiв по швидкостях, тому середнiй час < t > вiльного пробiгу визначається середньою довжиною вiльного пробiгу < l > i середньою швидкiстю руху
електронiв вiдносно кристалiчної гратки провiдника, що дорiвнює < u > + < υ > (< u > середня |
|||||||||||
швидкiсть теплового руху електронiв). У 3.1 було показано, що < υ > < u >, тому < t >=< l > / < |
|||||||||||
u >. Пiдставивши значення < t > у формулу (3.1), одержимо |
|
||||||||||
hυi = eE hli / (2m hui) . |
|
||||||||||
Густина струму в металевому провiднику, за (2.1), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
j = ne |
h |
υ |
i |
= ne2 hli E, |
|
||||||
|
|
|
2m |
h |
u |
i |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
звiдки видно, що густина струму пропорцiйна напруженостi поля, тобто одержали закон Ома в ди- |
|||||||||||
ференцiальнiй формi (порiвн. з (2.10). Коефiцiєнт пропорцiйностi мiж j i E є не що iнше, як питома |
|||||||||||
провiднiсть матерiалу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ = ne2 hli |
, |
|
|
|
(3.2) |
||||||
|
|
|
2m hui |
|
|
|
|
|
|||
яка тим бiльша, чим бiльша концентрацiя вiльних електронiв i середня довжина їх вiльного пробiгу. |
|||||||||||
2. Закон Джоуля Ленца. До кiнця вiльного пробiгу електрон пiд дiєю поля набуває додаткову |
|||||||||||
кiнетичну енергiю |
|
|
|
|
|
e2 |
l2 |
|
|||
mυmax2 |
= |
(3.3) |
|||||||||
hEKi = |
2 |
|
|
2m u |
2 E2. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
i |
|
|
При зiткненнi електрона з iоном ця енергiя повнiстю передається гратцi i йде на збiльшення внутрiшньої |
|||||||||||
енергiї металу, тобто на його нагрiвання. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
За одиницю часу електрон здiйснює з вузлами гратки в середньому < z > зiткнень: |
|
||||||||||
< z >=< u > / < l > . |
(3.4) |
||||||||||
Якщо n концентрацiя електронiв, то в одиницю часу вiдбувається n < z > зiткнень i гратцi пере- |
|
дається енергiя |
|
w = n hzi hEzi , |
(3.5) |
яка йде на нагрiвання провiдника. Пiдставивши (3.3) i (3.4) в (3.5), одержимо таким чином енергiю, що |
|
передається гратцi в одиницi об’єму провiдника за одиницю часу, |
|
w = ne2 hli E2. |
(3.6) |
2m hui |
|
Величина w є питомою тепловою потужнiстю струму (див. 2.4). Коефiцiєнт пропорцiйностi мiж w i E2 |
|
за (3.2)) є питома провiднiсть; отже, вираз (3.6) закон Джоуля Ленца в диференцiальнiй формi |
|
(порiвн. з (2.18)). |
|
3. Закон Вiдемана Франца. Метали мають як велику електропровiднiсть, так i високу теп- |
|
лопровiднiсть. Це пояснюється тим, що носiями струму i теплоти в металах є однi i тi ж частинки |
|
вiльнi електрони, якi, перемiщаючись в металi, переносять не тiльки електричний заряд, але i властиву |
|
їм енергiю хаотичного (теплового) руху, тобто здiйснюють перенесення теплоти. Вiдеманом i Францем |
|
у 1853 р. експериментально встановлений закон, згiдно з яким вiдношення теплопровiдностi (λ) до пи- |
|
томої електропровiдностi (γ) для всiх металiв при однiй i тiй же температурi однакове i збiльшується |
|
пропорцiйно термодинамiчнiй температурi: |
|
λ/γ = βT, |
|
де β стала, що не залежить вiд роду металу. Елементарна класична теорiя електропровiдностi металiв |
|
дозволила знайти значення β: β = 3(k/e)2, де k стала Больцмана. Це значення добре узгоджується з |
|
дослiдними даними. Проте, як виявилося згодом, це погодження теоретичного значення з дослiдним ви- |
|
падкове. Лоренц, застосувавши до електронного газу статистику Максвелла Больцмана, врахувавши |
|
тим самим розподiл електронiв по швидкостях, одержав β = 2(k/e)2, що привело до рiзкої розбiжностi |
теорiї з дослiдом. |
Таким чином, класична теорiя електропровiдностi металiв пояснила закони Ома i Джоуля Ленца, |
а також дала якiсне пояснення закону Вiдемана Франца. Проте вона крiм розглянутих суперечностей |
в законi Вiдемана Франца зiткнулася ще з рядом труднощiв при поясненнi рiзних експериментальних |
даних. Розглянемо деякi з них. |
Температурна залежнiсть опору. З формули питомої електропровiдностi (3.2) виходить, що |
опiр металiв, тобто величина, обернено пропорцiйна γ, повинен зростати пропорцiйно √T (у (3.2) n i |
√ |
< l > вiд температури не залежать, а hui T ). Цей висновок електронної теорiї суперечить дослiдним |
даним, згiдно з якими R T (див. 2.3). |
Оцiнка середньої довжини вiльного пробiгу електронiв в металах. Щоб за формулою (3.2) |
одержати γ, що вiдповiдають експериментальним значенням, треба приймати < l > значно бiльше |
iстинних, iншими словами, припускати, що електрон проходить без зiткнень з iонами гратки сотнi |
мiжвузельних вiдстаней, що не узгоджується з теорiєю Друде Лоренца. |
Теплоємнiсть металiв. Теплоємнiсть металу складається з теплоємностi його кристалiчної гратки |
i теплоємностi електронного газу. Тому атомна (тобто розрахована на 1 моль) теплоємнiсть металу по- |
винна бути значно бiльшою, нiж атомна теплоємнiсть дiелектрикiв, у яких немає вiльних електронiв. |
Згiдно з законом Дюлонга i Птi (див. ч.1, §73), теплоємнiсть одноатомного кристалу дорiвнює 3R. |
Врахуємо, що теплоємнiсть одноатомного електронного газу дорiвнює 3/2R. Тодi атомна теплоємнiсть |
металiв повинна бути близька до 4, 5R. Проте дослiд доводить, що вона дорiвнює 3R, тобто для металiв, |
так само як i для дiелектрикiв, добре виконується закон Дюлонга i Птi. Отже, наявнiсть електронiв |
провiдностi практично не позначається на значеннi теплоємностi, що не пояснюється класичною елек- |
тронною теорiєю. |
Вказанi розбiжностi теорiї з дослiдом можна пояснити тим, що рух електронiв в металах пiдко- |
ряється не законам класичної механiки, а законам квантової механiки i, отже, поведiнку електронiв |
провiдностi треба описувати не статистикою Максвелла Больцмана, а квантовою статистикою. Тому |