Загальна фізика / Теоретичні курси / Електрика та постійний електричний струм

довiльною замкнутою поверхнею, дорiвнює

II

~ ~

Q = DdS = DndS = 0,

SS

оскiльки в усiх точках всерединi поверхнi D = 0.

Знайдемо взаємозв’язок мiж напруженiстю E поля поблизу поверхнi зарядженого провiдника i поверхневою густиною σ зарядiв на його поверхнi. Для цього застосуємо теорему Гаусса до нескiнченно малого цилiндра з основами S, який перетинає межу провiдник дiелектрик. Вiсь цилiндра орiєнтована вздовж вектора (рис. 1.25). Потiк вектора електричного змiщення через внутрiшню частину

~ ~

цилiндричної поверхнi дорiвнює нулю, оскiльки всерединi провiдника E1 (а отже, i D1) дорiвнюють

де ε дiелектрична проникнiсть середовища, що оточує провiдник.

Таким чином, напруженiсть електростатичного поля бiля поверхнi провiдника визначається поверхневою густиною зарядiв. Можна показати, що спiввiдношення (1.51) задає напруженiсть електростатичного поля поблизу поверхнi провiдника будь-якої форми. Якщо в зовнiшнє електростатичне поле внести нейтральний провiдник, то вiльнi заряди (електрони, iони) перемiщатимуться: позитивнi по полю, негативнi проти поля (рис. 1.26,а). На одному кiнцi провiдника накопичуватиметься надлишок

позитивного заряду, на iншому надлишок негативного. Цi заряди називаються iндукованими. Процес вiдбуватиметься до тих пiр, поки напруженiсть поля всерединi провiдника не стане рiвною нулю, а лiнiї напруженостi зовнi провiдника перпендикулярними його поверхнi (рис. 1.26,б ). Таким чином, нейтральний провiдник, внесений в електростатичне поле, розриває частину лiнiй напруженостi; вони закiнчуються на негативних iндукованих зарядах i знов починаються на позитивних. Iндукованi заряди розподiляються на зовнiшнiй поверхнi провiдника. Явище перерозподiлу поверхневих зарядiв на провiднику в зовнiшньому електростатичному полi називається електростатичною iндукцiєю.

З рис. 1.26,б виходить, що iндукованi заряди з’являються на провiднику внаслiдок змiщення їх пiд дiєю поля, тобто σ є поверхневою густиною змiщених зарядiв. За (1.50), електричне змiщення D поблизу провiдника чисельно дорiвнює

~

поверхневiй густинi змiщених зарядiв. Тому вектор D одержав назву вектора електричного змiщення. Оскiльки в станi рiвноваги всерединi провiдника заряди вiдсутнi, то створення всерединi нього порожнини не вплине на конфiгурацiю розташування зарядiв i тим самим на електростатичне поле. Отже, всерединi порожнини поле вiдсутнє. Якщо тепер цей провiдник з порожниною заземлити, то потенцiал в усiх точках порожнини буде нульовим, тобто порожнина повнiстю iзольована вiд впливу зовнiшнiх елек-

тростатичних полiв. На цьому оснований електростатичний захист екранування тiл, наприклад вимiрювальних приладiв, вiд впливу зовнiшнiх електростатичних полiв. Замiсть суцiльного провiдника для захисту може бути використана густа металева сiтка, яка, до речi, є ефективною за наявностi не тiльки постiйних, але i змiнних електричних полiв.

Властивiсть зарядiв розташовуватися на зовнiшнiй поверхнi провiдника використовується в електростатичних генераторах, призначених для накопичення великих зарядiв i досягнення рiзницi по-

тенцiалiв в декiлька мiльйонiв вольт. Електростатичний генератор, винайдений американським фiзиком Р. Ван-де-Граафом (1901–1967), складається з кулястого порожнистого провiдника 1 (рис. 1.27), закрiпленого на iзоляторах 2.

Рухома замкнута стрiчка 3 з прогумованої тканини заряджається вiд джерела напруги за допомогою системи вiстрiв 4, сполучених з одним з полюсiв джерела, другий полюс якого заземлений. Заземлена пластина 5 пiдсилює стiкання зарядiв з вiстря на стрiчку. Iнша система вiстрiв 6 знiмає заряди iз стрiчки i передає їх порожнистiй кулi, i вони переходять на її зовнiшню поверхню. Таким чином, сферi передається поступово великий заряд i вдається досягти рiзницi потенцiалiв в декiлька мiльйонiв вольт. Електростатичнi генератори застосовуються у високовольтних прискорювачах заряджених частинок, а також в слабкострумовiй високовольтнiй технiцi.

1.17.Електрична ємнiсть вiдокремленого провiдника

Розглянемо вiдокремлений провiдник, тобто провiдник, який вiддалений вiд iнших провiдникiв, тiл i зарядiв. Його потенцiал, згiдно з (1.27), прямо пропорцiйний заряду провiдника. З дослiду виходить, що рiзнi провiдники, будучи однаково зарядженими, мають рiзнi потенцiали. Тому для вiдокремленого провiдника можна записати

Q = Cϕ.

Величину

називають електроємнiстю (або просто ємнiстю) вiдокремленого провiдника. Ємнiсть вiдокремленого провiдника визначається зарядом, надання якого провiднику змiнює його потенцiал на одиницю.

Ємнiсть провiдника залежить вiд його розмiрiв i форми, але не залежить вiд матерiалу, агрегатного стану, форми i розмiрiв порожнин всерединi провiдника. Це пов’язано з тим, що надмiрнi заряди роз-

колишнiх тiл потенцiалах накопичувати значнi по величинi заряди, iншими словами, володiти великою ємнiстю. Цi пристрої одержали назву конденсаторiв.

Якщо до зарядженого провiдника наближати iншi тiла, то на них виникають iндукованi (на провiднику) або зв’язанi (на дiелектрику) заряди, причому ближчими до навiдного заряду Q будуть заряди протилежного знаку. Цi заряди, природно, ослабляють поле, створюване зарядом Q, тобто знижують потенцiал провiдника, що приводить (див. (1.52) до пiдвищення його електроємностi.

Конденсатор складається з двох провiдникiв (обкладок), роздiлених дiелектриком. На ємнiсть конденсатора не повиннi впливати навколишнi тiла, тому провiдникам надають таку форму, щоб поле, створюване накопичуваними зарядами, було зосереджене у вузькому зазорi мiж обкладками конденсатора. Цiй умовi задовольняють (див. 1.6): 1) двi плоскi пластини; 2) два коаксiальнi цилiндри; 3) двi концентричнi сфери. Тому залежно вiд форми обкладок конденсатори подiляються на плоскi, цилiндричнi i сферичнi.

Оскiльки поле зосереджене всерединi конденсатора, то лiнiї напруженостi починаються на однiй обкладцi i закiнчуються на iншiй, тому вiльнi заряди, що виникають на рiзних обкладках, є рiвними по модулю рiзнойменними зарядами. Пiд ємнiстю конденсатора розумiється фiзична величина, що дорiвнює вiдношенню заряду Q, накопиченому в конденсаторi, до рiзницi потенцiалiв (ϕ1 −ϕ2) мiж його обкладками:

Розрахуємо ємнiсть плоского конденсатора, що складається з двох паралельних металевих пластин площею S кожна, розташованих на вiдстанi d одна вiд одної i якi мають заряди +Q i −Q. Якщо вiдстань мiж пластинами мала в порiвняннi з їх лiнiйними розмiрами, то краєвими ефектами можна нехтувати i поле мiж обкладками можна вважати однорiдним. Його можна розрахувати використовуючи формули (1.34) i (1.54). За наявностi дiелектрика мiж обкладками рiзниця потенцiалiв мiж ними, згiдно з ((1.34),

Якщо d = r2 − r1 r1, то r2 ≈ r1 ≈ r i C = 4πεε0r2/d. Оскiльки 4πr2 площа сферичної обкладки, то одержуємо формулу (1.56). Таким чином, при малiй величинi зазору в порiвняннi з радiусом сфери вирази для ємностi сферичного i плоского конденсаторiв збiгаються. Цей висновок справедливий i для цилiндричного конденсатора: при малому зазорi мiж цилiндрами в порiвняннi з їх радiусами у формулi (1.58) ln(r2/r1) можна розкласти в ряд, обмежуючись тiльки членом першого порядку. В результатi знову приходимо до формули (1.56).

З формул (1.56), (1.58)i (1.60) виходить, що ємнiсть конденсаторiв будь-якої форми прямо пропорцiйна дiелектричнiй проникностi дiелектрика, що заповнює простiр мiж обкладками. Тому використання в якостi прошарка сегнетоелектрикiв значно збiльшує ємнiсть конденсаторiв.

Конденсатори характеризуються пробивною напругою рiзницею потенцiалiв мiж обкладками конденсатора, при якiй вiдбувається пробiйелектричний розряд через шар дiелектрика в конденсаторi. Пробивна напруга залежить вiд форми обкладок, властивостей дiелектрика i його товщини. Для збiльшення ємностi i варiювання її можливих значень конденсатори сполучають в батареї, при цьому використовується їх паралельне i послiдовне з’єднання.

1. Паралельне з’єднання конденсаторiв (рис. 1.28). В паралельно сполучених конденсаторах рiзниця потенцiалiв на обкладках конденсаторiв однакова i дорiвнює (ϕA − ϕB).

Qn = Cn(ϕA − ϕB)

а заряд батареї конденсаторiв

n

X

Q == Qi = (C1 + C2... + Cn)(ϕA − ϕB).

i=1

Повна ємнiсть батареї

n

X

C = Q/(ϕA − ϕB) = C1 + C2... + Cn = Ci,

i=1

тобто при паралельному з’єднаннi конденсаторiв вона дорiвнює сумi ємностей окремих конденсаторiв. 2. Послiдовне з’єднання конденсаторiв (рис. 1.29). В послiдовно сполучених конденсаторiв

заряди всiх обкладок рiвнi по модулю, а рiзниця потенцiалiв на клемах батареї

Звiдки

n

X

1/C = (1/Ci),

i=1

тобто при послiдовному з’єднаннi конденсаторiв пiдсумовуються величини, оберненi ємностям. Таким чином, при послiдовному з’єднаннi конденсаторiв результуюча ємнiсть C завжди менша найменшої ємностi, що використовується в батареї.

1.19.Енергiя системи зарядiв, вiдокремленого провiдника i конденсатора. Енергiя електростатичного поля

1. Енергiя системи нерухомих точкових зарядiв. Електростатичнi сили взаємодiї консервативнi (див. 1.7); отже, система зарядiв володiє потенцiальною енергiєю. Знайдемо потенцiальну енергiю системи двох нерухомих точкових зарядiв Q1 i Q2, що знаходяться на вiдстанi r один вiд одного. Кожний з цих зарядiв в полi iншого має потенцiальну енергiю (див. (1.24)) i (1.27)):

W1 = Q1ϕ12,

W2 = Q2ϕ21,

де ϕ12 i ϕ21 вiдповiдно потенцiали, що створюються зарядом Q2 в точцi знаходження заряду Q1 i зарядом Q1 в точцi знаходження заряду Q2. Згiдно з (1.27),

1 Q2

ϕ12 = 4πε0 r

ϕ21 = 1 Q1 , 4πε0 r

тому W1 = W2 = W i

1

W = Q1ϕ12 = Q2ϕ21 = 2 (Q1ϕ12 + Q2ϕ21) .