Загальна фізика / Теоретичні курси / Електрика та постійний електричний струм

Якщо як заряд, що переноситься в електростатичному полi, взяти одиничний точковий позитивний

~ ~

заряд, то елементарна робота сил поля на шляху dl дорiвнює Edl = Eldl, де El = E cos α проекцiя

~

вектора E на напрям елементарного перемiщення. Тодi формулу (1.21) можна записати у виглядi

LL

HH

Iнтеграл Edl = Eidl = 0 називається циркуляцiєю вектора напруженостi. Отже, циркуляцiя

LL

вектора напруженостi електростатичного поля вздовж будь-якого замкнутого контура дорiвнює нулю. Силове поле, що має властивiсть (1.22), називається потенцiальним. З перетворення в нуль циркуляцiї

~

вектора E виходить, що лiнiї напруженостi електростатичного поля не можуть бути замкнутими, вони починаються i закiнчуються на зарядах (вiдповiдно на позитивних або негативних) або ж iдуть в нескiнченнiсть. Формула (1.22) справедлива тiльки для електростатичного поля. Надалi буде показано, що для поля рухомих зарядiв умова (1.22) не виконується (для нього циркуляцiя вектора напруженостi вiдмiнна вiд нуля).

1.8.Потенцiал електростатичного поля

Тiло, що знаходиться в потенцiальному полi сил (а електростатичне поле являєтся потенцiальним), має потенцiальну енергiю, за рахунок якої виконується робота (див. ч.1, §12). Як вiдомо (див. ч.1,§12, рiвн. 12.2), робота консервативних сил виконується за рахунок зменшення потенцiальної енергiї. Тому роботу (1.20) сил електростатичного поля можна представити як рiзницю потенцiальних енергiй, якi має точковий заряд Q0 в початковiй i кiнцевiй точках поля заряду Q:

звiдки виходить, що потенцiальна енергiя заряду Q0 в полi заряду Q дорiвнює

Вона, як i в механiцi, визначається неоднозначно, а з точнiстю до довiльної сталої C. Якщо вважати, що при вiддаленнi заряду в нескiнченнiсть (r → ∞) потенцiальна енергiя обертається в нуль (U = 0), то C = 0 i потенцiальна енергiя заряду Q0, що знаходиться в полi заряду Q, на вiдстанi r вiд нього, дорiвнює

Для однойменних зарядiв Q0Q > 0 i потенцiальна енергiя їх взаємодiї (вiдштовхування) позитивна, для рiзнойменних зарядiв Q0Q, < 0 i потенцiальна енергiя їх взаємодiї (притягання) негативна.

Якщо поле створюється системою n точкових зарядiв Q1, Q2, ..., Qm, то робота електростатичних сил, що виконується над зарядом Q0, дорiвнює алгебраїчнiй сумi робiт сил, обумовлених кожним iз зарядiв окремо. Тому потенцiальна енергiя U заряду Q0, що знаходиться в цьому полi, дорiвнює сумi потенцiальних енергiй Ui кожного iз зарядiв:

З формул (1.24) i (1.25) виходить, що вiдношення U/Q0 не залежить вiд Q0 i тому є енергетичною характеристикою електростатичного поля, яка називається потенцiалом:

Потенцiал ϕ у будь-якiй точцi електростатичного поля є фiзична величина, що визначається потенцiальною енергiєю одиничного позитивного заряду, помiщеного в цю точку.

Q0 з довiльної точки за межi поля, тобто в нескiнченнiсть, де, за умовою, потенцiал дорiвнює нулю, то робота сил електростатичного поля, згiдно з (1.28), A∞ = Q0ϕ, звiдки

Таким чином, потенцiал фiзична величина, яка визначається роботою по перемiщенню одиничного позитивного заряду при видаленнi його з даної точки поля в нескiнченнiсть. Ця робота чисельно дорiвнює роботi, яка виконується зовнiшнiми силами (проти сил електростатичного поля) по перемiщенню одиничного позитивного заряду з нескiнченностi в дану точку поля.

З виразу (1.26) виходить, що одиниця потенцiалу вольт (В): 1 В є потенцiал такої точки поля, в якiй заряд в 1 Кл має потенцiальну енергiю 1 Дж (1 В = 1 Дж/Кл). Враховуючи розмiрнiсть вольта, можна показати, що введена в (1.3) одиниця напруженостi електростатичного поля дiйсно дорiвнює 1 В/м: 1 Н/Кл = 1 Н·м/(Кл·м) = 1 Дж/(Кл·м) = 1 В/м. З формул (1.25) i (1.26) виходить, що якщо поле створюється декiлькома зарядами, то потенцiал поля системи зарядiв дорiвнює алгебраїчнiй сумi потенцiалiв полiв всiх цих зарядiв.

1.9.Напруженiсть як градiєнт потенцiалу. Еквiпотенцiальнi поверхнi

Знайдемо взаємозв’язок мiж напруженiстю електростатичного поля, що є його силовою характеристикою, i потенцiалом енергетичною характеристикою поля. Робота по перемiщенню одиничного точкового позитивного заряду з однiєї точки поля в iншу вздовж осi x за умови, що точки розташованi нескiнченно близько одна до одної i x2 − x1 = dx, дорiвнює Exdx. Та ж робота дорiвнює (ϕ1 − ϕ2) = dϕ. Прирiвнявши обидва вирази, можемо записати

де символ частинної похiдної пiдкреслює, диференцiювання проводиться тiльки по x. Повторивши ана-

~

логiчнi мiркування для осей y i z, можемо знайти вектор E

~

тобто напруженiсть E поля дорiвнює градiєнту потенцiала iз знаком мiнус. Знак мiнус визначається тим, що вектор напруженостi E поля направлений в бiк зменшення потенцiалу. Для графiчного зображення розподiлу потенцiалу електростатичного поля, як i у разi поля тяжiння (див. ч.1, §25), користуються: эквiпотенцiальними поверхнями поверхнями, в усiх точках яких потенцiал має одне i теж значення. Якщо поле створюється точковим зарядом, то його потенцiал, згiдно з (1.27)

ϕ = 1 Q. 4πε0 r

Таким чином еквiпотенцiальнi поверхнi в даному випадку концентричнi сфери. З iншого боку, лiнiї напруженостi у разi точкового заряду радiальнi прямi. Отже, лiнiї напруженостi у разi точкового заряду перпендикулярнi еквiпотенцiальним поверхням. Лiнiї напруженостi завжди нормальнi до еквiпотенцiальних поверхонь. Дiйсно, всi точки еквiпотенцiальної поверхнi мають однаковий потенцiал, тому робота по перемiщенню заряду вздовж цiєї поверхнi дорiвнює нулю, тобто електростатичнi сили,

~

що дiють на заряд, завжди направленi по нормалях до поверхонь. Отже, вектор E завжди нормальний

~

до еквiпотенцiальних поверхонь, а тому лiнiї вектора E ортогональнi цим поверхням. Еквiпотенцiальних поверхонь навколо кожного заряду i кожної системи зарядiв можна провести незлiченну кiлькiсть.

Проте їх звичайно проводять так, щоб рiзницi потенцiалiв мiж будь-якими двома сусiднiми еквiпотенцiальними поверхнями були однаковi. Тодi густина еквiпотенцiальних поверхонь наглядно характеризує напруженiсть поля в рiзних точках. Там, де цi поверхнi розташованi густiше, напруженiсть поля бiльша. Отже, знаючи розташування лiнiй напруженостi електростатичного поля, можна побудувати еквiпотенцiальнi поверхнi i, навпаки, по вiдомому розташуванню еквiпотенцiальних поверхонь можна визначити в кожнiй точцi поля модуль i напрям напруженостi поля. На рис. 1.17 для прикладу показаний вид лiнiй напруженостi (штриховi лiнiї) i еквiпотенцiальних поверхонь (суцiльнi лiнiї) полiв позитивного точкового заряду (а) i зарядженого металевого цилiндра, що має на одному кiнцi виступ, а на iншомувпадину (б ).

1.10.Обчислення рiзницi потенцiалiв по напруженостi поля

Встановлений в 1.9 зв’язок мiж напруженiстю поля i потенцiалом дозволяє за вiдомою напруженiстю поля знайти рiзницю потенцiалiв мiж двома довiльними точками цього поля.

1. Поле рiвномiрно зарядженої нескiнченної площини

визначається формулою (1.15): E = σ/(2ε0), де σ поверхнева густина заряду. Рiзниця потенцiалiв мiж точками, що лежать на вiдстанях x1 i x2 вiд площини, дорiвнює (використовуємо формулу (1.32))

Рис. 1.17.

2. Поле двох нескiнченних паралельних рiвномiрно

заряджених площин визначається формулою (1.16): = σ/(ε0), де σ поверхнева густина заряду.

Рiзниця потенцiалiв мiж площинами, вiдстань мiж якими дорiвнює d (див. формулу (1.32)), дорiвнює

dd

3. Поле рiвномiрно зарядженої сферичної поверхнi радiуса R iз загальним зарядом Q зовнi

1 Q

сфери (r > R) обчислюється за (1.17): E = 4πε0 r2 .

Рiзниця потенцiалiв мiж точками, що лежать на вiдстанях r1 i r2 вiд центра сфери (r1 > R, r2 > R, r2 > r1), дорiвнює

r2 r2

приведений на рис. 1.18.

4. Поле об’ємно зарядженої кулi радiуса R iз загальним зарядом Q зовнi кулi (r > R) обчислюється за формулою (1.17), тому рiзниця потенцiалiв мiж двома точками, що лежать на вiдстанях r1 i r2 вiд центру кулi (r1 > R, r2 > R, r2 > r1), визначається формулою (1.35). У будь-якiй точцi, що лежить всерединi кулi на вiдстанi r0 вiд її центра (r0 < R), напруженiсть визначається виразом (1.18):

5. Поле рiвномiрно зарядженого нескiнченного цилiндра радiуса R, зарядженого з лiнiй-

ною густиною τ, зовнi цилiндра (r > R) визначається формулою (1.19): E = 1 τ . Отже, рiз-

2πε0 r

ниця потенцiалiв мiж двома точками, що лежать на вiдстанях r1 i r2 вiд осi зарядженого цилiндра

(r1 > R, r2 > R, r2 > r1), дорiвнює

1.11.Типи дiелектрикiв. Поляризацiя дiелектрикiв

Дiелектрик (як i всяка речовина) складається з атомiв i молекул. Оскiльки позитивний заряд всiх ядер молекули дорiвнює сумарному заряду електронiв, то молекула в цiлому електрично нейтральна. Якщо замiнити позитивнi заряди ядер молекул сумарним зарядом +Q, що знаходиться в центрi "тяжiння" позитивних зарядiв, а заряд всiх електронiв сумарним негативним зарядом −Q, що знаходиться в центрi "тяжiння" негативних зарядiв, то молекулу можна розглядати як електричний диполь з електричним моментом, що визначається формулою (1.9).

Першу групу дiелектрикiв (N2, H2, O2, CO2, CH4, ...) складають речовини, молекули яких мають симетричну будову, тобто центри "тяжiння" позитивних i негативних зарядiв у вiдсутнiсть зовнiшнього

електричного поля збiгаються i, отже, дипольний момент молекули p~ дорiвнює нулю. Молекули таких дiелектрикiв називаються неполярними. Пiд дiєю зовнiшнього електричного поля заряди неполярних молекул змiщуються в протилежнi сторони (позитивнi по полю, негативнi проти поля) i молекула набуває дипольний момент.

Другу групу дiелектрикiв (H2O, NH3, SO2, CO,...) складають речовини, молекули яких мають асиметричну будову, тобто центри "тяжiння" позитивних i негативних зарядiв не збiгаються. Таким чином, цi молекули у вiдсутнiсть зовнiшнього електричного поля володiють дипольним моментом. Молекули таких дiелектрикiв називаються полярними. За вiдсутностi зовнiшнього поля, проте, дипольнi моменти полярних молекул внаслiдок теплового руху орiєнтованi в просторi хаотично i їх результуючий момент дорiвнює нулю. Якщо такий дiелектрик помiстити в зовнiшнє поле, то сили цього поля прагнутимуть повернути диполi вздовж поля, i виникає вiдмiнний вiд нуля результуючий момент.

Третю групу дiелектрикiв (NaCl, KC1, KBr, ...) складають речовини, молекули яких мають iонну будову. Iоннi кристали є просторовими гратами з правильним чергуванням iонiв рiзних знакiв. У цих кристалах не можна видiлити окремi молекули, а розглядати їх можна як систему двох iонних пiдграток, що всувають одна в iншу. При накладеннi на iонний кристал електричного поля вiдбувається деяка

деформацiя кристалiчних граток або вiдносний зсув пiдграток, що приводить до виникнення дипольних моментiв.

Таким чином, внесення всiх трьох груп дiелектрикiв в зовнiшнє електричне поле приводить до виникнення вiдмiнного вiд нуля результуючого електричного моменту дiелектрика, або, iншими словами, поляризацiя дiелектрика. Поляризацiєю дiелектрика називається процес орiєнтацiї диполiв або поява

пiд впливом зовнiшнього електричного поля орiєнтованих по полю диполiв. Вiдповiдно трьом групам дiелектрикiв розрiзняють три види поляризацiї:

електронна або деформацiйна поляризацiя дiелектрика з неполярними молекулами, що полягає у виникненнi у атомiв iндукованого дипольного моменту за рахунок деформацiї електронних орбiт;

орiєнтацiйна, або дипольна, поляризацiя дiелектрика з полярними молекулами, що полягає в орiєнтацiї наявних дипольних моментiв молекул по полю. Природньо, що тепловий рух перешкоджає повнiй орiєнтацiї молекул, але в результатi сумiсної дiї обох чинникiв (електричне поле i тепловий рух) виникає переважна орiєнтацiя дипольних моментiв молекул по полю. Ця орiєнтацiя тим сильнiша, чим бiльше напруженiсть електричного поля i нижча температура;

iонна поляризацiя дiелектрикiв з iонними кристалiчними гратками, яка полягає в зсувi пiдгратки позитивних iонiв вздовж поля, а негативних проти поля, що приводить до виникнення дипольних моментiв.

1.12.Поляризованiсть. Напруженiсть поля в дiелектрику

Якщо помiстити дiелектрик в зовнiшнє електричне поле, вiн поляризується, тобто набуває вiдмiнний вiд

P

нуля дипольний момент p~V = p~i, де p~i дипольний момент однiєї молекули. Для кiлькiсного опису поляризацiї дiелектрика користуються векторною величиною поляризованiстю, що визначається як дипольний момент одиницi об’єму дiелектрика:

X

~

P = p~V /V = p~i/V. (1.37)

З дослiду виходить, що для великого класу дiелектрикiв (за винятком сегнетоелектрикiв, див.1.15)

~ ~ ~

поляризованiсть P лiнiйно залежить вiд напруженостi поля E. Якщо дiелектрик iзотропний i E не дуже велике, то