Загальна фізика / Теоретичні курси / Електрика та постійний електричний струм

поля, створюваного зарядом Qi. Пiдставляючи останнi вирази в (1.7), одержуємо

Формула (1.8) виражає принцип суперпозицiї (накладання) електростатичних полiв, згiдно з

~

яким напруженiсть E результуючого поля, створеного системою зарядiв, дорiвнює геометричнiй сумi напруженостi полiв, що створенi в данiй точцi кожним iз зарядiв окремо.

Принцип суперпозицiї дозволяє розрахувати електростатичнi поля будь-якої системи нерухомих зарядiв, оскiльки якщо заряди не точковi, то їх можна завжди звести до сукупностi точкових зарядiв.

Принцип суперпозицiї застосовується для розрахунку електростатичного поля електричного диполя. Електричний диполь система двох рiвних по модулю рiзноiменних точкових зарядiв (+Q, −Q), вiдстань l мiж якими значно менше вiдстанi до даних точок поля. Вектор, направлений по осi диполя (прямiй, що проходить через оби-

два заряди) вiд негативного заряду до позитивного i дорiвнює вiдстанi мiж ними, називається плечем диполя l, Вектор

який збiгається по напряму з плечем диполя i дорiвнює добутку заряду |Q| на плече l, називається

електричним моментом диполя або дипольним моментом (рис. 1.6). Згiдно з принципом суперпозицiї (1.8), напруженiсть vecE поля диполя в довiльнiй точцi

~ ~ ~

E = E+ + E−,

~ ~

де E+ i E− напруженостi полiв, створюваних вiдповiдно позитивним i негативним зарядами. Скориставшись цiєю формулою, розрахуємо напруженiсть поля в довiльнiй точцi на продовженнi осi диполя i на перпендикулярi до середини його осi.

1. Напруженiсть поля на продовженнi осi диполя в точцi А (рис. 1.7). Як видно з рисунка, напруженiсть поля диполя в точцi направлена по осi диполя i по модулю дорiвнює

EA = E+ + E−.

Позначивши вiдстань вiд точки A до середини осi диполя через r, на пiдставi формули (1.5) для вакууму можна записати

2. Напруженiсть поля на перпендикулярi, поставленому до осi з його середини в точцi

B (рис. 1.7). Точка B рiвновiддалена вiд зарядiв, тому

де r0 вiдстань вiд точки B до середини плеча диполя. З подiбностi рiвнобедрених трикутникiв, що

~

спираються на плече диполя i вектор EB, одержимо

~

Вектор EB має напрям, протилежний вектору електричного моменту диполя (вектор p~ направлений вiд негативного заряду до позитивного).

1.5.Теорема Гаусса для електростатичного поля у ва-

Обчислення напруженостi поля системи електричних зарядiв за допомогою принципу суперпозицiї електростатичних полiв можна значно спростити, використовуючи виведену нiмецьким ученим К. Гауссом (1777–1855) теорему, що визначає потiк вектора напруженостi електричного поля крiзь довiльну замкнуту поверхню.

Розглянемо загальний випадок довiльної поверхнi, що оточує n зарядiв. Вiдповiдно до принципу суперпозицiї (1.8) напруженiсть поля, яке створюється всiма зарядами, дорiвнює сумi напруженостей

XX

Згiдно з (1.12), кожний з iнтегралiв, що стоїть пiд знаком суми, дорiвнює Qi/ε0. Отже,

Формула (1.13) виражає теорему Гаусса для електростатичного поля у вакуумi: потiк вектора напруженостi електростатичного поля у вакуумi крiзь довiльну замкнуту поверхню дорiвнює алгебраїчнiй сумi зарядiв зосереджених всерединi цiєї поверхнi, подiленої на ε0. Ця теорема виведена математично для векторного поля будь-якої природи росiйським математиком М. В. Остроградским (1801–1862), а потiм незалежно вiд нього стосовно електростатичного поля К. Гауссом.

В загальному випадку електричнi заряди можуть бути "розмазанi" з деякою об’ємною густиною ρ, рiзною в рiзних мiсцях простору. Тодi сумарний заряд, зосереджений всерединi замкнутої поверхнi S, що охоплює деякий об’єм V ,

Z

X

Qi = ρdV. (1.14)

iv

Використовуючи формулу (1.14), теорему Гаусса можна записати так

I ~ I 1 Z

EdS = EndS = ε0 ρdV .

S S V

1.6.Використання теореми Гаусса до розрахунку деяких електростатичних полiв у вакуумi

1. Поле рiвномiрно зарядженої нескiнченної площини. Нескiнченна площина (рис. 1.10) заряджена з постiйною поверхневою густиною +σ (σ = dQ/dS заряд, що припадає на одиницю поверхнi). Лiнiї напруженостi перпендикулярнi данiй площинi i направленi вiд неї в обидвi сторони.

В якостi замкнутої поверхнi побудуємо цилiндр, основи якого паралельнi зарядженiй площинi, а вiсь перпендикулярна їй. Оскiльки твiрнi цилiндра паралельнi лiнiям напруженостi (cosα = 0), то потiк вектора напруженостi крiзь бiчну поверхню цилiндра дорiвнює нулю, а повний потiк крiзь цилiндр дорiвнює сумi потокiв крiзь його основи (площi основ рiвнi i для основи En збiгається з E, тобто дорiвнює 2ES). Заряд, зосереджений всерединi побудованої цилiндричної поверхнi, дорiвнює σS. Згiдно

з теоремою Гаусса 2ES = σS/ε0. Звiдки

З формули (1.15) виходить, що E не залежить вiд довжини цилiндра, тобто напруженiсть поля на будьяких вiдстанях однакова по модулю, iншими словами, поле однорiдне. Якщо лiнiйнi розмiри площини обмеженi, то приведена формула справедлива тiльки для точок, вiдстань яких вiд краю площини значно перевищує вiдстань вiд самої площини.

2. Поле двох нескiнченних паралельних рiвномiрно заряджених площин (рис. 1.11). Нехай площини зарядженi рiвномiрно рiзнойменними зарядами з поверхневою густиною +σ i −σ. Поле таких площин знайдемо як суперпозицiю полiв створюваних кожною з площин окремо.

Злiва i праворуч вiд площин поля вiднiмаються (лiнiї напруженостi направленi назустрiч один одному), тому тут напруженiсть поля E = 0. В областi мiж площинами E = E+ +E− (E+ i E− визначаються за формулою (1.15)), тому результуюча напруженiсть дорiвнює

Таким чином, результуюча напруженiсть поля в областi мiж площинами описується формулою (1.16), а зовнi об’єму, обмеженого площинами, дорiвнює нулю.

3. Поле рiвномiрно зарядженої сферичної поверхнi. Сферична поверхня радiуса R iз загальним зарядом Q заряджена рiвномiрно з густиною +σ. Завдяки рiвномiрному розподiлу заряду по поверхнi поле, що ним

створюється, має сферичну симетрiю. Тому лiнiї напруженостi направленi радiально (рис. 1.12). Побудуємо умовну сферу радiуса r, що має загальний центр iз зарядженою сферою. Якщо r > R,

то всередину поверхнi потрапляє весь заряд Q, що створює дане поле, i, за теоремою Гаусса (1.13),

Якщо r < R, то замкнута поверхня зарядiв всерединi не мiстить, тому в цiй областi E = 0. Таким чином, напруженiсть поля зовнi рiвномiрно зарядженого нескiнченного цилiндра визначається виразом (1.19), всерединi його поле вiдсутнє.