3.4. Некоторые примеры разработки математических

моделей простейших объектов и систем

Первый пример простейшей дискретной системы - модель апб

а/ Техническое задание на разработку модели.

Необходимо разработать математическую модель, отражающую состояние автомата ПБ, который бы работал на транспортном средстве и выдавал билеты в соответствии с суммой оплаты, причем оплата может произво­диться монетами любого достоинства /1, 2, 3, 5/. В дальнейшем преду­смотреть реализацию модели в различных исполнениях.

б/ Концептуальная модель. АПБ срабатывает в некоторый дискретный момент времени t₁, t₂,..., t_к-1, t_к, наступление ко­торого заранее задать нельзя. Эти моменты связаны с поступлением входных сигналов и изменением состояния автомата.

Вектор информации входных сигналов включает:

В таком автомате целесообразно использовать управляющий сигнал, ко­торый связан с попыткой получения билета.

в любой из моментов времени t_к.

Вектор состояния автомата Z связан с промежуточной суммой оплаты за билет:

Выдача будет производиться если , а . При этом форми­руется выходной сигнал автомата:

в/ Структурная модель. Обязательно связана с графовым представлением. Для данного АПБ его функционирование достаточно одноз­начно можно представить с помощью графа переходов между состояниями автомата. Отразим на этой структуре все возможные переходы. Данная структурная модель строго и однозначно отражает функционирование АПБ и независимо от типа реализации, эта структурная модель обязательно будет верной.

г/ Функциональная модель. Н , G.

Функционирование может быть определено логическими выражениями, которые должны определить состояние автомата /функции пере­ходов и состояний/.

1) если	Z(tк-1 )+X(tк) 5, то Z(tк)=Z(tк-1 )+X(tк);
2) если	Z(tк-1 )+X(tк)  5 и V(tк)=0, то Z(tк)=5;
3) если	Z(tк-1 )+X(tк)  5 и V(tк)=1, то Z(tк)=0.

Эти модели будут представлены в виде IF THEN. В данном описании никак не определены функции выходов, т.к. это функции переходов

1) если	Z(tк)  5 и V(tк)=1, то Y(tк)=1;
2) иначе	Y(tк) = 0

Аналитическую или параметрическую модель целесообразно составить при некотором конкретном задании входных сигналов. Вход­ной сигнал может быть определен как случайный.

Пример простейшей непрерывной системы. Модель эмр

ТЗ: Разработать расчетную модель малогабаритного электромагнитного реле /ЭМР/ для использования в качестве исполненного элемента в электрических схемах путем включения его в плечо триг­гера или любой логической схемы.

I p cp 5 10 mA Un=(3,5  5) B tcp =(20  50) мс

Реле должно переключать токи исполнительного механизма, Iкn = 4-5 A и иметь один слаботочный разомкнутый контакт.

Концептуальная модель: МГР включает электромагнитную систему из обмотки, сердечника, якоря. В обмотке постоянное на­пряжение питания, в результате чего якорь занимает определенное состояние и при этом срабатывают контакты. Для возврата якоря и перемещения контактов в малогабаритном реле имеется механическая система: рычагов и якоря, обладающего некоторой массой, возвратной пружины и демпфер - элемент, сухого трения, который выполняет по­лезную роль в ряде случаев, поскольку гасит колебания в системе. В модели исследуется демпфер обязательно, хотя в реальном реле может и не быть. Это позволяет идеализировать работу всех осталь­ных элементов, выделив характеристику трения. Механическая систе­ма связана с контактными группами. Для исполнения эффекта замыка­ния ЭМР должно быть обеспечено зазором в магнитопроводе не равным нулю.

Перемещение якоря связано с координатой X/X _min и X _max/. В обмотке имеется исходный рабочий ток, который изменяется с тече­нием времени /i_p / и должен обеспечить срабатывание.

Структурная модель: Проектируемое реле может быть пред­ставлено следующим образом /структурной схемой/ которая сочетает в себе структуру электромагнитной системы в разрезе и кинематичес­кую схему механизма. /см.сл.стр./.

На структурной схеме мы определяем детали в символьной форме, а также сопротивление обмотки, масса якоря, жесткость пру­жины, коэффициент сухого трения, напряжение питания.

Функциональная модель: При построении такой модели мы ориентируемся на физические законы, которые описывают поведение данной системы.

Динамика механической системы с демпфером и якорем опи­сывается уравнением Д'аламбера:

Для определения механического состояния системы необходимо иметь две характериcтики состояния X и . Воздействующая сила на якорь в электромагнитной системе зависит от тока и положения яко­ря. Эта зависимость определена экспериментально и получено, что

оно справедливо для всех электромагнитных систем в которых есть воздушный зазор.

Динамика ЭМС описывается переходными процессами в индук­тивной цепи - нелинейно, т.к. L зависит от I и x.

Для дальнейшего исследования целесообразно ввести некото­рые ограничения, которые приведут к упрощению модели - линеариза­ция модели.

1. Зазор не равен нулю. Если и магнитная система в рабо­чем режиме находится в условиях насыщения, то в этом случае можно считать, что индуктивная обмотка не зависит от тока.

L₀ можно представить как функцию L₀(х).

2. Если перемещение якоря окажется значительно мень­ше чем размеры самого якоря, а следовательно тогда L₀=const.

Нам необходимо выделить функцию перехода системы. Это требует вы­деления характеристик состояний.

В качестве таковых:

Для непрерывной системы функцию переходов мы можем записать

G - Функция выходов.

Если бы ЭМР было только исполняющим механизмом, то выход­ным сигналом реле было бы перемещение, но реле является и переключающим элементом, то в этом случае вектор выходных сигналов может быть представлен кодирующим способом, с помощью кодирования состояния контактов, одним из выходных сигналов является состояние контактов

А условие переходов будет следующее:

если Х_р.я.  Х_n.c., то y₁=1 и y₂=1

При таком представлении функции G очевидно, что ЭМР является простейшей непрерывной дискретной системой.

Аналитическая модель: На этом этапе необходимо рассчитать параметры модели, которые бы обеспечили соответствие. Это соответ­ствие будет определено по исполнении технических требований ТЗ. Определяются m_я, K_T, С_n, К_эм, L₀, R₀, U_n. После выбора пара­метров на расчетной модели мы должны доказать, что время переклю­чения переходного процесса меньше или равно заданному.

Необходимо выделить множество значимых отношений из значимых свойств объекта и каким образом это обеспечи­вается.

В конечном итоге проектирова­ния или исследований должно быть обес­печить функционирование реле в области

допустимых состояний /зависит надежность и качество/. Это строят на экспериментальной модели.

Для ЭМР область допустимых состояний удобно задавать на плоскости /I, x/.