81 / Задача1
.docx
Задача
№1
Порожниста
діелектрична куля виконана з матеріалу
з абсолютною діелектричною проникністю
ε. Внутрішній радіус кулі
-
R1,
а зовнішній - R2.
По кулі розподілений електричний заряд
з об'ємною густиною ρ. Заряд розподілений
по об'єму кулі нерівномірно. Вільний
простір всередині і поза кулею заповнено
повітрям.
Необхідно:
-
встановити аналітичні залежності
вектора електричної індукції
-
з урахуванням конкретних даних, які
відповідають варіанту задачі, подати
отримані результати у вигляді графічних
залежностей:
D=f1(r);
E=f2(r);
U=f3.
Останні
дві цифри залікової книжки: 81, отже я
приймаю значення ρ = γ*r
Знаходимо
наступні параметри:
м
м
Ф/м
Ф/м
Розв"язання:
Щоб
розв"язати задачу використовуємо
рівняння Гаусса-Остроградського в
інтегральній формі, застосовуючи його
послідовно для областей простору,
обмежених значеннями:
перша
область
друга
область
третя
область
Щільність
розподілу заряду задається формулою:
Знайдемо
залежність розподілу заряду від відстані
r до центру кулі для кожної з областей,
і залежність вектора електричної
індукції від r. З теореми Гаусса -
Остроградського, зважаючи на те, що
вектор електричної індукції і радіус
вектор спрямовані радіально, записуємо:
D(r)*S(r)=q(r),
звідси знаходимо D(r).
,
вектора напруженості поля
і потенціалу електростатичного поля
U від відстані r до центра кулі;
1.
Перша область:
оскільки
щільність розподілу заряду в цій області
рівна 0
Знаходимо
залежність потенціалу від r до центру
кулі:
2.
Друга область:
Заряд,
що потрапляє в замкнуту поверхню,
розраховуємо за формулою:
Знаходимо
залежність розподілу заряду від відстані
r до центру кулі:
Знаходимо
залежність вектора електричної індукції
від відстані r до центру кулі:
3.Третя
область:
Заряд,
що потрапляє в замкнуту поверхню,
розраховується за формулою:
Знаходимо
залежність розподілу заряду від відстані
r до центру кулі:
Знаходимо
залежність вектора електричної індукції
від відстані r в третій області:
4.Знаходимо
залежність вектора електричної індукції
від відстані r:
5.
Знаходимо залежність вектора напруженості
електричного поля від відстані r:
6.
Знаходимо залежність потенціалу від
відстані r, до центру кулі:
Залежність
потенціалу в третій області:
,
оскільки
при r = ∞, U3(r)=0
Залежність
потенціалу в другій області:
Знаходимо
сталу інтегрування, з умови рівності
потенціалів по обидві сторони границі
розділу двох середовищ (R2)
Залежність
потенціалу в першій області:
Знаходимо
сталу інтегрування, з умови рівності
потенціалів по обидві сторони границі
розділу двох середовищ (R2)
7.
Знаходимо залежність потенціалу U від
відстані r до центру кулі:
