0887579_C36AB_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat
.pdfТеорема 5 |
Для того, щоб ізольована особлива точка однозначної аналі- |
|
тичної функції була істотно особливою, необхідно й достатньо, |
|
щоб уційточці неіснувало ніскінченної, нінескінченноїграниціфункціїf (z).
Точку z0 називають нулем функції f (z) порядку (або кратності) m,
якщо виконуються умови
f (z0 ) = 0, f ′(z0 ) = 0, ..., f (m−1) (z0 ) = 0, f (m) (z0 ) ≠ 0.
Якщоm = 1, то точку z0 називають простим нулем. Точка z0 тоді і тільки тоді є нулем т-го порядку аналітичної в точці z0 функції f (z), коли в деякому околі цієї точки виконується рівність
f (z) = (z − z0 )m ϕ(z),
де функціяϕ(z) аналітична в точці z0 і ϕ(z0 ) ≠ 0.
Для того, щоб точка z0 була полюсом функції f (z), необхідно і достат-
ньо, щоб ця точка була нулем функції ϕ(z) = |
|
1 |
. |
|
||||||||
|
f (z) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Точка z0 є полюсом порядку m(m ≥ 1) функції f (z), |
якщо ця точка є |
|||||||||||
нулем кратності m функції ϕ(z) = |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|||||
f |
(z) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Нехай |
f (z) = |
f1 |
(z) |
, f1 (z0 ) ≠ 0, f2 (z0 ) = 0. |
Точка z0 |
полюс порядку |
||||||
f2 |
(z) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
m функції |
f (z), якщо ця точка нуль кратностіm функції ϕ(z) = f2 (z). |
|||||||||||
|
|
|
|
3.4. Лишок функції |
|
|
||||||
Нехай |
z0 правильна або ізольована особлива точка однозначної |
|||||||||||
функції f (z) , L ― контур у крузі |
z − z0 < R , орієнтований проти ходу |
годинникової стрілки і такий, що точка z0 міститься всередині L, при цьому круг не містить інших особливих точок.
Лишком функції f (z) в точці z = z0 |
(позначають символом |
Res f (z) ) |
|||||
називають інтеграл |
|
|
|
|
z= z0 |
||
|
|
|
|
|
|||
|
Res f (z) = |
1 |
|
∫ f (z)dz . |
|
(3.23) |
|
2πi |
|||||||
|
z= z0 |
L |
|
|
Якщо z0 правильна або скінченна усувна особлива точка функції
f (z) , то Re s f (z) = 0 .
z= z0
302
|
f (z) = |
∞ |
|
zn |
= F (z) + F (z) , |
(3.28) |
|||||||||
|
∑ a |
n |
|||||||||||||
|
|
|
n=−∞ |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
який збігається для всіх z, що задовольняють нерівність |
|
z |
|
> r . |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||
Якщо покласти z = |
1 |
|
|
|
|
ϕ(z′) = |
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
, то функція |
f |
|
|
буде аналітичною в |
||||||||||
z′ |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z′ |
|
|
|
|
|
кільці 0 < z′ < 1 комплексної площини Z ′ . Таким чином, зв’язок між ха- r
рактером точки z = ∞ відносно функції f (z) і відповідним розкладанням в ряд Лорана аналогічний випадку скінченної точки, тільки ролі членів з додатними і від’ємними степенями міняються між собою, тобто функція
|
∞ |
a |
− n |
|
F (z) = |
∑ |
|
||
zn |
||||
1 |
n=0 |
є правильною частиною ряду Лорана, а функція
|
∞ |
|
zn |
F (z) = ∑ a |
n |
||
2 |
n=1 |
|
є головною частиною цього ряду.
Залежно від поведінки функції f (z) в околі точки z = ∞ природно також ввести таку класифікацію:
а) особливість у точці z = ∞ усувна, якщо у формулі (3.28) немає головної частини, тобто
f (z) = F1 (z) = a0 + a−1 + a−2 + ... .
z z2
Якщо покласти f (∞) = lim f (z) = a0 , то особливість у нескінченно від-
z→∞
даленій точці зникає і функція стає аналітичною;
б) точка z = ∞ є полюсом порядку m , якщо головна частина ряду (3.28) містить лише скінченну кількість членів, тобто
|
|
a−1 |
|
a −2 |
|
|
2 |
|
m |
|
|
m |
m |
|
|
f (z) = a0 |
+ |
|
+ |
|
|
+ ... |
+ a1z + a2 z |
|
+ ... + am z |
|
= |
F1 |
(z) + ∑ am z |
|
, |
z |
z |
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
||
у цьому разі |
lim f (z) = ∞ ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
z→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) точка z = ∞ ― істотно особлива точка, якщо головна частина містить нескінченну кількість членів; при цьому не існує ні скінченної, ні нескінченної границі f (z) при z = ∞.
304
Нехай функція аналітична в деякому околі точки z = ∞; r < z < ∞ , L ―
замкнений контур, що належить околу точки z = ∞. Тоді функція f (z) аналітична в області D, що обмежена контуром L, і складається з точок, які ле-
жать зовні контура L. Додатному обходу L (тобто L+ ) відповідає орієнтація контура за ходом годинникової стрілки (точки області D залишаються ліворуч).
Лишком функції f (z) у точці z = ∞ називається інтеграл
|
Res f (z) = |
1 |
∫ f (z)dz. |
|
|
||
2πi |
|
||||||
|
z=∞ |
+ |
|
|
|
||
|
|
|
|
L |
|
|
|
Для обчислення лишку в точці z = ∞ використовують формулу |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
Re s f (z) = −a−1. |
|
(3.29) |
|||
|
|
z=∞ |
|
|
|
|
|
Зауваження. Лишок функції відносно точки z = ∞ не обов’язково дорівнює нулю, коли ця точка правильна або усувна особлива. Наприк-
лад, для функції f (z) = 1+ |
2 |
точка z = ∞ є усувною особливою |
|
z |
|||
|
|
точкою, проте Res f (z) = −a−1 = −2.
z=∞
Теорема 10 Нехай f (z) аналітична в усій комплексній площині, за винятком скінченної кількості точок z1, z2,…, zN. Тоді має місце рівність
|
|
|
N |
|
|
|
(3.30) |
|
|
|
∑ Res f (z) + Res f (z) = 0 . |
|
|
||
|
|
|
k =1 z= zk |
z=∞ |
|
|
|
3.6. Застосування лишків до обчислення інтегралів |
|
||||||
|
(основна теорема про лишки). Нехай функція f (z) |
аналітич- |
|||||
Теорема 11 |
|||||||
|
на в замкненій області D з межею L, за винятком скінченно- |
||||||
го числа особливих точок z1, z2,…, zN , розміщених усередині області D. |
|||||||
Тоді |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
N |
|
(3.31) |
|
|
|
|
∫ f (z)dz = 2πi ∑ Res f (z). |
|
|||
|
|
|
L+ |
k =1 z= zk |
|
|
Лишки використовують також для обчислення визначених та невласних інтегралів.
305
1. Інтеграл вигляду
2π
∫ R (cos t, sin t)dt,
0
де R(u, υ) — раціональна функція двох змінних u і υ, причому R(cos t, sin t) — неперервна на відрізку [0; 2π], спрощується за допомогою використання лишків.
Введемо нову комплексну змінну z = eit, тоді
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z + |
1 |
|
|
|
|
|
z − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt = |
dz |
, cos t = |
z |
, sin t |
= |
z |
. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
zi |
2 |
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|||||||||
|
Якщо змінна t змінюється неперервно від 0 до 2π, то геометричним об- |
||||||||||||||||||||||||
разом змінної z є коло |
|
z |
|
= 1 . Отже, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2π |
t)dt = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
∫ R(cos t, sin |
R(z)dz, |
(3.32) |
||||||||||||||||
|
~ |
0 |
|
|
|
|
|
|
z |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 |
|
|||||
де |
― дробово-раціональна функція змінної z, коло |
|
z |
|
обігається в |
||||||||||||||||||||
R(z) |
|
|
додатному напрямі.
Контурний інтеграл у правій частині (3.32) обчислюється за формулою
~
(3.31), а лишки функції f(z)= R(z) розглядaються тільки в тих особливих
точках (полюсах) функції ~ , які містяться всередині кола = .
R(z) z 1
2. Обчислення невласних інтегралів вигляду
∞
∫ f (x)dx
−∞
ґрунтується на використанні такої теореми.
Теорема 12 Нехай функція f (z) аналітична у верхній півплощині Im z ≥ 0,
включаючи дійсну вісь, за винятком скінченної кількості особливих точок z1, z2,…, zN, які лежать у верхній півплощині. Нехай, крім
того, |
|
f (z) |
|
≤ |
|
M |
, при |
|
z |
|
≥ R, |
де m ≥ 2 і R ― досить велике число. Тоді |
||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
z |
|
m |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
N |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ f (x)dx = 2πi ∑ Res f (z). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
k =1 z=zk |
||
306 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наслідок. Якщоf (x) = R(x) = Pm (x) ―раціональнафункція, деPm(x),
Qn (x)
Qn(x) ― многочлени степенів m і n відповідно, R(x) ― неперервна на дійсній осі функція і n – m ≥ 2, тобто степінь знаменника принаймні на дві одиниці більший від степеня чисельника, то
∞ |
N |
∫ |
R(x)dx = 2πi ∑ Re s R(z), |
−∞ |
k =1 z=zk |
причому сума лишків функції R(z) береться відносно всіх полюсів z = zk, розміщених у верхній півплощині Im z > 0.
3. Обчислення невласних інтегралів вигляду
∞
∫f (x)eiλxdx
− ∞
ґрунтується на застосуванні такої теореми.
Теорема 13 Нехай функція f (z) аналітична в півплощині Im z ≥ 0, за винятком скінченної кількості особливих точок z1, z2,…, zN в Im z > 0, і прямує в цій півплощині до нуля при | z |→ ∞ . Тоді для будь-якого
λ > 0 виконується рівність
∞ |
|
iλx |
N |
|
|
iλz |
|
∫ |
f (x)e |
f (z)e |
|||||
|
dx = 2πi ∑ Re s |
|
. |
||||
|
|
k =1 z= zk |
|
|
|||
−∞ |
|
|
|
|
|
|
Наслідок. Якщо R(x) = Pm (x) ― раціональна функція, неперервна
Qn (x)
на дійсній осі і n – m ≥ 1, то
∞ |
|
N |
R(z)eiλz |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
R(x)eiλx dx = |
(λ > 0, z |
|
(Im z > 0)). |
|
|||||
2πi ∑ Re s |
|
|
||||||||
|
k =1 z= zk |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зокрема, якщо R(x) ― парна функція, то |
|
|
|
|
|
|
||||
|
∞ |
|
|
N |
|
R(z)eiλz |
|
|
||
|
∫ |
|
|
|
, |
(3.33) |
||||
|
R(x) cos λx dx = πi ∑ Re s |
|||||||||
|
|
|
k =1 z= zk |
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
307 |
а якщо R(x) — непарна функція, то
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
N |
R(z)eiλz . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
(3.34) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R(x) sin λx dx = π ∑ Re s |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
k =1 z=zk |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Т.3 |
ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ |
|
|||||||||||||||
|
1. Розкладіть у ряд Тейлора за степенями z − z0 функцію |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) = |
|
, |
|
|
|
|
|
||
якщо: а) z0 = 0 ; б) |
z0 |
= 2 . |
2 − 3z |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Розв’язання. а) функція |
f (z) |
має одну особливу точку z = |
2 |
. Отже, в |
|||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||
крузі |
|
z |
|
< |
2 |
|
( R = |
|
― відстань |
від точки |
z0 = 0 |
до особливої |
точки |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
z = |
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
) функція аналітична, тому за теоремою 1 вона розкладається в цьому |
|||||||||||||||||||||||
3 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
крузі в ряд Тейлора: |
= ∑ an zn , коефіцієнти якого можна визначити |
|||||||||||||||||||||||
2 − 3z |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
за формулами (3.20). Покажемо, як можна уникнути громіздких обчислень інтегралів, виконавши такі дії. Запишемо функцію у вигляді
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) = |
|
|
1 |
|
|
= |
1 |
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 − 3z |
|
|
|
|
3z |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1− |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Скориставшись формулою 5 із табл. 3.1, дістанемо |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
3z |
|
|
3z 2 |
|
|
3z 3 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
f (z) = |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
1 |
+ |
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
+ ... |
+ |
, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3z |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
де |
|
z |
|
< |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) виконаємо перетворення |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
f (z) = |
|
|
|
1 |
|
= |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
= − |
|
1 |
|
|
1 |
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
− 3z |
−3(z − 2) − 4 |
|
4 |
|
|
3(z − 2) |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||
308 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
За формулою 4 (табл. 3.1) дістаємо
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 3 |
n |
|
n |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
− |
|
|
(z − 2) + |
|
|
|
(z − |
2) |
|
− |
|
... + (−1) |
|
|
|
|
|
|
(z − 2) |
|
+ ... . |
||||||||||||||||
|
|
3(z − 2) |
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
f (z) |
= − |
|
1 |
+ |
3 |
|
(z − 2) − |
32 |
|
(z − 2)2 + ... + (−1)n |
|
|
|
3n |
|
(z − 2)n + ... , |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4n+1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
42 |
43 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
область збіжності степеневого ряду — круг |
|
z − 2 |
|
< |
|
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Зауваження. У загальному випадку розкладання функції f (z) = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a + bz |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
у ряд Тейлора за степенями z − z0 виконують у такій послідовності: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) записують функцію f (z) у вигляді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
f (z) |
= |
|
A |
|
|
= |
|
|
|
|
|
A |
|
|
= |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(a + bz0 ≠ 0) ; |
||||||||||||
a |
+ bz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− z0 ) |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b(z − z0 ) + a + bz0 |
|
a + bz0 1+ |
b(z |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a + bz0 |
|
|
|
|
|
|
|
2)за формулою 4 (або 5) розкладають функцію у степеневий ряд;
3)область збіжності степеневого ряду ― круг z − z0 < ba + z0 .
Розвинення у ряд Тейлора правильних дробово-раціональних функцій складнішого вигляду проводять у два етапи: спочатку розкладають дріб у суму найпростіших елементарних дробів, після цього кожен дріб розкладають у ряд Тейлора.
2. Розкладіть у ряд Тейлора в околі точки z0 = 0 функцію
z
f (z) = z2 − 2z − 3 .
Розв’язання. Розклавши знаменник дробу на множники, запишемо функцію у вигляді
f (z) = |
z |
|
|
. |
|
(z + 1)(z − 3) |
Звідси видно, що функція f (z) має дві особливі точки: z = –1 i z = 3.
Отже, в крузі z < 1( R = 1 ― відстань від точки z0 до найближчої особливої точки) функція аналітична, тому за теоремою 1 вона розкладається в
|
z |
|
∞ |
|
цьому крузі в ряд Тейлора: |
= ∑ an zn . Коефіцієнти степеневого |
|||
z2 − 2z − 3 |
||||
ряду визначимо так. |
n=0 |
|||
|
|
|
||
|
|
|
309 |
Розкладемо заданий дріб на елементарні дроби:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
f (z) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
z |
2 |
|
− 2z − 3 |
4 |
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
z − 3 |
|
|
1+ z |
1 |
− |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Оскільки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
= 1− z + z2 |
− ... + (−1)n zn + ..., |
( |
|
|
|
|
z |
|
|
|
< 1), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1+ z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z |
+ |
z |
2 + ... + |
z |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
= 1+ |
+ |
... , ( |
|
|
|
|
z |
|
< 3 ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1− |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
то розклад заданої функції у ряд Тейлора за степенями z має вигляд |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
z |
|
|
2 |
+ ... + |
z |
|
n |
|
|
||||||||||||||||||||
f (z) = |
(1 |
− z |
+ z |
2 − ... + (−1)n zn |
+ ...) |
− 1+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ... |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
∞ |
|
|
n |
|
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
∑ ( |
−1) |
|
|
− |
|
|
|
|
z |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 n=1 |
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3. Розкладіть функцію f (z) = |
|
|
|
в ряд Лорана в кільці |
|
|
z |
|
> 1, вважа- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
− z |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ючи z0 = 0 .
Розв’язання. За умовою треба розкласти задану функцію в околі точки z = ∞. Виконаємо перетворення
|
|
|
f (z) = |
|
1 |
|
|
= − |
|
1 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
1 − z |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
Для всіх точок кільця |
|
z |
|
> 1 виконується нерівність |
|
|
< 1 , отже, засто- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
совна формула 5 (табл. 3.1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
f (z) = |
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
1 |
+ |
|
|
+ |
|
|
|
+ ... |
= |
|||||||||||
|
− z |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
z |
|
z |
2 |
|||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
= − |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
|
|
− ... = − |
∑ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
z |
z |
|
|
|
z3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
n=1 zn |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
310 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|