0887579_C36AB_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat
.pdfОбчисліть криволінійні інтеграли, попередньо впевнившись, що вони не залежать від форми шляху інтегрування.
|
|
|
(2; 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24. |
∫ (2 y2 − 3x2 y)dx + (4xy − x3 )dy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
(1;1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0; 2; 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25. |
∫ |
(2x − y3 )dx + (z2 − 3xy2 )dy + 2yzdz . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
(1; 0; 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26. |
Обчисліть площу |
астроїди |
x = a cos3 t, y = a sin3 t, |
використову- |
||||||||||||||||||||||
ючи криволінійний інтеграл. |
x2 + y2 = R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
27. |
Обчисліть масу |
|
кривої |
( x ≥ 0 , |
y ≥ 0 ) з |
лінійною |
||||||||||||||||||||
густиноюγ(x; y) = x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Відповіді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1. |
7 / 24. |
2. 256/15. |
3. |
5 ln 2. |
4. |
|
(17 |
17 − 2 |
2) / 6. |
5. |
8. |
6. |
4 / 3. |
7. R4 / 3. |
||||||||||||
8. |
2π |
|
1 + b2 (3 + 4π2b2 ). 9. |
7 |
|
|
26. 10. − |
54 |
. 11. |
− |
3π |
. |
12. |
23 + 2 |
2 − 8 |
3 |
. |
13. |
πa3(5 − 2π). |
||||||||
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
14. |
πa2b − 2. |
15. 6. 16. 7,5. 17. 0,5. 18. |
πR4 |
. |
19. |
−π. |
20. |
4 |
. 21. (π; 4a / 3). 22. π2 /8. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||
23. 14 / 3. 24. –1. 25. 17. 26. |
|
3πa2 |
. 27. R2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.3 ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ
3.1. Обчисліть криволінійні інтеграли першого роду.
3.1.1. ∫ z x2 + y2 + z2 dl , якщо L ― дуга кривої |
|
x = 3cos t, |
y = 3sin t, |
|||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = 4t, 0 ≤ t ≤ 2π. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.1.2. ∫ x2 ydl , якщо L ― чверть кола x2 + y2 |
= 4, |
x ≥ 0, y ≥ 0. |
||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.1.3. ∫ xyzdl, |
де L ― дуга кривої x = t, |
y = |
1 |
8t3 |
, |
z = |
1 |
t2 |
, |
0 ≤ t ≤ 1. |
|
|
|||||||||
L |
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.1.4. ∫ 2zdl , |
якщо L ― дуга кривої |
x = et cos t, |
y = et |
sin t, z = et , |
L
0 ≤ t ≤ 2π.
181
3.2.3. ∫ xydx + yzdy + z2 xdz , |
якщо L ― дуга кривої |
x = 2 cos t, |
y = 1, |
|
L |
π . |
|
|
|
z = 2 sin t, 0 ≤ t ≤ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3.2.4. ∫ x4 ydy − y4 xdx , якщо L― дуга кривої x = |
cos t , y = |
sin t , |
||
L |
|
|
|
|
t [0; π / 2] . |
|
|
|
|
3.2.5. ∫ (x2 − y2 )dy , якщо L ― дуга кривої y = 2x3 , 0 ≤ x ≤ 1. |
|
|||
L |
|
|
|
|
3.2.6. ∫ (x2 + y2 )dx , якщо L ― дуга параболи y = 2x2 , 2 ≤ x ≤ 4. |
|
|||
L |
|
|
|
|
3.2.7. ∫ x2 dx + |
x ydy , якщо L ― чверть кола x2 + y2 |
= 25, x ≥ 0, |
y ≥ 0 , |
|
L |
|
|
|
|
що пробігається проти годинникової стрілки. |
|
|
||
3.2.8. ∫ (x − y)dx + (x + y)dy , |
де L ― дуга кубічної параболи y = 2x3 , |
|||
L |
|
|
|
|
0 ≤ x ≤ 1. |
|
|
|
|
3.2.9. ∫ (x − y)dx + (x + y)dy , якщо AB ― відрізок прямої, що сполучає
AB
точки А(2; 3) і В(3; 5).
3.2.10. ∫ (x2 − y3 )dx + (x + y)dy , |
якщо L ― дуга |
параболи |
x = y2 − 1, |
|
L |
|
|
|
|
0 ≤ y ≤ 1. |
|
|
|
|
3.2.11. ∫ x1/ 3 ydy − y1/ 3 xdx , |
якщо L―дуга кривої |
x = cos3 t , |
y = sin3 t , |
|
L |
|
|
|
|
t [0; π / 2] . |
|
|
|
|
3.2.12. ∫ (6xy − 1)dx + 2y2 xdy , якщо L ― дуга кривої x = 3y2 , y [0;1]. |
||||
L |
|
|
|
|
3.2.13. ∫ (2x2 y − y2 )dx + 6xydy , |
якщо L ― дуга |
параболи |
y = 2x3 , |
|
L |
|
|
|
|
0 ≤ x ≤ 1. |
|
|
|
|
3.2.14. ∫ 2ydx − ( y − x2 )dy , якщо L― дуга кривої y = x − x2 , x [0; 1] . |
||||
L |
|
|
|
|
3.2.15. ∫ 2xydx + 3xy2 dy , |
якщо |
AВ ― відрізок прямої, що |
сполучає |
|
AB |
|
|
|
|
точки А(1; 1) і В(2; 4). |
|
|
|
|
3.2.16. ∫ (x − y2 )dx + (x + y)dy , |
якщо АВ― відрізок прямої, що сполу- |
|||
AB |
|
|
|
|
чає точки А(0; 0) і В(1; 2). |
|
|
|
|
184 |
|
|
|
|
3.2.17. ∫ |
|
(6xy2 + 4x3 )dx + (6x2 y + 3y2 )dy , |
якщо АВ ― відрізок прямої, |
|||||||||
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
що сполучає точки А(2; 3) і В(3; 4). |
|
|
|
|
||||||||
3.2.18. ∫ |
|
(2xy − 5y3 )dx + (x2 − 15xy2 + 6y)dy , якщо АВ ― відрізок пря- |
||||||||||
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
мої, що сполучає точки А(0; 0) і В(2; 2). |
|
|
|
|
||||||||
3.2.19. ∫ |
|
xdx + (2x + y)dy |
, якщо АВ ― відрізок прямої, |
що сполучає |
||||||||
|
(x + y) |
2 |
|
|
||||||||
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
точки А(1; 1) і В(3; 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.2.20. ∫ |
|
(2xy2 + 3x2 )dx + (2x2 y + 3y2 )dy , |
якщо АВ ― відрізок прямої, |
|||||||||
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
що сполучає точки А(1; 2) і В(2; 1). |
|
|
|
|
||||||||
3.2.21. ∫ |
|
− y2 dx + x2 dy |
, якщо АВ ― відрізок прямої, що сполучає точки |
|||||||||
|
(x − y) |
2 |
|
|||||||||
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
А(2; 1) і В(5; 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.2.22. ∫ ydx − (x2 + y)dy , |
якщо L ― дуга параболи y = 2x − x2 , розмі- |
|||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
щеної над віссю Ox. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.2.23. ∫ |
(3y2 + 4 y)dx + (6xy + 4x − 4 y)dy , |
якщо АВ ― відрізок прямої, |
||||||||||
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
що сполучає точки А(0; 1) і В(2; 5). |
|
1 |
|
|
||||||||
3.2.24. ∫ (5x − 2 y)dx + x2 ydy , якщо L ― дуга кривої y = |
x3 , 0 ≤ x ≤ 1. |
|||||||||||
|
||||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3.2.25. ∫ (4xy − y2 )dx + 2xydy , якщо L ― дуга параболи |
y = 2x2 − 4x, |
|||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ x ≤ 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2.26. ∫ 3x3 ydx + xydy , якщо L ― дуга кривої y = 2x2 + 6x, |
0 ≤ x ≤ 3. |
|||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2.27. ∫ |
4xydx + 3xydy + zdz , якщо АВ ― відрізок прямої, |
що сполучає |
||||||||||
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точки А(0; 1; 5) і В(2; 1; 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.2.28. ∫ |
(2zy − 3y2 )dx + 6ydy + xdz , якщо АВ ― відрізок прямої, що спо- |
|||||||||||
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лучає точки А(1; –1; 0) і В(2; 3; 7). |
|
|
|
|
||||||||
3.2.29. ∫ (x2 y + 2y2 )dx − 2xydy, якщо L ― дуга параболи |
y = (x − 1)3 , |
|||||||||||
0 ≤ x ≤ 1. L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2.30. ∫ |
(2x2 − 6z)dx + x2 ydy + (2z − 1)dz, |
якщо АВ ― відрізок прямої, |
||||||||||
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
що сполучає точки А(–1; 0; 4) і В(1; 4; 2). |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
185 |
3.3. Обчисліть криволінійний інтеграл ∫ P(x, y) dx + Q(x, y) dy по замкне-
L
ному контуру L, використовуючи формулу Гріна. Обхід контура відбувається проти годинникової стрілки.
3.3.1. ∫ (2x + y)dx − (3y + 2x)dy , якщо L ― контур трикутника з верши-
L
нами А(1; 2), В(3; 1) , С(2; 5). |
|
|
|
|
|
|
3.3.2. ∫ (x + y2 )dx + 4xdy , якщо L ― контур прямокутника |
1 ≤ x ≤ 3 , |
|||||
L |
|
|
|
|
|
|
0 ≤ y ≤ 4 . |
|
|
|
|
|
|
3.3.3. ∫ ydx + x2 dy, якщо L ― контур, обмежений параболою |
y = x2 і |
|||||
L |
|
|
|
|
|
|
прямою y = 2x + 3 . |
|
|
|
|
|
|
3.3.4. ∫ y2 dx + xydy, |
якщо |
L |
― контур |
прямокутника |
−1 ≤ x ≤ 1, |
|
L |
|
|
|
|
|
|
0 ≤ y ≤ 3 . |
|
|
|
|
|
|
3.3.5. ∫ x2 y2 dx + xydy , |
якщо |
L |
― контур, |
обмежений |
параболами |
|
L |
|
|
|
|
|
|
y = x2 і y2 = x . |
|
|
|
|
|
|
3.3.6. ∫ y2 dx + x2 ydy, |
якщо |
L |
― контур |
прямокутника |
−1 ≤ x ≤ 4 , |
|
L |
|
|
|
|
|
|
1 ≤ y ≤ 3 . |
|
|
|
|
|
|
3.3.7. ∫ x3 dx + (x + 2 y)dy , якщо |
L ― контур, обмежений |
параболою |
||||
L |
|
|
|
|
|
|
y = x2 і прямою y = 3x + 4 . |
|
|
|
|
|
3.3.8. ∫ (2x − y)dx + (4 y + x)dy, де L ― контур трикутника з вершинами
L
А(0; 4), В(4; 0) , С(2; –2).
3.3.9. ∫ (x2 + y)dx + (3x − y)dy, де L ― контур, обмежений параболою
L
y = x2 − 1 і прямою y = 2x + 2 .
3.3.10. ∫ (2x − y2 )dx + ( y + x2 )dy , якщо L ― контур прямокутника
L
0 ≤ x ≤ 2 , 1 ≤ y ≤ 4 .
3.3.11. ∫ (x − y)dx + ( y + x)dy , якщо L ― контур трикутника з верши-
L
нами А(0; 4), В(4; 0) , С(2; –2).
186
3.3.12. ∫ x2 ydx − xy2 dy, якщо L― коло x2 + y2 |
= 4 . |
|
L |
|
|
3.3.13. ∫ (xy − x2 )dx + xdy , |
якщо L― контур, |
обмежений параболою |
L |
|
|
y = x2 і прямою y = x + 2 . |
|
|
3.3.14. ∫ ydx + (x2 + y2 )dy , |
якщо L― контур прямокутника 0 ≤ x ≤ 4 , |
|
L |
|
|
1 ≤ y ≤ 2 . |
|
|
3.3.15. ∫ (2x + y)dx + 2ydy , |
якщо L ― контур трикутника з вершинами |
|
L |
|
|
А(–2; 0), В(0; 3) , С(2; 1). |
|
|
3.3.16. ∫ (x2 + 2y)dx + ydy , |
якщо L ― контур, |
утворений параболами |
L |
|
|
y = 2x − x2 та y = x2 + x − 1 . |
|
|
3.3.17. ∫ − x2 ydx + xy2 dy, якщо L ― коло x2 + y2 |
= 9 . |
|
L |
|
|
3.3.18. ∫ (x2 − y)dx + (x − y)dy , якщо L ― контур, утворений параболою
|
L |
y = 6x − x2 |
та прямою y = 5 . |
3.3.19. |
∫ (x2 + 2y2 )dx + 2ydy, якщо L ― контур прямокутника −2 ≤ x ≤ 0, |
1 ≤ y ≤ 2 . |
L |
|
|
3.3.20. |
∫ ( y2 − x2 )dx + x2 dy , якщо L ― контур прямокутника 0 ≤ x ≤ 1, |
−1 ≤ y ≤ 2 . |
L |
|
3.3.21. ∫ y2 dx − xydy, якщо L ― контур трикутника з вершинами А(1; 2),
L |
|
В(3; 1), С(2; 5). |
|
3.3.22. ∫ y2 dx + x2 dy, якщо |
L ― контур прямокутника 1 ≤ x ≤ 2 , |
L |
|
0 ≤ y ≤ 2 . |
|
3.3.23. ∫ 3ydx − (2 y + x2 )dy , |
якщо L ― контур, утворений параболою |
L
y = 4x − x2 та прямою y = 3 .
3.3.24. ∫ xydx + x2 dy , якщо L ― коло x2 + y2 = 25.
L
187
3.3.25. ∫ (x + 4y)dx − ydy , якщо L ― контур трикутника з вершинами
L
А(1; 2), В(3; 1), С(2; 5).
3.3.26. ∫ (2x + y2 )dx + ( y − x)dy , |
якщо L ― контур трикутника з верши- |
|
L |
|
|
нами А(–3; 1), В(4; 1) , С(2; 3). |
|
|
3.3.27. ∫ (x + y)dx + x2 dy , якщо |
L― контур, обмежений |
параболами |
L |
|
|
y = x2 та y = 2 − x2 . |
|
|
3.3.28. ∫ (x + 3y) dx + x3 dy , якщо L― контур прямокутника |
−3 ≤ x ≤ 0 , |
|
L |
|
|
−1 ≤ y ≤ 0 . |
|
|
3.3.29. ∫ xydx + (x + 1)dy, якщо L ― коло x2 + y2 = 16 . |
|
|
L |
|
|
3.3.30. ∫ (2x + y)dx + ( y − 3x)dy , |
якщо L ― контур трикутника з верши- |
|
L |
|
|
нами А(–2; 0), В(0; 3) , С(2; 1). |
|
|
3.4. Перевірте, що криволінійний інтеграл не залежить від форми шляху інтегрування, та обчисліть його.
|
(3; 4) |
|
3.4.1. |
∫ |
( y4 + 2xy)dx + (4xy3 + x2 − 3y2 )dy. |
|
(1;1) |
|
|
(2; 3) |
|
3.4.2. |
∫ |
(2xy + 3y − 8x)dx + (x2 + 3x)dy . |
|
(1; 0) |
|
|
(1; 0; 4) |
|
3.4.3. |
∫ |
x( y2 + z2 )dx + y(x2 + z2 )dy + z(x2 + y2 )dz. |
|
(0; 0; 1) |
|
|
(2; 4) |
|
3.4.4. |
∫ |
(3x2 y4 − 4)dx + (4x3 y3 + 3y2 )dy . |
|
(−4; 0) |
|
|
(3; 2; 0) |
|
3.4.5. |
∫ |
( y2 z3 + 2)dx + (2xyz3 + 1)dy + (3xy2 z2 + 2z)dz . |
|
(0; 0; 0) |
|
|
(1; 3) |
|
3.4.6. |
∫ |
( y3 + 2 y − 3x2 )dx + (3xy2 + 2x)dy . |
|
(−1; 0) |
|
|
(3; −1) |
|
3.4.7. |
∫ |
(2xy6 − 6x)dx + (6x2 y5 + 4y)dy . |
|
(0; 5) |
|
188
|
(0; 3) |
|
3.4.8. |
∫ |
(4x3 y3 + 1)dx + (3x4 y2 − 4y3 )dy . |
(−3; −1) |
||
(0; 3; 2) |
|
|
3.4.9. |
∫ |
( y + z + yz)dx + (x − z + xz)dy + (x − y + xy)dz. |
(1; 0; 0) |
|
|
|
(3; 5) |
|
3.4.10. |
∫ |
(5x4 y3 + 9x2 )dx + (3x5 y2 + 2 y)dy . |
|
(0; 0) |
|
|
(3; 3; 3) |
|
3.4.11. |
∫ |
(3x2 y2 z −1)dx + (2x3 yz − 2)dy + (x3 y2 − 3)dz . |
|
(0;1; 2) |
|
|
(1; 3) |
|
3.4.12. |
∫ |
(3x2 y + y2 + 2x)dx + (x3 + 2xy)dy . |
|
(−2; −1) |
|
|
(1; 0; 4) |
|
3.4.13. |
∫ |
( yz + 2xy2 z2 )dx + (xz + 2 yx2 z2 )dy + (xy + 2zx2 y2 )dz. |
|
(0; 2; 0) |
|
|
(3; 3; 5) |
|
3.4.14. |
∫ |
(x − yz)dx + (2 y − xz)dy + (2z − xy)dz . |
|
(1; 0; 0) |
|
|
(3; 4) |
|
3.4.15. |
∫ |
(3x2 y + 2xy4 + 2x)dx + (x3 + 4x2 y3 )dy. |
|
(0; −2) |
|
|
(1; 4; 2) |
|
3.4.16. |
∫ |
( yz2 + 1)dx + (xz2 + 2y)dy + (2xyz + 3z2 )dz . |
|
(0; 0; 0) |
|
|
(1; 4) |
|
3.4.17. |
∫ |
(4x3 y2 + 3x2 y + 2x)dx + (2x4 y + x3 + 2 y)dy . |
|
(0; 0) |
|
|
(1; 2; 3) |
|
3.4.18. |
∫ |
(2xy + z2 + 3)dx + (x2 + 2 yz − 2y)dy + (2xz + y2 )dz. |
|
(0; 0; 0) |
|
|
(2; 4) |
|
3.4.19. |
∫ |
(2x3 − 3y2 + 4y)dx + (4x − 6xy − 2 y)dy. |
|
(1;1) |
|
|
(2;1) |
|
3.4.20. |
∫ |
(3x2 y2 + y3 + 4x)dx + (2x3 y + 3xy2 )dy. |
|
(0; 0) |
|
189
|
(3; 3) |
|
3.4.21. |
∫ |
(4x3 y2 + 2xy3 )dx + (2 yx4 + 3x2 y2 + 4 y3 )dy. |
|
(−2; 0) |
|
|
(4; 5) |
|
3.4.22. |
∫ |
(4x3 y2 + y2 )dx + (2x4 y + 2xy + 10 y −1)dy. |
|
(2; 0) |
|
|
(2; 0; 2) |
|
3.4.23. |
∫ |
( y + 2z + 4)dx + (x + 3z − 2)dy + (2x + 3y + 1)dz . |
|
(0;1; 1) |
|
|
(3;1) |
|
3.4.24. |
∫ |
( y2 + 6y)dx + (2xy + 6x − 10 y)dy . |
|
(1; 0) |
|
|
(1; 2) |
|
3.4.25. |
∫ |
(2xy2 + y + 4)dx + (2x2 y + x)dy . |
|
(−1; 0) |
|
|
(4; 4) |
|
3.4.26. |
∫ |
(x−1 + 2xy2 )dx + ( y−1 + 2x2 y)dy = 0 . |
|
(1; 2) |
|
|
(1; 4) |
|
3.4.27. |
∫ |
(3y2 + 5y)dx + (6xy + 5x − 2y)dy. |
|
(0; 2) |
|
|
(1; 4; 0) |
|
3.4.28. |
∫ |
( y3 − z2 + 2x)dx + (3xy2 + z)dy + ( y − 2xz)dz. |
|
(0;1; 2) |
|
|
(2; 5) |
|
3.4.29. |
∫ |
(4xy −15x2 y)dx + (2x2 − 5x3 + 4)dy. |
|
(0;1) |
|
|
(2; 3) |
|
3.4.30. |
∫ |
(4x3 y3 + 3x2 y2 + 2xy)dx + (3x4 y2 + 2x3 y + x2 )dy. |
|
(0;1) |
|
|
|
Тема 4. ПОВЕРХНЕВІ ІНТЕГРАЛИ |
Поверхневі інтеграли першого та другого роду. Властивості та обчислення. ФормулаОстроградського—Гаусса. ФормулаСтокса.
Література: [9, розділ 10, §4], [15, розділ 12, п. 12.4], [16, розділ 15, §5–8], [17, розділ 3, §11–12].
190