Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный авиационный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

0887579_C36AB_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.02.2016

Размер:

3.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 4540 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

Рівняння прямої АВ:

x − a	=	y − f (a)	.
b − a		f (b) − f (a)

Поклавши y = 0 , x = віссю абсцис:

x1 − a = b − a

x1 , знайдемо абсцису точки перетину хорди АВ з

− f (a)	,	x1 = a −	b − a	f (a) .	(5.2)
f (b) − f (a)			f (b) − f (a)

Щоб визначити точку		x2 , замінимо у формулі (5.2) x1 на						x2 , а a на
x1 , дістанемо
	x2	= x1 −		b − x1	f (x1 ) .
	x2	= x1 −	f (b) − f (x1 )		f (x1 ) .
			f (b) − f (x1 )
Продовжуючи цей процес, дістанемо формулу

	xn	= xn−1 −		b − xn−1		f	(xn−1) .	(5.3)
	xn	= xn−1 −		f (b) − f (xn−1)		f	(xn−1) .	(5.3)
				f (b) − f (xn−1)

Це і є розрахункова формула методу хорд.

Формула (5.3) застосовна також і для випадку, коли на відрізку ізоляції

[a; b] виконуютьсянерівності f (a) > 0, f (b) < 0 , f ′(x) < 0,	f ′′(x) < 0 (рис. 5.6).
Якщо на відрізку [a; b] виконуються нерівності	f (a) < 0 ,	f (b) > 0 ,
f ′(x) > 0, f ′′(x) < 0 або f (a) > 0 , f (b) < 0 , f ′(x) < 0,	f ′′(x) > 0	(графічні

образи цих випадків розгляньте самостійно), то корінь можна уточнити за формулою

			xn = xn−1 −	a − xn−1	f (xn−1 ) .	(5.3′)
			xn = xn−1 −	f (a) − f (xn−1 )	f (xn−1 ) .	(5.3′)
				f (a) − f (xn−1 )
	Тут n = 1,	2,... , x0 = b .
у	A	у = f(х), у΄< 0, у˝ < 0		у		B

f(a)	A1	x*

	a		b
О	a	x1 x2	x
			f(b)
			B

		В1	f(b)
a	x*		С
О f(a)	x2	x1 b	x

Рис. 5.6

Рис. 5.7

391

1.4. Метод Ньютона, або метод дотичних

Проведемо дотичну до графіка функції y = f (x) в тій із точок А чи В , в якій виконується умова f (x) f ′′(x) > 0 , тобто знак функції збігається із знаком її другої похідної. На рис. 5.7 f (b) > 0 і f ′′(b) < 0 (функція вгнута),

тому дотичну проводимо через точку В (дотична проведена у точці А може перетнути вісь абсцис поза відрізком ізоляції[a; b] ). Знайдемо точку x1

перетину дотичної з віссю абсцис.

Рівняння дотичної до кривої у точці В має вигляд y − f (b) = f ′(b)(x − b) .

Поклавши y = 0 , x = x1 , дістанемо

x	= b −	f (b)	.

1		f ′(b)

Тепер обчислимо значення f (x1 ) і проведемо дотичну до кривої через точку B1 (x1 , f (x1 )) , після цього знайдемо точку x2 перетину цієї дотичної з віссю абсцис:

= x −

f (x1 )

f ′(x1 )

Продовжуючи процес, дістанемо формулу

xn = xn−1

−

f (xn−1 )

(5.4)

f ′(xn−1 )

Нехай x* — корінь рівняння (5.1). Тоді

lim x

= х*.

n→∞ n

Модуль різниці між наближеним коренем xn

і точним коренем х* за-

довольняє нерівність

| xn − x* | <

f (xn )

(5.5)

min f ′(x)

x [a; b]

Даний метод володіє значною швидкістю збіжності. Зазвичай трьох — п’яти ітерацій достатньо для одержання високої точності.

392

Критерій зупинки ітераційного процесу: xn+1 − xn ≤ ε,

де ε — задана точність. Проте виконання такої нерівності ще не гарантує того, що корінь визначено із заданою точністю ε .

1.5. Комбінований метод

Метод хорд і метод Ньютона часто застосовують до проміжку ізоляції кореня разом. Нехай на відрізку [a; b] виконуються умови:

1)f (a) < 0 , f (b) > 0 ;

2)функція вгнута (рис. 5.5 або 5.7).

Оскільки здобуте методом хорд наближене значення кореня відхиляється від точного значення кореня у напрямку угнутості, а за методом Ньютона ― у протилежному напрямку, то шуканий корінь х* розміщений

між xn та xn (тут xn ― наближення кореня за методом хорд, а xn ― за методом Ньютона). Тому, якщо | xn − xn | < ε , то процес уточнення кореня

припиняють і беруть x* = xn + xn . 2

Т.1 ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ

1. Знайдіть дійсний корінь рівняння ln x + x − 3 = 0 з точністю до 0,005, використовуючи метод спроб.

Розв'язання. Запишемо рівняння у вигляді

ln x = 3 − x.
Побудувавши графіки функцій y = 3 − x	та y = ln x , дійдемо висновку,
що задане рівняння має один-єдиний корінь	x = x*, який належить промі-

жку (1; 3) (рис. 5.8). Позначимо f (x) = ln x + x − 3 і обчислимо, наприклад, значення функції f (x) у точках x = 2 та x = 2, 5 . Дістанемо

f(2) = – 0,3068528 < 0, f(2,5) = 0,4162907 > 0.

Отже, корінь заданого рівняння належить проміжку ізоляції [2; 2, 5] . Застосуємо метод половинного поділу. Розділивши відрізок [2; 2, 5]

навпіл, дістанемо точку	x =	2 + 2, 5	= 2, 25 . Обчислимо значення	f (x ) =

	1	2		1

393

= f (2, 25) = 0, 0609 > 0 . Отже, шуканий корінь належить проміжку [2; 2,25].

Візьмемо x

2 + 2, 25

= 2,125, f (x

) = f (2,125) = −0,1212 < 0 .

у = 3–х

–

у = lnх

2,5

1 3

–

x5 x7

Рис. 5.8

Рис. 5.9

Далі розглядаємо проміжок [2,125; 2, 25] , на кінцях якого функція на-

буває протилежних знаків. Продовжимо процес доти, доки відстань між сусідніми наближеними коренями не стане меншою, ніж 0,005 (див. рис. 5.9

ітабл 5.1).

2.Знайдіть дійсний корінь рівняння ln x + x − 3 = 0 , комбінуючи методи хорд і дотичних.

Знайдемо похідні функції f (x) = ln x + x − 3 :

f(х)

f ′(x) =

+ 1 , f ′′(x)

= −

На проміжку ізоляції [2; 2, 5] функція f (x)

x′1

2,5

монотоннозростаючайопукла(рис. 5.10), отже,

Рис. 5.10

застосовні обидва методи.

Таблиця 5.1

Обрана точка

f (xi )

Відстань

між сусідніми

точками

x1 = 2,25

0,0609302

0,25

x2 = 2,125

– 0,1212282

0,125

x3 = 2,1875

– 0,08125

0,0625

x4 = 2,2187

0,015

0,0312

x5 = 2,2031

– 0,007

0,0156

x6 = 2,2109

0,004354

0,0078

x7 = 2,207

– 0,00132

0,0039

394

Оскільки f (2) і f ′′(2) одночасно від’ємні, то за початкове наближення можемо взяти точку x0 = 2 . У цій точці f(2) = – 0,3068528, f ′(2) = 1, 5. За формулою (5.4) обчислимо

x = 2 − −3068528 = 2, 2045685 .

1, 5

Застосуємо ще раз формулу (5.4):

x2 = x1

−

(x1 )

= 2, 2045685

−

f (2, 2045685)

= 2, 207939 .

′(x1 )

2, 2045685

Застосуємо тепер двічі метод хорд. Взявши за початкове наближення

= 2, 5

і використовуючи формулу (5.3′), дістанемо

x′

= 2, 5 −

2 − 2, 5

f (2, 5) = 2, 21217 ,

f (2) − f (2, 5)

x′

= x′ −

2 − x′

f (x′) =

2 − 2, 21217

2, 21217 −

f (2, 21217) = 2, 208.

f (2)

− f (x′)

f (2) − f (2, 21217)

x′

= 2, 208 − 2, 207939 = 0, 00007, то корінь х* обчисле-

Оскільки

− x

′

2, 207939 + 2, 208

ний із точністю до 0,00007: x* ≈

x2 + x2

= 2, 2079695 .

Таблиця 5.2

Варіант

Рівняння

Варіант

Рівняння

(x – 1)2 – 2sinx = 0

x3 – 2x + 7 = 0

x3 –3x +1 = 0

x3 – 2x2 + х + 1 = 0

ex – 2(1 – x)2 = 0

x2 – sinx – 2 = 0

x3 – 6x2 + 9x – 3 = 0

x + 1 + sinx = 0

x3 – x2 +3 = 0

x2 – 2 – lnx = 0

x3 – 2x – 4 = 0

2 − x – lnx = 0

x3 + 2x –5 = 0

cosx – 2x + 1 = 0

x3 – x2 – 2 = 0

x3 – cosx = 0

x3 + x – 32 = 0

x – e x = 0

x2 – cosx = 0

e x +lnx = 0

x2 –2 – ex = 0

x3 + lnx = 0

395

				Закінчення табл. 5.2

Варіант		Рівняння	Варіант	Рівняння

12	x2	– 1– sinx = 0	27	4 – x – 2x = 0
13	x3 – 2x2 + 3x – 5 = 0		28	e – x – x– 2 = 0
14	x3	+ x2 + 1 = 0	29	x = cosx

15	x3	– x – 3 = 0	30	x2 – 3 +lnx = 0

Зауваження. Насправді корінь x2 , одержаний методом дотичних, міс-

титься значно ближче до точного кореня, ніж x′						. Оцінимо різницю
				2
\| x2 − x* \| за формулою (5.5). На проміжку [2; 2, 5]							найменше зна-
чення похідної			f ′(x) досягається у точці x = 2, 5				і дорівнює 1,4.
Оскільки \| f (x		) \| = 1, 2 10−6 , то
2
			\| x − x* \| <	1, 2 10−6	< 10−6.
			\| x − x* \| <		< 10−6.
		2		1, 4
				1, 4
			ВПРАВИ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ
	Т.1		ВПРАВИ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ

ІСАМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

1.Знайдіть додатний корінь рівняння x4 −16x − 64 = 0 з точністю до 0,01, використовуючи:

1) метод хорд; 2) метод Ньютона.

2.Визначте більший корінь рівняння x2 – 2x – 4 = 0 з точністю до 0,001, використовуючи:

1) метод половинного поділу;

2) метод хорд;

3) метод дотичних.

3.Визначте корінь рівняння x + ln x = 0 з точністю до 0,01, використовуючи метод половинного поділу.

Відповіді

1. 3.29. 2. 3,236. 3. – 0,57.

Т.1 ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

1. Визначтекоренірівнянь(табл. 5.2) зточністюдо0,01, використовуючи:

1)метод половинного поділу;

2)метод хорд;

3)метод дотичних.

396

Тема 2. НАБЛИЖЕНЕ ОБЧИСЛЕННЯ

ВИЗНАЧЕНИХ ІНТЕГРАЛІВ

Постановка задачі чисельного інтегрування. Формули прямокутників. Формула трапецій. Формула парабол (Сімпсона). Абсолютні похибки квадратурних формул.

Література: [6], [10, розділ 5, с. 98—111], [11], [14, розділ 8, §6], [18, розділ 5, с. 232—262].

Т.2 ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

2.1. Постановка задачі

Припустимо треба обчислити визначений інтеграл

∫ f (x)dx ,

де f (x) — неперервна на [a; b] функція.

Якщо можна знайти первісну F(x) від підінтегральної функції f(x), то

∫ f (x)dx = F(b) − F(a) . Проте часто на практиці зустрічаються випадки,

коли підінтегральну функцію f(x) не можна проінтегрувати аналітичним шляхом або коли аналітичне інтегрування вимагає великого обсягу роботи. У подібних випадках можна користуватися чисельними методами. Ці методи дають можливість обчислити визначений інтеграл за числовими зна-

ченнями підінтегральної функції в окремих точках відрізка [a; b] . Форму-

ли, за допомогою яких проводять чисельне інтегрування, дістали назву квадратурних формул. З них найпоширенішими і найзручнішими є формули прямокутників, трапецій та формула парабол (або Сімпсона).

Виведення цих формул ґрунтується на понятті визначеного інтеграла як границі інтегральної суми та геометричному змісті визначеного інтеграла:

якщо f (x) ≥ 0 , то ∫ f (x)dx чисельно дорівнює площі криволінійної тра-

пеції, обмеженої кривою y = f (x) та прямими y = 0, x = a та x = b.

При наближеному обчисленні визначеного інтеграла криву y = f (x)

замінюють новою лінією, яка зазвичай складається з відрізків або дуг парабол, після цього площа криволінійної трапеції наближено дорівнює площі фігури, обмеженої зверху новою лінією. Розглянемо ці методи детальніше.

397

2.2. Формула прямокутників

Нехай треба обчислити визначений інтеграл ∫ f (x)dx від неперервної

на відрізку [a; b] функції f (x) . Розіб’ємо відрізок [a; b] на n рівних частин точками

xk = a + b −n a k, ( k = 0, 1, ..., n ),

після чого обчислимо значення функції у цих точках:

f (x0 ) = y0 , f (x1 ) = y1 , …, f (xn ) = yn .

Складемо суму

y0 (x1 − x0 ) + y1 (x2 − x1 ) + …+ yn−1 (xn − xn−1 ) = = b −n a ( y0 + y1 + …+ yn−1 ) ,

Ця сума чисельно дорівнює площі ступінчастої фігури, зображеної на рис. 5.11, і наближено дорівнює площі криволінійної трапеції. Отже,

b	b − a
∫ f (x)dx ≈		( y0 + y1 + …+ yn−1 ).	(5.6)
	n
a

Аналогічно, використовуючи рис. 5.12, запишемо ще одну наближену формулу

		b	b − a
		∫ f (x)dx ≈	b − a	( y1 + y2 + …+ yn ).	(5.7)
		∫ f (x)dx ≈	n	( y1 + y2 + …+ yn ).	(5.7)
		a	n
		a
y	y = f(x)			y	y = f(x)

y	0	y1	y	2	yn	y0	y	1	y	y
	0			2		y0		1	2	n

О а =			О а =
О а =	x0 x1 x2	xn–1 xn = b x	О а =	x0 x1 x2	xn–1 xn = b x
	Рис. 5.11			Рис. 5.12

398

Нарешті, якщо за висоти прямокутників взяти значення функції у серединах відрізків [xk −1 ; xk ] ( k = 1, 2, ..., n ), то дістанемо формулу

b − a

+ x1

+ f

x1 + x2

+ …+ f

xn−1 + xn

∫ f (x)dx ≈

(5.8)

b − a

xk −1 + xk

∑ f

k =1

Формули (5.6) — (5.8) називаються формулами прямокутників.

2.3. Формула трапецій

Замінимо криву y = f (x) ламаною лінією, сполучивши послідовно точки ( xk , yk ) ( k = 0, 1, ..., n ). Тоді площа криволінійної трапеції набли-

жено дорівнює сумі площ прямокутних трапецій, обмежених зверху ланками ламаної (рис. 5.13). Площа першої прямокутної трапеції дорівнює

b − a

y0 + y1

другої —

b − a

y1 + y2

і т. д. Тоді

b − a

∫ f (x)dx ≈

( y0 + 2 y1 + …+ 2yn−1 + yn ).

(5.9)

y = f(x)

yn–2 yn–1 yn

О x0 = a x1	x2	x3	xn– 2 xn–1 xn = b	x
			b – a

Рис. 5.13

Чим більшим буде число n, тим точніша, за інших рівних умов, фор-

мула (5.9).

Зауваження. Формулу трапецій можна дістати з формул (5.6) та (5.7), якщо взяти півсуму їх лівих і правих частин.

399

2.4. Формула парабол (Сімпсона)

Розіб’ємо відрізок [a; b] на парне число 2n рівних частин. Площу криволінійної трапеції, що відповідає відрізку [x0 ; x2 ] , замінимо площею трапеції AM0 M1M2 B , обмеженої зверху параболою y = px2 + qx + r , що про-

ходить через точки M0 (x0 ; y0 ), M1 (x1 ; y1 ), M2 (x2 ; y2 ) (рис. 5.14). Обчислимо площу трапеції AM0 M1M2 B. Для зручності обчислень пе-

ренесемо вісь ординат вздовж осі Ох так, щоб вона проходила через точку

M	1	(рис. 5.15). Позначимо	x	− x	= x	− x = h =	b − a	і знайдемо коефіці-
M		(рис. 5.15). Позначимо	x	− x	= x	− x = h =		і знайдемо коефіці-
			2	1	1	0	2n
							2n
єнти параболи y = px2 + qx + r , що проходить через точки M									0	(−h; y ),
									0	0

M1 (0; y1 ), M2 (h; y2 ) . Підставивши координати цих точок у рівняння параболи, дістанемо систему рівнянь

y0 = ph2 − qh + r,y1 = r,

y2 = ph2 + qh + r,

розв’язок якої

p =

y0 − 2y1 + y2

, q =

y2 − y1

r = y .

2h2

y = f(x)

M2n

= a x1 x

= b

–h

Рис. 5.14

Рис. 5.15

Тепер обчислюємо площу трапеції AM0 M1M2 B :

2 p

s12 = ∫

( px

+ qx + r)dx =

+ rx

+ 2rh =

−h

(2 ph2

+ 6r )

( y0 − 2 y1 + y2 +

6y1 )

( y0 + 4y1 + y2 ) .

400

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 4540 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.08.20195.47 Mб23(Т4 укр)м(Л21).doc
#
29.08.20193.68 Mб37(Т5укр)м(Л22-23).doc
#
11.12.2018296.96 Кб14+Изгот микросхем.doc
#
11.12.2018437.76 Кб4+страничная память.doc
#
19.02.20162.32 Mб230887578_645D9_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat.pdf
#
19.02.20163.59 Mб520887579_C36AB_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat.pdf
#
19.09.2019106.5 Кб01 000 000 $.doc
#
16.11.20191.38 Mб11 Lab (Neuro).docx
#
19.02.20161.12 Mб1021 Конспект лекций Основы системного анализа.doc
#
25.11.2019238.27 Кб41 Літосферні стихійні лиха.docx
#
19.02.201652.22 Кб4741 ПЗ М1 Менеджмент.doc