Свойства Моменты
Моментами и
абсолютными моментами случайной
величины 
называются
математические ожидания 
и 
соответственно.
Если математическое ожидание случайной
величины 
,
то эти параметры называютсяцентральными
моментами.
В большинстве случаев представляют
интерес моменты для целых 
.
Если 
имеет
нормальное распределение, то для неё
существуют (конечные) моменты при
всех 
с
действительной частью больше −1. Для
неотрицательных целых 
,
центральные моменты таковы:
Здесь 
означает двойной
факториал,
то есть произведение всех нечетных
от 
до 1.
Центральные абсолютные моменты для неотрицательных целых p таковы:
Последняя
формула справедлива также для
произвольных 
.
Бесконечная делимость
Нормальное распределение является бесконечно делимым.
Если
случайные величины 
и 
независимы
и имеют нормальное распределение с
математическими ожиданиями 
и 
и
дисперсиями 
и 
соответственно,
то 
также
имеет нормальное распределение с
математическим ожиданием 
и
дисперсией 
.
Отсюда вытекает, что нормальная случайная
величина представима как сумма
произвольного числа независимых
нормальных случайных величин.
Максимальная энтропия
Нормальное распределение является непрерывным распределением с максимальной энтропией при заданном математическом ожидании и дисперсии.[3][4]
Моделирование нормальных псевдослучайных величин
Простейшие приближённые методы моделирования основываются на центральной предельной теореме. Именно, если сложить несколько независимых одинаково распределённых величин с конечной дисперсией, то сумма будет распределена примерно нормально. Например, если сложить 12 независимых стандартно равномерно распределённых случайных величин, получим приближённое стандартное нормальное распределение.
Для программного генерирования нормально распределённых псевдослучайных величин предпочтительнее использовать преобразование Бокса — Мюллера. Оно позволяет генерировать одну нормально распределённую величину на базе одной равномерно распределённой.
Нормальное распределение в природе и приложениях
Нормальное распределение часто встречается в природе. Например, следующие случайные величины хорошо моделируются нормальным распределением:
отклонение при стрельбе
погрешности измерений (однако, погрешности некоторых измерительных приборов имеют не нормальные распределения)
некоторые характеристики живых организмов в популяции
Такое широкое распространение этого распределения связано с тем, что оно является бесконечно делимым непрерывным распределением с конечной дисперсией. Поэтому к нему в пределе приближаются некоторые другие, например, биномиальное и Пуассоновское. Этим распределением моделируются многие не детерминированные физические процессы.
Многомерное нормальное распределение используется при исследовании свойств личности человека в психологии и психиатрии. Для моделирования некоторых сложных социально- экономических процессов, в частности, для моделирования процесса демократических выборов нормальное распределение не применимо.
КОРРЕЛЯЦИЯ
Корреля́ция (от лат. correlatio —
соотношение, взаимосвязь), корреляционная
зависимость — статистическая взаимосвязь
двух или нескольких случайных
величин (либо
величин, которые можно с некоторой
допустимой степенью точности считать
таковыми). При этом изменения значений
одной или нескольких из этих величин
сопутствуют систематическому изменению
значений другой или других
величин.[1] Математической
мерой корреляции двух случайных величин
служит корреляционное
отношение 
[2],
либо коэффициент
корреляции 
(или 
)[1].
В случае, если изменение одной случайной
величины не ведёт к закономерному
изменению другой случайной величины,
но приводит к изменению другой
статистической характеристики данной
случайной величины, то подобная связь
не считается корреляционной, хотя и
является статистической[3].
Впервые в научный оборот термин «корреляция» ввёл французский палеонтолог Жорж Кювье в XVIII веке. Он разработал «закон корреляции» частей и органов живых существ, с помощью которого можно восстановить облик ископаемого животного, имея в распоряжении лишь часть его останков. В статистике слово «корреляция» первым стал использовать английский биолог и статистик Фрэнсис Гальтон в конце XIX века.[4]
Некоторые виды коэффициентов корреляции могут быть положительными или отрицательными. В первом случае предполагается, что мы можем определить только наличие или отсутствие связи, а во втором — также и её направление. Если предполагается, что на значениях переменных задано отношение строгого порядка, то отрицательная корреляция — корреляция, при которой увеличение одной переменной связано с уменьшением другой. При этом коэффициент корреляции будет отрицательным. Положительная корреляция в таких условиях — это такая связь, при которой увеличение одной переменной связано с увеличением другой переменной. Возможна также ситуация отсутствия статистической взаимосвязи — например, для независимых случайных величин.