II_Semestr_PM_M_Zaoch (2)

Полную группу можно условно представить в виде событий, которые разделяют пространство Ω на непересекающиеся множества (см. рис.1).

Пусть интересующее нас событие А может наступить после реализации одного из событий Нi, т.е.

Если известны вероятности P(Hi ), P(A/ Hi ), то из формул (3) и (4) по-

лучаем формулу полной вероятности:

Если событие А произошло, тогда вероятность того, что при этом была реализована гипотеза Нi, определяется по формуле условной вероятности

Соотношения (6) называют формулами Байеса. Они позволяют по известным (до того, как произошло событие А) априорным вероятностям гипотез P(Hi ) и условным вероятностям P(A/Hi ) определить условные вероятности P(Hi / A), которые называют апостериорыми (то есть полученными при условии, что в результате опыта событие А уже произошло).

Замечание. Прилагательное априорный происходит от латинского слова a priori и означает не зависящий от опыта, предшествующий опыту.

Прилагательное апостериорный происходит от латинского слова a posteriori и означает основывающийся на опыте, на имеющихся данных.

11

Задание №3

1.Детали, изготовленные заводом, попадают для проверки их стандартности к одному из двух контролёров. Вероятность того, что деталь попадёт к первому контролеру, равна 0.6, ко второму – 0.4. Вероятность того, что деталь будет признана стандартной первым контролёром, равна 0.94, вторым – 0.98. Деталь была признана при проверке годной. Найдите вероятность того, что эту деталь проверил первый контролёр.

2.Для участия в студенческих отборочных соревнованиях выделено из первой группы – 4 студента, из второй – 6, из третьей – 5 студентов. Вероятность того, что студент первой группы попадёт в сборную, равна 0.9, второй – 0.7, третьей – 0.8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал студент?

3.В группе 30 спортсменов: 20 лыжников, 6 конькобежцев, 4 горнолыжника. Вероятности выполнить норму мастера спорта равны для лыжника 0.8, для конькобежца – 0.9, для горнолыжника – 0.85. Наудачу выбранный спортсмен выполнил норму мастера спорта. Какова вероят-

ность, что этот спортсмен конькобежец?

4.В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0.95, для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0.8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Найдите вероятность того, что стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом.

5.В группе 30 студентов. 12 из них имеют шансы получить отличную оценку на экзамене с вероятностью 0.8, 8 – с вероятностью 0.6, остальные – с вероятностью 0.4. Выбранный наугад студент из группы получил отличную оценку. Определите вероятность того, что он из третьей части группы.

6.В первой коробке 20 ламп, из них 12 стандартных, во второй коробке 10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взяли лампу и переложили в первую. Затем из первой коробки взяли лампу, и она оказалась стандартной. Найдите вероятность того, что из второй коробки в первую переложили стандартную лампу.

7.Стрельба по самолету с самолета производится с трёх дистанций: 200м, 100м, 50м. Вероятность того, что стрельба производится с 200м, равна 0.3, со 100м – 0.5, с 50м – 0.2. Вероятности сбить самолет с этих дистанций соответственно равны 0.1, 0.2, 0.4. Произведена стрельба, в

12

результате которой самолёт был сбит. Найдите вероятности того, что стрельба произведена с дистанции 200м.

8.Общество рыбаков равновероятно могло выбрать одно из двух мест для рыбной ловли. На первом месте вероятность получить большой улов равна 0.75, на втором – 0.7. Рыбаки вернулись с большим уловом. Найдите вероятность того, что рыбаки ловили рыбу на первом месте.

9.На предприятии изготавливаются изделия определённого вида на трёх поточных линиях. На первой линии производится 30% изделий от общего объёма их производства, на второй – 25%, на третьей – остальная часть продукции. Каждая из линий характеризуется соответственно следующими процентами годности линий: 97%, 98%, 96%. Наугад взятое изделие, выпущенное предприятием, оказалось бракованным. Определите вероятность того, что это изделие изготовлено на второй линии.

10.Для поисков спускаемого аппарата космического корабля выделено 6 вертолётов первого типа и 4 вертолёта второго типа. Каждый вертолёт первого типа обнаруживает находящийся в районе поиска аппарат с вероятностью 0.6, второго типа – с вероятностью 0.7. В результате поисков спускаемый аппарат был обнаружен. К какому типу вероятнее всего принадлежит вертолёт, обнаруживший спускаемый аппарат?

Выполнение типового варианта (задание №3)

Пример. Обычно отдел закупок спортивных костюмов в гипермаркете приобретает 25% своего товара у производителя А и 75% – у производителя Б. Доля брака у первого производителя составляет 2%, у второго – 1%. Какова вероятность покупки бракованного спортивного костюма в этом магазине?

Решение. Шаг 1 (события). Введём события:

событие А – «будет куплен бракованный костюм»; событие – гипотеза Н1 – «костюм изготовлен производителем А»;

событие – гипотеза Н2 – «костюм изготовлен производителем Б».

Шаг 2 (априорные вероятности).

Контроль (см.(2)): P(H1) P(H2) 0,25 0,75 1.

Шаг 3 (условные вероятности). Из формулировки задачи следует:

13

4. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ

Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между значениями x1,x2,x3, этой величины и их вероятностями p1, p2, p3 .

Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан

таблично, графически или аналитически (т.е. с помощью формул).

Многоугольник распределения

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины изображают графически, для чего в прямоугольной декартовой системе координат строят точки (xk, pk) и соединяют их последовательно отрезками прямых. Получающаяся при этом ломаная линия называется много-

угольником распределения случайной величины Х.

Функция распределения

Функцией распределения (интегральной функцией) любой случайной величины Х называется функция y=F(x), значения которой определяются формулой

гдеP(X x) – вероятность того, что случайная величина X примет значения, меньшие х.

15

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Случайная величина полностью определяется её законом распределения, но для многих задач эта информация излишне полна и в то же время на практике часто закон распределения не известен, и приходится довольствоваться меньшими сведениями. В таких случаях пользуются некоторыми суммарными характеристиками случайной величины, которые называются числовыми характеристиками. К важнейшим из них относятся математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Математическое ожидание Математическим ожиданием или средним значением дискретной слу-

чайной величины Х, которая может принимать значения x1,x2, ,xn с вероятностями p1, p2 , , pn , называется число

Для обозначения математического ожидания используют также символы а или mX .

Замечание. Ещё раз следует подчеркнуть: математическое ожидание случайной величины – это число (постоянная, неслучайная величина).

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение

Для оценки степени рассеяния значений случайной величины вокруг её среднего значения вводится понятие дисперсии.

Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата разности X M(X):

Для вычисления дисперсии обычно используют более удобную формулу

16

Мнемоническое правило: «математическое ожидание квадрата минус квадрат математического ожидания».

Для ДСВ эта формула записывается так:

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называ-

ется корень квадратный из дисперсии, т.е.

Среднее квадратическое отклонение также, как и дисперсия, является мерой рассеяния случайной величины Х. Эта характеристика имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.

Мода

Мода M0(X) – это значение случайной величины, имеющее наибольшую вероятность.

Некоторые законы распределения дискретных случайных величин и их числовые характеристики

Биномиальное распределение

Кэтому распределению приводит схема Бернулли:

1.Пусть проводятся n независимых, однородных испытаний.

2.В каждом из этих испытаний событие A может появиться с вероятностью p или событие А с вероятностью 1–p=q.

Появление события A называется успехом, а непоявление – неуспехом

(неудачей).

В n испытаниях событие A может либо не появиться (0 успехов в n испытаниях), либо появиться 1 раз (1 успех в n испытаниях), либо 2 раза (2 успеха в n испытаниях), …, либо n раз (n успехов в n испытаниях).

Биномиальное распределение используется для оценки количества успехов в n испытаниях.

Пусть ДСВ Х – число появлений события A в n испытаниях. Найдём закон распределения этой СВ. Очевидно, вероятности каждого возможного значения данной СВ Х можно вычислить по формуле Бернулли:

17

Величины n и p называют параметрами биномиального распределения.

Гипергеометрическое распределение

Дискретная случайная величина Х имеет гипергеометрическое распределение, если она принимает значения m с вероятностями

где m=0, 1, 2, …, n. Вероятности pm являются вероятностями из «урновой схемы».

Гипергеометрическое распределение, как и биномиальное, позволяет оценить количество успехов в серии из n испытаний. Разница между ними заключается лишь в способе получения исходных данных.

Вбиномиальной модели данные выбираются либо из конечной генераль-

ной совокупности с возвращением, либо из бесконечной генеральной совокупности без возвращения.

Вгипергеометрической модели данные извлекаются только из конечной генеральной совокупности без возвращения.

Таким образом, в биномиальной модели вероятность успеха p постоянна, а испытания не зависят друг от друга (схема Бернулли), в гипергеометрической модели эти условия не выполняются. Наоборот, в гипергеометрической модели каждый исход зависит от предыдущих исходов.

18

События X 0, X 1,..., X n образуют полную группу событий, по-

этому pm 1.

m 1

Представим гипергеометрический закон распределения в виде таблицы:

Известно, что в случае гипергеометрического распределения

Величины N, M, n называются параметрами гипергеометрического распределения.

Задание №4

Найдите закон распределения указанной дискретной случайной величины (СВ) Х и её функцию распределения F(x). Вычислите математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение(X). Найдите вероятность P(X<1), вероятность P(X 2) и моду Mo(X).

1.Производятся три выстрела по мишени. Вероятность поражения мишени первым выстрелом равна 0.4, вторым – 0.5, третьим – 0.6. СВ Х – число поражений мишени.

2.Вероятность безотказной работы в течение гарантийного срока для телевизоров первого типа равна 0.9, второго типа – 0.7, третьего типа – 0.8. СВ Х – число телевизоров, проработавших гарантийный срок, среди трёх телевизоров разных типов.

3.Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0.6. СВ Х – число поражений цели при четырёх выстрелах.

4.Вероятность выпуска прибора, удовлетворяющего требованиям качества, равна 0.9. В контрольной партии – 3 прибора. СВ Х – число приборов, удовлетворяющих требованиям качества.

5.В колоде – 36 карт. Произвольным образом выбираются 6 карт. СВ Х – число тузов среди выбранных шести карт.

6.Вероятность сдачи первого экзамена для данного студента равна 0.9, второго экзамена – 0.8, третьего – 0.7. СВ Х – число сданных экзаменов.

19

7.Из партии в 20 изделий, среди которых имеется 4 нестандартных, для проверки качества выбраны случайным образом 3 изделия. СВ Х – число нестандартных изделий среди проверяемых.

8.В партии из 15 телефонных аппаратов 5 неисправных. СВ Х – число неисправных аппаратов среди трёх случайным образом отобранных.

9.90% панелей, изготавливаемых на железобетонном заводе, – высшего сорта. СВ Х – число панелей высшего сорта из четырёх, взятых наугад.

10.Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна 1/6. СВ Х – число выигрышных билетов из четырёх.

Выполнение типового варианта (задание №4)

Пример 1. (Биномиальное распределение). Студент решает три задачи.

Вероятность правильного решения каждой задачи равна 0,7. Случайная величина Х – число верно решённых задач. Найдите закон распределения указанной дискретной случайной величины (СВ) Х и её функцию распределения F(x). Вычислите математическое ожидание M(X) дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение (X). Найдите вероятность P(X<1), вероятность P(X 2) и моду Mo(X).

Решение. Найдём сначала закон распределения данной СВ Х. Эта величина может принимать четыре значения: x1=0 (ни одной правильно решённой задачи), x2=1 (одна верно решённая задача), x3=2 (две верно решённые задачи), x4=3 (три верно решённые задачи) .

Очевидно, имеет место схема Бернулли: p=0,7, q=0,3, n=3. ДСВ Х имеет биномиальное распределение. Вероятности вычислим по формуле (7):

p4 P(X 3) С33 p3q0 0,73 0,343.

Биномиальный закон распределения данной случайной величины можно задать таблицей

Контроль: 0,027+0,189+0,441+0,343=1.

Найдём функцию распределения по формуле (2):

20