Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

II_Semestr_PM_M_Zaoch (2)

.pdf
Скачиваний:
72
Добавлен:
19.02.2016
Размер:
607.37 Кб
Скачать

Государственный институт экономики, финансов,

права и технологий

Кафедра информационных технологий и

высшей математики

ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ ПО МАТЕМАТИКЕ

(Теория вероятностей и математическая статистика)

для студентов заочной формы обучения, обучающихся по специальностям:

080507 – «Производственный менеджмент»,

080111 – «Маркетинг»

I курс, II семестр

Гатчина

1

Автор-составитель: Майгула Н.В., кандидат физико-математических наук, доцент.

© Майгула Н.В.

2

ПРЕДИСЛОВИЕ

Задачей изучения дисциплины является получение студентом представления о важнейших математических понятиях, на базе которых математика может быть применена им как в процессе обучения в институте, так и в дальнейшей профессиональной деятельности.

В соответствии с государственным образовательным стандартом по специальностям 080507 – Производственный менеджмент, 080111 – Маркетинг программа курса «Математика» во II семестре включает в себя раздел «Теория вероятностей и математическая статистика».

Во втором семестре студенты

выполняют контрольную работу;

аудиторно выполняют лабораторные работы по математической статистике во время зачётно–экзаменационной сессии;

сдают единый экзамен по теории вероятностей и математической статистике.

Контрольная работа должна быть сдана не позднее, чем за неделю до начала зачётно – экзаменационной сессии. Номер варианта выбирается по последней цифре номера зачётной книжки. Цифра ноль соответствует варианту №10 контрольной работы.

В пособии приведены программа, задания к контрольной работе, решение типовых вариантов заданий, контрольные вопросы для подготовки к экзамену по математике за второй семестр.

3

Программа курса по дисциплине МАТЕМАТИКА I курс, II семестр

Тема 1. Случайные события

Предмет теории вероятностей и её значение для экономической науки. Случайные события. Классификация событий. Операции над событиями. Вероятностное пространство.

Статистическое, аксиоматическое, классическое и геометрическое определения вероятности.

Теорема сложения вероятностей. Условная вероятность.

Вероятность произведения событий. Независимые события.

Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

Повторение испытаний. Схема Бернулли. Формула Бернулли.

Тема 2. Случайные величины

Понятие случайной величины. Дискретные случайные величины (ДСВ) и непрерывные случайные величины (НСВ). Закон распределения вероятностей ДСВ. Биномиальное распределение ДСВ. Распределение Пуассона.

Функция распределения и её свойства. Плотность распределения вероятностей и её свойства.

Основные числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Свойства числовых характеристик.

Законы распределения непрерывных случайных величин. Равномерное распределение. Показательное распределение. Нормальное распределение.

Система двух случайных величин. Функциональная зависимость и корреляция. Функция регрессии. Корреляционный момент и коэффициенты корреляции.

Тема 3. Закон больших чисел

Понятие о законе больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли.

4

Тема 4. Основы выборочного метода и элементы статистической теории оценивания

Генеральная и выборочная совокупности. Эмпирическая функция распределения и её свойства. Полигон частот и гистограмма.

Числовые характеристики выборки. Точечное оценивание параметров распределения. Несмещённость, состоятельность и эффективность оценки. Выборочное среднее как оценка генеральной средней. Оценка генеральной дисперсии.

Интервальное оценивание параметров распределения. Доверительный интервал и доверительная вероятность. Интервальное оценивание генеральной средней и генеральной дисперсии.

Тема 5. Статистическое исследование зависимостей

Корреляционный и регрессионный анализ.

Построение выборочных линейных уравнений регрессии.

Литература

1.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: «Высшая школа», 1999 г.

2.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. –М.: «Высшая школа», 1999 г.

3.Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учебник –М.: Дело, 2000г.

4.Сборник задач по высшей математике для экономистов. Учебное пособие п/р проф. Ермакова В.И.– М.: Инфра-М, 2004.

5.Гусак А.А. Высшая математика, т.1,2. Мн.: Тетра Системс, 2003.

6.Гусак А.А., Бричикова Е.А. Справочное пособие к решению задач: теория вероятностей. Мн.: Тетра Системс, 2001.

7.Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричикова Е.А. Справочник по высшей математике. Мн.: Тетра Системс, 2005.

8.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч.1, ч.2. М.: «Высшая школа», 1996 г.

5

ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

1. АЛГЕБРА СОБЫТИЙ

Задание №1

1.Три фирмы взяли кредит в банке. Пусть событие Аk означает, что k–я фирма в срок вернёт кредит, k=1,2,3. Используя операции сложения, умножения и отрицания событий, найдите выражения для следующих событий: В1 – все фирмы вернут кредит в срок; В2 – ни одна не вернёт кредит в срок; В3 – не менее двух фирм вернут кредит в срок.

2.В новогоднюю ночь в Гатчинском роддоме должно родиться трое детей. Пусть событие Аk означает рождение первого, второго и третьего мальчика, k=1,2,3. Используя операции сложения, умножения и отрицания событий, найдите выражения для следующих событий: В1 – все три ребёнка – мальчики; В2 – хотя бы один из родившихся – мальчик; В3 – из трех родившихся детей – две девочки.

3.На межвузовскую олимпиаду по математике собираются направить трёх студентов– победителей вузовской олимпиады. Пусть Аk – означает, что k–ый студент займёт призовое место, k=1,2,3. Используя операции сложения, умножения и отрицания событий, найдите выражения для следующих событий: В1 – студенты займут не менее двух призовых мест; В2 – студенты не займут ни одного призового места; В3 – студенты займут все три призовых места.

4.Некто купил три лотерейных билета. Обозначим через событие Аk выигрыш k–го билета, k=1,2,3. Используя операции сложения, умножения

иотрицания событий, найдите выражения для следующих событий: В1

– все три билета окажутся выигрышными; В2 – выигрышных два билета; В3 – хотя бы один билет выигрышный.

5.Три студента сдают зачёт. Пусть событие Аk означает, что k–ый студент получит зачёт, k=1,2,3. Используя операции сложения, умножения

иотрицания событий, найдите выражения для следующих событий: В1

– только два студента получат зачёт; В2 – не более двух студентов получат зачёт; В3 – хотя бы один из студентов получит зачёт.

6.Кондитерская фабрика представила на дегустацию три новых сорта конфет. Событие Аk означает, что потребителю понравится k–ый сорт, k=1,2,3. Используя операции сложения, умножения и отрицания собы-

6

тий, найдите выражения для следующих событий: В1 – только один сорт понравится; В2 – все три сорта понравятся; В3 – хотя бы один сорт понравится.

7.Три спортсмена стреляют по мишени. Событие Аk означает попадание в мишень k–го спортсмена, k=1,2,3. Используя операции сложения, умножения и отрицания событий, найдите выражения для следующих событий: В1 – только один стрелок попадёт в мишень; В2 – все три стрелка промахнутся; В3 – хотя бы один из стрелков попадёт в мишень.

8.Из партии деталей для проверки собираются взять три. Событие Аk означает брак k–ой детали, k=1,2,3. Используя операции сложения, умножения и отрицания событий, найдите выражения для следующих событий: В1 – все три детали окажутся бракованными; В2 – только одна окажется бракованной; В3 – окажется не более одной бракованной.

9.Устройство состоит из трёх элементов, работающих независимо друг от друга. Событие Аk означает безотказную работу k–го элемента в течение некоторого промежутка времени, k=1,2,3. Используя операции сложения, умножения и отрицания событий, найдите выражения для следующих событий: В1 – только два элемента проработают безотказно; В2 – все три элемента проработают безотказно; В3 – хотя бы один из элементов откажет в работе.

10.На своём участке садовод посадил три яблони. Событие Аk означает то, что k–я яблоня приживётся, k=1,2,3. Используя операции сложения, умножения и отрицания событий, найдите выражения для следующих событий: В1 – хотя бы две яблони приживутся; В2 – все три яблони засохнут; В3 – только две яблони приживутся.

Выполнение типового варианта (задание №1)

Три человека договорились о встрече. Событие Аk означает, что вовремя придёт k-ый из них, k=1,2,3. Используя операции сложения, умножения и отрицания событий, найдите выражения для следующих событий: В1 – все придут вовремя; В2 – один опоздает; В3 – хотя бы один опоздает.

Решение. Если событие Аk означает, что вовремя придёт k-й из них, k=1,2,3, тогда событие Ak означает опоздание k-го из них, k=1,2,3. Тогда

B1 A1 A2 A3;

B2 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3;

B3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3

A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3.

7

2. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ

Вероятностью события А называется число, характеризующее степень возможности появления события А. Обозначение Р(А). (Р от французского probabilite – вероятность).

Классическое определение вероятности: вероятность события А опреде-

ляется по формуле

P(A)

m

,

(1)

 

 

n

 

где m – количество элементарных исходов, благоприятствующих событию А, n – количество всех равновозможных элементарных исходов опыта, образующих полную группу событий.

Определение (1) вероятности было впервые дано в работах французского математика Лапласа. Использовать его можно только для опыта с равновозможными исходами!

Вероятность и комбинаторика Урновая схема (контроль качества)

В урне N шаров, среди них М синих, остальные – красные. Из урны наугад достают n шаров. Какова вероятность, что среди n шаров m синих (0 m M)? Если через А обозначить событие

 

«среди выбранных n шаров окажется m синих», то

Син. М

вероятность события А определяется по формуле

Кр. NM

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cm

Cn m

 

 

 

P(A)

M

N M

.

(2)

 

 

 

 

 

 

 

CNn

 

Задание №2

1.Участники жеребьёвки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найдите вероятность того, что номер первого наудачу извлечённого жетона не будет содержать цифры 5.

2.Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «ПЕСНЯ». Ребёнок, не умеющий читать, рассыпал буквы и затем собрал в произвольном

8

порядке. Найдите вероятность того, что у него снова получится слово «ПЕСНЯ».

3.Из партии втулок, изготовленных за смену токарем, случайным образом собираются взять для контроля 10 штук. Найдите вероятность того, что среди отобранных две втулки окажутся второго сорта, если во всей партии 25 втулок первого сорта и 5 – второго.

4.В группе спортсменов 7 лыжников и 3 конькобежца. Из неё случайным образом собираются выделить три спортсмена. Найдите вероятность того, что среди них окажутся два лыжника.

5.Из букв разрезной азбуки составлено слово «РЕМОНТ». Карточки тщательно перемешивают, затем наугад извлекают 4 карточки и раскладывают их в порядке извлечения. Какова вероятность получения при этом слова «море»?

6.Из восьми книг две художественные. Найдите вероятность того, что среди взятых наугад четырёх книг одна окажется художественной.

7.На полке 6 радиоламп, из которых две бракованные. Наудачу собираются взять три лампы. Какова вероятность того, что они окажутся годыми для использования?

8.В книге 300 страниц. Чему равна вероятность того, что наугад открытая страница будет иметь порядковый номер, кратный 5?

9.Наудачу задумывают натуральное число, не превосходящее 50. Какова вероятность того, что это число является простым?

10.В коробке случайным образом расположены 11 шоколадок с различными начинками, причём три из них имеют одинаковую начинку. Наугад выбирают три шоколадки. Найдите вероятность того, что две из них будут иметь одинаковую начинку.

Выполнение типового варианта (задание №2)

В партии из 8 изделий 3 бракованных. Из партии выбирается наугад 6 изделий. Определить вероятность того, что из этих 6 изделий 2 окажутся бракованными.

Решение. Обозначим буквой А событие «среди отобранных изделий 2 бракованных и 4 небракованных». Воспользуемся классическим определением вероятности

P(A) m, n

9

где m – число элементарных исходов, благоприятствующих событию А, n

число всех равновозможных элементарных исходов опыта, образующих полную группу событий.

Общее число возможных элементарных исходов испытания n равно числу способов, которыми можно извлечь 6 изделий из 8, т.е. числу сочетаний из 8 по 6 (C86 ):

n C6

 

8!

 

 

8 7 6 5 4 3 2

28.

6!2!

 

8

 

 

6 5 4 3 2 2

Число исходов m, благоприятствующих интересующему нас событию, состоит из произведения числа способов, которыми можно извлечь 2 бракованных изделия из 3 бракованных и числа способов, которыми можно извлечь 4 небракованных изделия из 5 небракованных, т.е. произведению

числа сочетаний из 3 по 2 (C32 ) и из 5 по 4 (C54 ):

m C32 C54 3! 5! 15. 2! 4!

Вычислим искомую вероятность согласно формуле (2)

P(A) C32 C54 15 0,54.

C86 28

Ответ: Р(из 6 изделий 2 окажутся бракованными) 0,54.

3. ПОЛНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. ФОРМУЛЫ БАЙЕСА

СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ

События H1, H2, , Hn образуют полную группу событий, если они попарно несовместны, а их сумма является достоверным событием (т.е. одно из этих событий обязательно произойдет). Таким образом, можно написать

Hi H j при i j и H1 H2 Hn (1)

Н1

Н2

Ω

Нn

Такие события будем называть гипотезами.

По теореме сложения вероятностей, для полной группы событий справедливо равенство

P(H1) P(H2 ) P(Hn ) 1.

(2)

Рис.1. События–гипотезы разделяют

пространство на непересекающие-

10

 

ся множества.

 

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]