Лекция 9.

Условия квантования энергии

Вопросы для рассмотрения:

1. Ограничение движения

2. Плотность состояний в низкоразмерных условиях

3. Рассеяние в низкоразмерных условиях

4. Состояние после рассеяния в низкоразмерных условиях

Все макропараметры любой электронной системы, прибора, устройства (ток, сопротивление, проводимость) обусловлены микропараметрами, характеризующими электронный перенос в них (подвижностью, дрейфовой скоростью, временем и длиной свободного пробега и рядом других). Эти микропараметры определяют или точнее сами задаются кинетикой электронов. Кинетика, или пространственное движение электронов, — это, прежде всего, движение под действием электрических и магнитных полей в веществе, непрерывно прерываемое различными актами рассеяния. При рассеянии направление движения электронов меняется. Чаще всего это изменения направления движения хаотичны, однако некоторые механизмы рассеяния, например, на ионах примеси и электронов друг на друге, подчиняются определенным закономерностям.

В целом рассеяние электрона определяется углом рассеяния . Однако при точном определении его пространственного расположения необходимо знать ряд других углов. На рис. 1 заданы эти углы. Волновой вектор определяет направление движения электрона до рассеяния, вектор — после рассеяния. Между векторами и существует очевидная связь .

Рис. 1. Пространственная ориентация волновых векторов электрона при рассеянии.

Углы ,,и— известны до рассеяния (они задают направление движения электрона до рассеяния), углыиназываются углами рассеяния. У каждого механизма рассеяния они свои. Зная углы,,,,и, можно определить направление движения электрона после рассеяния с помощью следующих соотношений:

,

,

.

Рассеяние может быть упругим, тогда , и неупругим, тогда . Закон, определяющий соответствие между и , устанавливается характером каждого механизма рассеяния.

3D-состояние — это когда электрон свободен в своем движении по всем трем направлениям (при рассеянии все компоненты вектора меняются), 2D-состояние — это когда электрон свободен в своем движении только по двум направлениям (меняются только два компонента вектора — обычно в качестве ее выбирают и), 1D-состояние — это когда электрон свободен в своем движении только по одному направлению (меняется только одна компонента вектора —обычно в качестве ее выбирают ).

Плотность состояний есть параметр, определяющий сколько энергетических состояний, которые могут занимать электроны, приходится на единичный интервал энергии. Данная величина имеет очень важный физический смысл, так как она определяет концентрацию электронов в конкретной области любого материала или прибора, а также интенсивность рассеяния электронов в этой области (число рассеяний в единицу времени).

Возьмем объемный прямоугольной формы образец, с размерами ,и, превышающими де Бройлевскую длину волны электрона (см. рис. 2).

Рис. 2. Образец прямоугольной формы.

Модуль волнового вектора электрона по определению рассчитывается как . Минимальные изменения его проекций,,в объемном образце будут равны,,(в соответствии с одним из ключевых положений зонной теории полупроводников — периодичности решетки). Оценим, как эти изменения соотносятся со средним значением величин,,.

Среднее значение любой из проекций приблизительно соответствует одной трети тепловой энергии электрона (), т.е.. Для арсенида галлия при комнатной температуре получимм^–1. Минимальные же изменения этой величины для образца, например, с=== 1 мкм будутм^–1, т.е. почти в 25 раз меньше.

Определим размеры в пространстве k-векторов, приходящиеся на одно состояние. Они будут равны отношению величины объема минимального изменения вектораk электрона к объему пространства, в котором это изменение наблюдается, т.е.. Подставив значения,,и учитывая, что на каждом состоянии может находиться два электрона с разными спинами, для плотности состояний вk-пространстве получими.

В практических целях более интересным является значение плотности состояний в пространстве энергий . Эта величина связана спосредством выражения. Найдем значение.

Как известно, энергия зависит от волнового вектора согласно , т.е. значение энергии фактически можно представить в виде сферы с радиусомk. Мельчайшее изменение объема в пространстве энергийочевидно связано с мельчайшим изменением волнового векторакак поверхность сферы умноженная на величину:. Перейдем вотк. Для этого продифференцируем выражение:. Отсюда. Подставив это в выражение для, получим. Но по определению энергии. Следовательно, окончательно получим. Отсюда.

Подставив значения ив выражение для, получим значение плотности состояний в обычном объемном случае в виде

.

В двумерном электронном газе свободным для движения является лишь два направления — например, по длинам и. В этом случае для энергии будем имеет

,

а для плотности состояний в k-пространствеи. Как и в объемном случае найдем выражение для. Для 2D-электронного газа зависимость энергии от вектораkимеет зависимость в виде окружности, и значит элементарное изменениеотбудет представлять собой площадь обода.сбудут связаны тем же соотношением. Подставив вили точнее, получим. Отсюда. Однако в этом выражении нужно иметь в виду, чтоимеет разрыв в точке. Этот разрыв можно учесть путем добавления суммы по всем возможныммножителя—. Если энергия меньше энергии самого первого уровня размерного квантования (), то величинавообще будет равна 0 и также нулю будет равна и плотность состояний. При достижениевеличинаскачком приобретает значение. При достижении следующего уровня размерного квантования эта величина удваивается и так далее.

Перемножив и, получив выражение для плотности состояний в двумерном случае

.

Аналогичные, еще более простые расчеты, для плотности состояний в одномерном случае дают следующее соотношение

.