- •Лекція 1 Тема: Скінченновимірні векторні простори
- •1. Поняття, приклади і найпростіші властивості векторного простору над полем
- •3. Ранг матриці
- •4. Базис і розмірність векторного простору
- •5. Координати вектора у векторному просторі. Розкладання вектора за базисом
- •2) Розкладемо вектор за базисом:
- •Розв’язуючи цю систему будь-яким способом, знайдемо , ,.
- •6. Ізоморфізм векторних просторів
- •7. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (загальна теорія)
- •Слар сумісна .
- •Слар має єдиний розв’язок
- •Слар має безліч розв’язків
- •8. Підпростори векторного простору
8. Підпростори векторного простору
Означення. Непорожня підмножина векторного просторуназиваєтьсяпідпростором простору , якщо воно є векторним простором відносно операцій, визначених в.
Це означає, що множина задовольняє аксіомам векторного простору, якщо додавати його елементи і множити їх на числа з поля(над яким заданий векторний простір) так, як це визначено для елементів простору.
Теорема (критерій підпростору). Непорожня підмножина векторного просторує підпростором просторуоді і тільки тоді, коли виконується наступні умови:
Якщо , то;
Якщо ,то.
Кожний підпростір будь-якого векторного простору саме по собі є векторним простором. тому всі поняття, які були введені для просторів (розмірність, базис та ін.) розповсюджуються і на підпростори.
Теорема (про розмірність підпростору). Розмірність будь-якого підпростору векторного простору не більше розмірності простору.
Приклади підпросторів.
1) Множина , яка містить тільки нульовий елементє підпростором будь-якого векторного простору. Його називаютьнульовим підпростором. В нульовому підпросторі нема лінійно незалежних систем векторів. Його базис – порожня множина. Його розмірність вважають нульовою.
2) Будь-який векторний простір є своїм підпростором.
Нульовий підпростір і сам простірзвичайно називаютьневласними підпросторами.
3) В арифметичному числовому векторному просторі множина,, векторів виглядує підпростором.
4) Векторний простір многочленів з коефіцієнтами з поля є підпростором векторного простору функцій, неперервних на відрізку, якщо многочлени вважати заданими на відрізку.
5) У векторному просторі геометричних векторів підпросторами будуть вусі площини і всі прямі, що проходять через початок координат.
6) Лінійні оболонки є цікавим прикладом підпростору. Нехай – довільна система векторів простору. Множина всіх векторів, які є лінійними комбінаціями векторів системи є підпростором простору , який позначаєтьсяі називається лінійною оболонкою векторів, або підпростором, натягнутим на вектори.