7. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (загальна теорія)

Нехай задана система лінійних алгебраїчних рівнянь

(3)

з матрицею

і розширеною матрицею

.

Систему (3) можна записати у вигляді

(4)

Згадаємо, що розв’язком системи лінійних алгебраїчних рівнянь (3) називається впорядкований набір з чиселтакий, що після заміни невідомихчисламикожне з рівнянь системи (3) перетворюється на тотожність. Система, що має хоча б один розв’язок, називаєтьсясумісною, а якщо система не має жодного розв’язку, вона називається несумісною. Дві системи з одними ф тими самими невідомими, які мають одну й ту саму множину розв’язків, називаються рівносильними (еквівалентними).

Теорема Кронекера-Капеллі. Система лінійних алгебраїчних рівнянь (3) сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матрицісистеми.

Слар сумісна .

Якщо для заданої системи виконується рівність , то цю систему називають системою рангу.

Нехай система (3) сумісна і її ранг дорівнює .

Означення. Базисними рівняннями називаються рівняння системи, яким відповідають базисних рядків матрицісистеми.Базисною підсистемою називається підсистема всіх базисних рівнянь системи.

Теорема (про сумісну систему). Сумісна система лінійних алгебраїчних рівнянь еквівалентна будь-якій своїй базисній підсистемі.

Нехай для системи (3) базисну підсистему утворюють перші рівнянь, тобто базисною є підсистема

(5)

Очевидно, що ранг системи не перебільшує числа невідомих, тобто завжди виконується нерівність . Звідси випливає

Теорема (про число розв’язків системи) 1. Якщо ранг сумісної системи дорівнює числу невідомих, то система має єдиний розв’язок.

Слар має єдиний розв’язок

2. Якщо ранг сумісної системи менше числа невідомих, то система має безліч розв’язків.

Слар має безліч розв’язків

На практиці нема необхідності спеціально з’ясовувати сумісність системи, порівнюючи ранги матриць і. Несумісність системи природним чином виявиться в процесі розв’язування системи. Для розв’язування системи застосовуютьметод Гаусса. Розширену матрицю за допомогою елементарних перетворень треба привести до ступінчастого вигляду. Ранг матриці ступінчастого вигляду дорівнює числу її ненульових рядків. Якщо система сумісна, то в матриці виділяють базисну підсистему, а в ній розділяють невідомі на базисні і вільні. Продовжують перетворення розширеної матриці базисної підсистеми так, щоб базисні невідомі виявилися на головній діагоналі одиничної матриці. Після всіх перетворень отримаємо систему, еквівалентну початковій, але розв’язувану відносно базисних невідомих.

Приклад. Розв’язати СЛАР

Розв’язання. Приведемо розширену матрицю за допомогою елементарних перетворень до ступінчастого вигляду:

.

Система сумісна, тому що ранг розширеної матриці дорівнює рангу основної матриці системи:.

Невідомі і– базисні, невідоміі– вільні.

Продовжимо перетворення матриці так, щоб базисні невідомі виявилися на головній діагоналі одиничної матриці:

~

Після всіх перетворень отримали матрицю, яка відповідає системі:

звідки

Останні рівності визначають загальний розв’язок системи. Надаючи вільним невідомим довільних числових значень, отримаємо всі розв’язки системи.