- •Державний університет телекомунікацій
- •Завдання на самостійну роботу
- •1. Поняття відношення. Способи задання відношень
- •Способи задання відношень
- •2. Образи і прообрази елементів і множин відносно відношень. Операції над відношеннями
- •3. Властивості бінарних відношень
- •4. Спеціальні бінарні відношення
- •5. Поняття функції та відображення
- •6. Класифікація функцій
- •7. Потужність множин і зліченність
5. Поняття функції та відображення
Поняття функції або відображення є одним з центральних в математиці. В математичному аналізі прийнято наступне означення функції. Нехай задано множини і . Змінна називається функцією від змінної , якщо за деяким правилом кожному значенню відповідає одне значення .
Існує інше означення функції як окремого випадку відношення між множинами.
Означення. Функцією називається бінарне відношення між множиною і множиною таке, що для кожного елемента існує один і тільки один елемент , відповідний елементу . Цей елемент називаєтьсязначенням функції для елемента і позначається . Інакше кажучи, функцією називається бінарне відношення, яке не містить двох пар з однаковими першими компонентами і різними другими.
Приклад. 1) – функція;
2) – відношення, але не функція.
Як і для звичайного відношення, для функціонального відношення множина називається множиною відправлення, множина – множиною прибуття. Множина пар називається графіком функції .
Множина називається областю визначення функції ; множина називається областю значень функції .
Приклад. Для попереднього прикладу 1) ,.
Таким чином, символ використовується при означенні функції у двох розуміннях:
1) – множина, елементами якої є пари, між якими існує функціональне відношення;
2) – позначення для елемента , що відповідає даному елементу .
Для функцій застосовується геометрична термінологія. Функцію називають відображенням множини в множину , елемент називається образом при відображенні . Якщо , то будь-який , для якого , називається прообразом елемента . Сукупність всіх прообразів елемента називається повним прообразом елемента і позначається : . Аналогічно визначаються образ множини іпрообраз множини :
;
Означення. Відображення наназиваєтьсяперетворенням множини .
Оскільки функції є бінарними відношеннями, то можна знаходити обернені функції і застосовувати операцію композиції.
Означення. Якщо відношення, обернене до функції , є функціональним, то воно називаєтьсяфункцією, оберненою до і позначається .
Оскільки в оберненому відношенні образи і прообрази міняються місцями, то обернена функція може не існувати.
Приклад: Функція відображає відрізокна відрізок. На відрізкудля неї існує обернена функція.
Означення. Нехай задані функції і. Функціяназиваєтьсякомпозицією функцій і, якщо має місце рівність . Часто кажуть, що функціяотримана підстановкоюв.
В математичному аналізі означення композиції двох функціональних відношень відповідає означенню складеної функції ..
Означення. Вираз, що описує композицію функцій і містить функціональні знаки і символи аргументів, називається формулою.
6. Класифікація функцій
Класифікація функцій | |
за характером |
за виглядом множин і |
сюр’єкція (або відображення на ), якщо
|
–дискретна функція (послідовність) |
ін’єкція (або відображення в ), якщо
|
і –дійсна функцією одного дійсного аргументу; і –дійсна функцією двох дійсних аргументів |
бієкція, (взаємнооднозначне відображення), якщо
|
–сім’я функцій, а , –функціонал. і –сім’ї функцій – оператор. |
відображення загального виду, якщо і |
|