Аркадий Александрович Бельский. Теория графов и комбинаторика. Задачи и упражнения

А.А.Бельский Теория графов и комбинаторика Задачи и упражнения

Весь нижеследующий материал существенно ориентирован на курс моих лекций по «Теории графов и комбинаторике» (вплоть до используе-мых обозначений). Каждая из тем воспроизведена примерами и вопроса-ми, которые в реальном проведении практических занятий должны раз-

множаться по аналогии.

Тема 1.Теоретико-множественное введение

1. Докажите равенство: , где - множе-

ства.

1.2. Докажите равенство: , где - множе-

ства.

3. Верно ли равенство: , где - множества?

4. Верно ли равенство: , где - множества?

5. Что является дополнением к множеству четных чисел во множестве нату-

ральных чисел?

6. Что является дополнением к множеству {1,3,5} во множестве {1,2,3,4,5,6}?

7. Что является дополнением к множеству {1,3,5} во множестве {1,3,5}?

1.8. Даны два множества ; запишите .

1.9. Даны два множества ; запишите .

1.10. Дано множество . Запишите .

1.11. Дано множество . Запишите его диагональ.

12. Приведите пример двух различных рефлексивных отношений на множест-

ве .

13. Приведите пример четырех различных рефлексивных отношений на мно-

жестве .

14. Приведите пример трех различных отношений на множестве

, не являющихся рефлексивными.

15. Приведите пример двух различных симметричных отношений на множе-

стве .

16. Приведите пример двух различных, не являющихся симметричными, отно-

шений на множестве .

1.17. Приведите пример двух различных антисимметричных отношений на мно-жестве .

18. Приведите пример двух различных, не являющихся антисимметричными,

отношений на множестве .

1.19. Приведите пример двух различных транзитивных отношений на мно-жестве .

1.20. Приведите пример двух различных, не являющихся транзитивными, отношений на множестве .

21. Пусть - некоторое отношение на множестве ; сопоставим отноше-

нию таблицу

рефлексивность	симметричность	транзитивность	антисимметричность
*	*	*	*

Вместо символа * поставим +, если свойство, указанное над *, имеется у отношения , и поставим -, если свойство, указанное над *, у отношения отсутствует. Легко понять, что всего существует 16 вариантов заполнения этой таблицы. Вот они (без верхней строки):

-

-

-

-

+

-

-

-

-

+

-

-

-

-

+

-

-

-

-

+

+

+

-

-

+

-

+

-

+

-

-

+

-

+

+

-

-

+

-

+

-

-

+

+

+

+

+

-

+

+

-

+

+

-

+

+

-

+

+

+

+

+

+

+

Выберите по собственному усмотрению множество и постройте два примера отно-шения для каждой таблицы в этом множестве , причем множество одно и то же во всех шестнадцати примерах.

22. Приведите пример эквивалентности и пример отношения, не являющегося

эквивалентностью.

23. Приведите пример частичного порядка и пример отношения, не являюще-

гося частичным порядком.

24. Как охарактеризовать отношение, являющееся эквивалентностью и частич-

ным порядком одновременно?

25. Приведите пример множества и двух различных эквивалентностей на нем.

26. Приведите пример множества и двух различных частичных порядков на

нем .