ФАН / Курс лекций (ВИ Белько) / Лекция3
.pdfНа полуинтервале [0,1[ зададим
отношение эквивалентности:
x ~ y если x y Q
Тогда полуинтервал [0,1[ разбит
на непересекающиеся множества
эквивалентных между собой точек
(классы эквивалентности).
Выберем из каждого класса по одной точке и составим из них множество
Пусть rk – занумерованное в
последовательность множество рациональных точек полуинтервала [-1,1[
Пусть M rk {x rk | x M}
Заметим, что
[0, 1[ (M rk ) [ 1, 2[
k 1
причем множества M + rk
попарно не пересекаются
В силу σ-аддитивности меры Лебега будем иметь:
1 (M rk ) 3
1
Кроме того, заметим, что
μ(M + rk)= μ(M)
Если μ(M)=0, получим
противоречие с левой частью
неравенства. Если μ(M)>0,
получим противоречие с
правой частью.
Рассмотрим множества на всей числовой прямой, включая в рассмотрение
неограниченные множества.
В этом случае измеримые множества определяются следующим образом: множество A из R измеримо, если измеримо каждое из множеств вида:
A [k, k 1[
На прямой мера Лебега σ-конечна. При этом некоторым неограниченным
множествам приписывается бесконечная мера. Например:
|
|
|
|
1 |
|
||
A k, k |
|
|
|
— измеримое |
|||
2 |
k |
||||||
k 1 |
|
1 |
|
|
|
множество |
|
|
|
|
|
|
конечной меры |
||
( A) |
|
1 |
|
|
|
||
2k |
|
|
|
|
|||
k 1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
B |
k, k |
|
|
|
|||
k 1 |
|
k |
|
— измеримое множество
бесконечной меры
Повторим еще раз процедуру
лебеговского продолжения меры на
примере «плоских» множеств (лежащих в R2).
Сначала определяем площадь
прямоугольника m(P) = ab, где a, b –
стороны P.
Площадь фигуры S ( пусть пока лежащей в X = [0,1x[0,1[ ),
представимой в виде конечной
совокупности непересекающихся
прямоугольников {Pi}, полагаем
равной |
n(S ) |
|
m(S) m Si |
|
i1 |
что обеспечивает аддитивность
исходной меры m(S).
Из аддитивности в данном случае (как
и в случае меры на числовой прямой)
следует счетная аддитивность, т.е.
справедливость последней формулы для бесконечного числа слагаемых (это теорема).
Далее для ограниченных множеств
определяется внешняя мера
* ( A) inf m(Pi )
i
где инфимум берется по
всевозможным покрытиям множества
A конечными или счетными
системами прямоугольников.
Наконец, множество A называется
измеримым по Лебегу, если по любому ε>0
можно указать такую конечную совокупность Aε непересекающихся прямоугольников, что * ( A B)
Меру Лебега (A) измеримого множества полагают равной *(A).
Упомянутая в определении внешней меры ограниченность множеств приводит к тому, что (A)<+ , но простым техническим приемом (типа разбиения множества на клетки) это ограничение обходится, и определение охватывает все множества на плоскости (включая множества бесконечной меры).
Мера Лебега-Стилтьеса
Утверждение 1. Если F – монотонно неубывающая ограниченная функция, заданная на отрезке [0,1], то отображение
mF: S → R: mF([a,b[)=F(b)-F(a)
заданное на полукольце S полуинтервалов, лежащих в [0,1[, является мерой.
Утверждение 2. Для того, чтобы мера mF была σ-аддитивной,
необходимо и достаточно, чтобы порождающая функция F была
непрерывна слева в каждой точке.
Пример. Функция F(x)=x непрерывна слева и порождает стандартную σ- аддитивную меру Лебега.