ФАН / Курс лекций (ВИ Белько) / Лекция6

Введем множества n {x fn (x) r}

Тогда по вышесказанному n

n 1

К неотрицательной функции fn(x) применим неравенство

Чебышева (лемма 2 раздела 5):

( n ) C / r

Поскольку последовательность fn(x) монотонно возрастает, имеем

1 2 ...

тогда ( ) lim ( n ) C / r

n

Ввиду того, что r произвольно,

имеем μ(Ω)=0.

Далее с помощью теоремы Лебега

докажем, что f(x) интегрируема и возможен предельный переход под знаком интеграла.

Определим функцию φ(x):

(x) k, если x Ak ,

где Ak {x k 1 f (x) k}

Тогда fn (x) f (x) (x) f (x) 1

Докажем теперь, что функция φ интегрируема, то есть сходится ряд

k ( Ak )

k 1

Для этого достаточно доказать,

что для любого m

m

k ( Ak )

k 1

m

На множестве Bm Ak : fn (x) m

k 1

Поэтому на Bm применяем теорему

Ввиду того, что m произвольно, φ(x) интегрируема на всем X и теорема

доказана. ■

Следствие. Пусть φn(x) –

последовательность

неотрицательных интегрируемых функций и пусть сходится числовой

ряд:

n (x)d

n1 X

Тогда почти всюду сходится ряд

Упражнение 2. Докажите с помощью

следствия теоремы Леви теорему 2,

определив функции φn(x) следующим

образом:

Теорема 5 (Фату). Если

последовательность

неотрицательных интегрируемых

функций fn(x) сходится почти всюду

к f(x) и существует постоянная K такая, что

fn (x) d K

X

то функция f(x) интегрируема и

f (x) d K

X

По последовательности fn(x) введем

новую последовательность

Функция φn(x) измерима, поскольку

Ac {x n (x) c} {x fk (x) c}

k n

Последовательность φn(x)

монотонно возрастает,

φn(x) → f(x) и n (x) fn (x)

Применяя к последовательности φn(x) теорему Леви, получаем утверждение теоремы Фату. ■

Замечание. В условиях теоремы Фату предельный переход под знаком интеграла, вообще говоря,

недопустим. Например,

рассмотрите последовательность

из примера 1 перед теоремой 1.

Упражнение 3. Приведите пример последовательности функций, которая сходится в среднем, но не сходится точечно.

При этом интеграл не зависит от способа разбиения множества X на

множества конечной меры.

Теоремы 3-5 справедливы и для множества X σ-конечной меры.