Определение 9. Отображение f : X ! Rm, X Rn называется равномерно непрерывным на множестве X, если для 8" > 0 9 > 0 : 8x0; x00 2 X, удовлетворяющих неравенству n(x0; x00) < , будет выполняться неравенство

m f(x0); f(x00) < ".

Теорема 12. Отображение f : X ! Rm, X Rn равномерно непрерывно на X тогда и только тогда, когда каждая из его координатных функций fi; i = 1; m равномерно непрерывна на X.

Справедливость теоремы 12 следует из неравенств

Определение 10. Множество X Rn называется линейно связным, если для любой пары точек x0; x00 2 X существует путь : J ! X, J R с носителем в X и с концами в этих точках.

Определение 11. Областью в Rn называется открытое линейно связное множество пространства Rn.

Теорема 13. Если отображение f : X ! Rm, X Rn непрерывно на компакте X Rn, то оно равномерно непрерывно на X.

Теорема 14. Если отображение f : X ! Rm, X Rn непрерывно на компакте X Rn, то оно ограничено на X.

Теорема 15. Если функция f : X ! R, X Rn непрерывна на компакте X Rn, то на X она принимает наименьшее и наибольшее значения.

Теоремы 13-15 доказываются аналогично случаю функции одной переменной. Единственное изменение в прежних доказательствах состоит в том, что следует вместо jx0 x00j и jf(x0) f(x00)j писать соответственно n(x0; x00) и

композиция непрерывных функций является непрерывной на [ ; ], причем f ( ) = A, f ( ) = B. Согласно теореме о промежуточных значениях функции одной переменной существует точка 2 ( ; ), что f ( ) = C. Положим( ) = c. Тогда c 2 X и f(c) = C.

§ 2.5. Линейные отображения.

Определение 1. Отображение f : Rn ! Rm называется линейным, если для любых двух векторов x0; x00 2 Rn и любых двух чисел ; 2 R выполняется равенство

f( x0 + x00) = f(x0) + f(x00):

Пусть fe1; : : : ; eng и f"1; : : : ; "mg фиксированные базисы пространств Rn и Rm соответственно. При отображении f образ вектора ej; j = 1; n является вектором в пространстве Rm и раскладывается по координатным векторам

"i; i = 1; m:

m

X

f(ej) = aij"i; j = 1; n:

i=1

В силу линейности отображения f можно найти разложение по фиксированному базису f"1; : : : ; "mg образ f(x) любого вектора x = x1e1 + + xnen 2 Rn. А именно

или в координатной записи f(x) = f1(x); : : : ; fm(x) , где

fm(x) = am1x1 + + amnxn:

Таким образом, отображение f : Rn ! Rm можно рассматривать как набор f = (f1; : : : ; fm) из m координатных функций fi : Rn ! R; i = 1; m. Из (5.16) заключаем, что отображение f линейно тогда и только тогда, когда каждая координатная функция fi : Rn ! R; i = 1; m линейна.