4 |
Глава 2. Отображения, их предел и непрерывность. |
2.2.3. Евклидова структура в Rn.
Определение 2. Скалярным произведением в действительном векторном пространстве X называется функция
': X X ! R, '(x; y) = (x; y), x; y 2 X и удовлетворяющая условиям:
1)(x; x) > 0; (x; x) = 0 , x = 0,
2)(x; y) = (y; x),
3)( x; y) = (x; y),
4) (x + y; z) = (x; z) + (y; z); 8x; y; z 2 X; 8 2 R:
В векторном пространстве Rn скалярное произведение векторов x = (x1; x2; : : : ; xn), y = (y1; y2; : : : ; yn) находится по формуле
(x; y) = x1y1 + : : : + xnyn:
Векторное пространство Rn с определенным в нем скалярным произведением называется Евклидовым пространством.
pp
Число (x; x) = x21 + : : : + x2n называется длинной (модулем) вектора x = (x1; x2; : : : ; xn) 2 Rn и обозначается jxj:
jxj = p |
(x; x) |
: |
(2.8) |
Из (2.6) и (2.8) имеем, что jxj = kxk: |
|
||
Из (2.7) следует, что |
|
||
(x; y) = kx yk = jx yj: |
(2.9) |
||
В дальнейшем, на Rn будем смотреть с одной стороны как на точечное метрическое пространство, а с другой стороны как на векторное евклидово пространство, где при этом имеет место (2.9).
§ 2.3. Последовательности точек пространства Rn.
Определение 1. Последовательностью точек пространства Rn называется функция f : N ! Rn, которая каждому
натуральному числу k ставит в соответствие точку x(k) = x(1k); : : : ; x(nk) 2 Rn.
Для записи последовательности применяют обозначения nx(k)o |
или x(k), k = 1; 2; : : : |
|
n |
o |
n o |
Последовательность x(ks) , образованная из членов последовательности
n o
ния, называется подпоследовательностью последовательности x(k) .
Определение 2. Точка a 2 Rn называется пределом последовательности предел
x(k) с сохранением порядка их следова-
no
x(k) точек x(k) 2 Rn, k = 1; 2; : : : если
|
|
|
lim x(k); a |
= 0; |
|
|
при этом пишут: |
|
|
k!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim x(k) = a: |
|
(3.10) |
|
|
|
|
k!1 |
|
|
|
Если имеет место (3.10), то говорят, что последовательность |
x(k) |
|
a |
|||
Определение 2 можно привести и в другой форме: |
n o сходится к точке . |
|||||
k!1 x |
|
= a , 8" > 0 9N 2 N : 8k > N ) (x |
|
; |
||
lim |
|
(k) |
= a , 8" > 0 9N 2 N : 8k > N ) x |
(k); a) < " |
|
|
k!1 x |
|
|
2 V (a; ") : |
|||
lim |
(k) |
|
(k) |
|
|
|
Также как и для числовой последовательности можно сказать, что lim x(k) = a, x(k) 2 Rn, k = 1; 2; : : : если любая " -
k!1
n o
окрестность точки a содержит все точки последовательности x(k) за исключением, быть может, конечного их числа.
Теорема 1. Последовательность x(k) = x(1k); : : : ; x(nk) 2 Rn, k = 1; 2; : : : сходится к точке a = (a1; : : : ; an) 2 Rn тогда и только тогда, когда
lim xi(k) = ai; i = |
|
|
(3.11) |
1; n: |
|||
k!1 |
|
||
2.3. Последовательности точек пространства RN .
Доказательство. Согласно (1.5) можем записать
xi(k) |
ai |
|
6 x(k) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Необходимость. Если lim x(k) = a, то
k!1
; a 6
n |
16j6n |
|
j |
|
p |
|
max |
|
x(k) |
|
|
|
|
|
5
aj ; i = 1; n (3.12)
8" > 0; 9N 2 N : 8k > N ) x(k); a < ";
а |
значит согласно (3.12) выполняются неравенства x(k) |
|
a |
|
|
< ", i = |
|
|
. Откуда следует справедливость (3.11). |
|||||||||||||||||
i |
1; n |
|||||||||||||||||||||||||
Достаточность. Если имеет место (3.11), то для |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8" > 0; 9N 2 N : 8k > N ) xi(k) ai |
< "=p |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
n; |
i = 1; n; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и, следовательно, |
|
16j6n |
|
|
j |
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
< "=p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
max |
|
x(k) |
|
|
|
|
a |
|
n: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
(k) |
|
|
что |
|
|
|
|
(k) |
= a: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
k!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Тогда в силу (3.12) x |
|
; a < ", а это и означает, |
|
lim |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Определение 3. Последовательность x(k) 2 Rn, k = 1; 2; : : : называется ограниченной, если существует шар B(0; r), такой что x(k) 2 B(0; r), k = 1; 2; : : :
n o
Теорема 2. Из любой ограниченной последовательности x(k) точек пространства Rn можно выделить сходящу-
юся подпоследовательность.
no
Доказательство. Поскольку последовательность |
x(k) |
|
ограниченна, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(k); 0 = r |
|
< r; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1(k) 2 + : : : + xn(k) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
(k) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1; n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а значит xi |
< r, i = 1; n. Следовательно числовые последовательности nxi |
o; i |
ограниченны. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
(k) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ks1 ) |
|
|
|
(ks1 ) |
|
|
|
|
n |
|
o |
|
можно выделить сходящуюся |
|||||||||||
|
Согласно |
теореме |
Больцано–Вейерштрасса из числовой последовательности |
x1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
подпоследовательность |
x |
|
o. Последовательность n |
x |
|
o, являющаяся |
подпоследовательностью последовательно- |
||||||||||||||||||||||||||
|
x |
(k) |
|
|
|
|
n |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
(ks2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
o, ограничена и из нее можно выделить сходящуюся |
подпоследовательность |
|
|
o. Последовательность |
|||||||||||||||||||||||||||
сти(kns2 ) |
2 |
|
|
x |
(ks1 ) |
o, а |
|
|
n |
2 |
|||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значит сходится. Поступая ана- |
||||||||||||||
n |
1 |
o является подпоследовательностью сходящейся последовательности n |
1 |
|
|
(ksn ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
логичным образом, |
|
|
(ksn ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
i |
(k)o |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
через n шагов мы получим n сходящихся подпоследовательностей |
|
x |
|
, i = 1; n. По теореме 1 |
|||||||||||||||||||||||
последовательность |
n |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
o |
сходится, что и требо- |
||||||||||||
валось доказать. |
|
|
|
o, являющаяся подпоследовательностью последовательности n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
(k) |
|
|
|
|
|
|
|
(k) |
|
|
|
n o |
точек пространства |
R |
|
|
|
|
(k) |
|
||||||||||
|
Будем рассматривать также неограниченные последовательности x(k) |
|
n, для которых |
||||||||||||||||||||||||||||||
8a 2 Rn. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!1 |
|
|
|
||||
klim |
x |
|
; 0 |
= +1. При этом пишут, что klim x |
= 1. Нетрудно убедиться, что в этом случае klim |
|
x |
|
; a = +1, |
||||||||||||||||||||||||
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 1. Числовую ось, на которой имеется два направления, мы дополняли двумя символами 1; +1. В пространстве Rn, n > 1 вводиться только один символ 1 бесконечно удаленная точка в пространстве Rn.
no
Определение 4. Последовательность x(k) ; k = 1; 2; : : : называется фундаментальной, если
8" > 0; 9N 2 N : 8l > N; 8m > N ) x(l); x(m) < ":
Согласно формуле (1:5) можем записать:
xi |
xi |
|
6 x |
|
; x |
|
6 |
p |
n |
16j6n |
|
j |
|
j |
|
|
|
|
(3.13) |
|
|
(l) |
(m) |
|
|
(l) |
|
(m) |
|
|
max |
|
x(l) |
|
x(m) |
|
; i = 1; n: |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
no
Из неравенства (3.13) следует, что последовательность x(k) фундаментальна тогда и только тогда, когда фундамен-
no
тальны последовательности x(ik) , i = 1; n. Тогда из теоремы 1 и критерия Коши для числовых последовательностей
n o
заключаем, что для существования предела последовательности x(k) необходимо и достаточно, чтобы эта последовательность была фундаментальной. Таким образом критерий Коши справедлив и в Rn.