Математика для инженеров(практика) I часть
.pdf
|
|
|
|
|
C = A + (-1)B . |
|
|
|
|
|
(3) |
||||||
Произведением двух матриц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
æ a |
a |
... |
|
a |
ö |
|
æ b11 |
b12 |
... |
b1p ö |
||||||
A = |
ç a11 |
a12 ... |
|
a1n |
÷ |
|
çb |
|
b |
... |
b |
÷ |
|||||
|
21 |
22 |
|
|
|
2n |
÷ |
, B = ç |
21 |
|
22 |
|
2 p ÷ |
||||
|
ç ... |
... ... ... |
|
|
... |
|
... ... ... |
|
|||||||||
|
ç a |
a |
... |
|
a |
|
÷ |
|
çb |
|
a |
... |
b |
÷ |
|||
|
è |
m1 |
m2 |
|
|
|
mn ø |
|
è |
n1 |
|
n2 |
|
np ø |
|||
называется матрица |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
æ c11 |
|
c12 |
... |
c1p ö |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
ç c |
|
c |
|
... |
c |
|
÷ |
, |
|
|
|
||
|
|
|
C = ç |
|
21 |
|
22 |
|
|
2 p ÷ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
... |
|
... ... ... |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
çc |
m1 |
c |
|
... |
c |
|
÷ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
è |
|
|
m2 |
|
mp ø |
|
|
|
|
||||
у которой каждый элемент cij , стоящий на пересечении i-ой строки и j-го
столбца, равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы B:
n |
|
cij = åaik bkj , i = 1, m, j = 1, p . |
(4) |
k =1
Таким образом, C = AB . Операция нахождения произведения данных матриц называется умножением матриц.
Отметим, что операция умножения двух матриц выполнима тогда и только тогда, когда число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором.
Основные свойства матричных операций:
1)A + B = B + A ;
2)(A + B) + C = A + (B + C) ;
3)α(A + B) = α A +α B ;
4)(α + β )A = α A + β A ;
5)(αβ )A = α(β A) = β (α A) ;
6)(AB)C = A(BC) ;
7)(A + B)C = AC + BC ;
8)A(B + C) = AB + AC ;
где A, B – матрицы одинаковых размеров, а α, β – числа из .
Пример 1. Показать, что для матриц |
|
|
|
|
||||||||||
æ 2 |
-1 -2ö |
, |
æ3 |
-2 1 ö |
æ 4 6 |
0ö |
||||||||
A = ç |
3 |
0 |
3 |
÷ |
B = ç |
0 |
2 |
-1÷ |
и C = ç |
2 |
-1 3 |
÷ |
||
ç |
5 |
1 |
-1 |
÷ |
|
ç |
3 |
0 |
÷ |
ç |
1 |
0 |
0 |
÷ |
è |
ø |
|
è |
2 ø |
è |
ø |
||||||||
выполняется свойство 2). Решение. Вычислим
21
|
|
æ 2 -1 -2ö |
|
ææ3 -2 1 ö æ 4 6 0ö |
ö |
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
A + (B + C) = ç |
3 0 |
3 |
÷ |
+ çç |
0 2 -1÷ |
+ ç |
2 -1 3 |
÷ |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
ç |
5 1 |
-1 |
÷ |
|
çç |
3 0 2 |
÷ |
|
ç |
1 0 0 |
÷ |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
è |
ø |
|
èè |
ø è |
ø |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
æ 2 -1 -2ö æ7 4 1ö æ9 3 -1ö |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
= ç |
3 0 |
3 |
÷ + ç |
2 1 2 |
÷ |
= |
ç |
5 1 5 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ç |
5 1 -1 |
÷ |
ç |
4 0 2 |
÷ |
|
|
ç |
9 1 1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
è |
ø è |
ø è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
æ |
æ 2 -1 -2ö æ3 -2 1 ö |
ö |
|
æ 4 6 0ö |
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
(A + B) + C = ç |
ç |
3 0 |
3 |
÷ |
+ |
ç |
0 2 |
|
-1÷ |
÷ + |
ç |
2 |
|
-1 3 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
ç |
ç |
5 1 |
-1 |
÷ |
|
|
ç |
3 0 2 |
÷ |
÷ |
|
ç |
1 0 0 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
è |
è |
ø è |
ø |
ø |
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
æ5 -3 -1ö æ 4 6 0ö æ9 3 -1ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= ç |
3 2 2 |
÷ |
+ ç |
2 |
-1 3 |
÷ |
= ç |
5 1 5 |
÷. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ç |
8 1 1 |
÷ |
|
|
ç |
1 0 0 |
÷ |
|
ç |
9 1 1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
è |
ø è |
ø è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Сравнивая полученные в результате матрицы, заключаем, что |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(A + B) + C = A + (B + C) . □ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Пример 2. Показать, что для матрицы A = |
æ 3 |
|
|
|
6 |
0ö |
и чисел |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
ç |
1 |
|
|
|
5 |
2 |
÷ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
-1 -4 |
1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
α = 2, β = −3 выполняется свойство 5). |
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Решение. Вычислим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
æ 3 6 0ö |
|
|
|
|
æ 3 6 0ö æ -18 |
|
-36 0 |
ö |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
(αβ )A = (2 ×(-3)) ×ç |
1 |
5 |
|
|
2 |
÷ |
|
= -6×ç |
|
1 |
|
|
5 |
|
|
2 |
÷ = ç |
-6 |
|
-30 |
-12 |
÷, |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ç |
-1 |
-4 1 |
÷ |
|
|
|
|
ç |
-1 |
|
-4 1 |
÷ |
ç |
6 |
|
|
24 -6 |
÷ |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
è |
|
ø è |
|
|
ø |
|
|
|||||||||||||||||||||||
α (β A) = |
æ |
|
|
|
æ 3 6 0ö |
ö |
= 2 × |
æ |
-9 -18 0 ö æ -18 -36 0 |
ö |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
2 ×ç(-3) ×ç |
1 |
5 2 |
÷ |
÷ |
ç |
-3 |
|
-15 |
|
|
-6 |
÷ = ç |
-6 |
-30 |
-12 |
÷ |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
ç |
|
|
|
ç |
-1 |
-4 1 |
÷ |
÷ |
|
|
ç |
|
3 12 |
|
|
|
|
|
÷ |
ç |
6 |
24 -6 |
÷ |
|
||||||||||||||||
|
|
è |
|
|
|
è |
ø |
ø |
|
|
è |
|
|
|
-3ø è |
ø |
|
|||||||||||||||||||||||||
β |
|
æ |
|
æ 3 6 0öö |
= -3 |
æ 6 12 0ö æ |
-18 -36 0 |
ö |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
(α A) = -3×ç |
2×ç |
|
1 |
5 2 |
÷÷ |
×ç |
2 10 4 |
÷ |
= ç |
-6 |
|
-30 |
|
-12 |
÷. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
ç |
|
ç |
-1 |
-4 1 |
÷÷ |
|
|
ç |
-2 |
|
|
-8 2 |
÷ |
ç |
6 |
|
24 -6 |
|
÷ |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
è |
|
è |
øø |
|
|
è |
|
|
ø è |
|
|
ø |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Получили, что (αβ )A = α(β A) = β (α A) . □ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Пример 3. Показать, что для матриц A = (52 |
|
64), B = (01 |
|
--21) и числа |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
α = 3 выполняется свойство 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Решение. Вычислим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( |
6 12) |
+ (3 -3) |
= (9 9 ), |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
α A +α B = 3×( |
2 4)+ 3×(1 -1) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 6 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
-2 |
|
|
15 |
|
|
18 |
|
|
|
|
0 |
-6 |
|
15 |
12 |
|
|
|
|
|||||||
22
|
|
|
è |
(5 6) |
|
(0 -2)ø |
|
|
( |
5 4) (15 12) |
|
|
|||||||||
α(A + B) = |
æ |
2 4 |
+ |
|
1 |
|
-1 ö |
= 3 |
× |
|
3 3 |
= |
9 9 |
|
. |
|
|||||
3×ç |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Значит, α(A + B) = α A +αB . □ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 4. Показать, что для матриц A = (53 |
|
14), B = (-01 |
10) |
и |
|
||||||||||||||||
C = (-21 03) выполняется свойство 6). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Решение. Вычислим |
|
|
|
|
|
|
(5 1)( |
-1 0 ) |
|
(-11 -15) |
|
||||||||||
|
(5 1)è |
( 0 1)(-1 0)ø |
|
|
|
||||||||||||||||
A(BC) = |
|
3 4 æ |
-1 0 2 3 |
ö |
= |
3 4 |
|
-2 |
-3 |
= |
|
-10 |
|
-9 |
, |
||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
(-5 1)(-1 0) |
( |
-11 -15) |
|||||||||||
|
è |
(5 1)( 0 1)ø( |
-1 0) |
|
|
|
|||||||||||||||
(AB)C = |
æ |
3 4 |
-1 0 ö |
2 3 |
= |
-3 4 2 3 |
= |
|
-10 |
|
-9 |
. |
|||||||||
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таким образом, получили, что (AB)C = A(BC) . □ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Введем операцию транспонирования матрицы. Пусть задана матрица A |
|
||||||||||||||||||||
вида (1) размеров m× n . После замены строк одноименными столбцами |
|
||||||||||||||||||||
получим матрицу AT |
размеров n × m , которая называется |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
транспонированной к заданной: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
æ a |
|
|
a |
|
... |
a |
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AT = ç a1211 |
|
a2221 |
... amm12 |
÷ . |
|
|
|
|
|
|
(5) |
||||||
|
|
|
|
ç ... ... |
... ... |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
ç a |
|
|
a |
|
... |
a |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
1n |
|
2n |
|
mn |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Операция нахождения матрицы AT называется транспонированием матрицы, и для нее имеют место следующие свойства:
1)(AT )T = A ;
2)(α A)T = α AT ;
3)(A + B)T = AT + BT ;
4)(AB)T = BT AT .
Если квадратная матрица A = (aij )1n совпадает со своей транспонированной, т.е.
AT = A , то такая матрица называется симметрической.
Матрицу B , для которой BT = -B , называют кососимметрической. Легко видеть, что в кососимметрической матрице все элементы главной диагонали нули.
Отметим также, что в математической литературе транспонированная матрица AT часто обозначается A′ .
23
|
|
æ |
|
3 |
|
0 |
1 |
ö |
|
|
|
Пример 5. Для матрицы A = ç |
-2 |
|
6 |
5 |
÷ найти (3A)T . |
||||||
|
|
ç |
|
3 |
|
4 |
-5 |
÷ |
|
|
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
||||
Решение. По формулам (2), (5): |
|
|
|
|
|
|
|
||||
æ 9 |
0 |
3 |
|
ö |
|
( |
|
) |
æ9 -6 9 |
ö |
|
ç |
|
15 |
|
÷ |
, |
|
ç |
|
÷ |
||
3A = ç -6 18 |
|
÷ |
|
3A T = |
ç0 18 12 |
÷ . □ |
|||||
è 9 |
12 |
-15 |
ø |
|
|
|
|
è3 15 |
-15 |
ø |
|
Для квадратных матриц A и B имеет место формула |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
det(AB) = (det A) ×(det B) . |
(6) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ 2 1 -1ö |
æ 1 0 2 ö |
||||||||
Пример 6. Для матриц A = ç |
3 |
-1 3 |
÷ и B = ç |
3 4 |
0 ÷ |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
4 0 5 |
÷ |
ç |
-1 2 |
÷ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
è |
-1ø |
||||||
проверить выполнение формулы (6). |
|
|
|
|
||||||||||||||||
Решение. Вычислим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
det A = |
|
|
2 |
1 |
-1 |
|
= -10 +12 - 0 - 4 -15 |
- 0 = -17, |
|
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
3 |
-1 |
3 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
4 |
0 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
det B = |
|
|
1 |
0 |
2 |
|
= -4 +12 + 8 =16 . |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
3 |
4 |
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
-1 |
2 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
По формуле (4) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
æ 2 1 -1öæ 1 0 2 ö æ |
6 |
2 5ö |
|
|
||||||||||||||||
AB = ç |
3 |
-1 3 |
֍ |
3 4 0 ÷ |
= ç |
-3 |
2 3 |
÷ . |
|
|
||||||||||
ç |
4 0 5 |
֍ |
|
|
|
|
÷ |
ç |
-1 10 3 |
÷ |
|
|
||||||||
è |
øè |
-1 2 -1ø è |
ø |
|
|
|||||||||||||||
Тогда det AB = |
|
6 |
|
|
2 |
5 |
|
= 36 |
- 6 |
-150 |
+10 +18 -180 = -272 . |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
-3 |
|
2 |
3 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
10 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, получили det(AB) = -272 = det A×det B . □
20. Понятие обратной матрицы. Будем говорить, что матрица A –
невырожденная, если det A ¹ 0 , и вырожденная – в противном случае
( det A = 0 ).
Присоединенной матрицей для A = (aij )1n называется матрица
|
|
|
æ A11 |
A21 |
... |
An1 |
ö |
|
|
B = (A |
) |
n |
ç |
A |
A |
... |
A |
÷ |
, |
|
= ç |
12 |
22 |
|
n 2 |
÷ |
|||
|
ji 1 |
ç |
... ... ... ... |
÷ |
|
||||
|
|
|
A |
A |
... |
A |
|
||
|
|
|
è |
1n |
2n |
|
n n |
ø |
|
24
где Aij (i, j = |
1, n |
) – алгебраическое дополнение элемента aij |
матрицы A . |
||||
Отметим, что алгебраические дополнения элементов i -ой строки (i = |
|
) |
|||||
1, n |
|||||||
матрицы A находятся в i -ом столбце матрицы B . |
|
|
|
||||
Для рассматриваемых матриц A и B имеет место равенство |
|
|
|
||||
|
|
AB = BA = E ×det A , |
(7) |
||||
где E – единичная матрица порядка n . |
|
|
|
|
|||
Если для матрицы A существует такая матрица D, что |
|
|
|
||||
|
|
AD = DA = E , |
(8) |
||||
где E – единичная матрица, то матрица D называется обратной для матрицы A. |
|||||||
Обратную матрицу для матрицы A обозначают A−1 и тогда равенство (8) |
|||||||
принимает вид |
|
|
|
|
|
||
|
|
AA−1 = A−1A = E . |
(9) |
||||
Из (9) непосредственно вытекает, что для существования обратной матрицы |
|||||||
необходимо, чтобы исходная матрица была квадратной. Отметим, что обе |
|||||||
матрицы A и A−1 имеют одинаковый порядок. |
|
|
|
||||
Матрица A имеет обратную матрицу A−1 тогда и только тогда, когда |
|||||||
матрица А невырождена и |
|
|
|
|
|
||
|
|
A−1 = |
1 |
× B , |
(10) |
||
|
|
| A | |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
где B – матрица, присоединенная к A .
Отметим, что формула (10) дает способ нахождения обратной матрицы. Действительно, учитывая определение присоединенной матрицы B , формулу (10) можно записать в виде
|
|
æ |
A |
A |
... |
A |
ö |
|
|
|
ç |
11 |
21 |
|
n1 |
÷ |
|
A−1 = |
1 |
ç A12 |
A22 |
... |
An2 |
÷ . |
(11) |
|
|
|
... |
... |
|||||
|
| A | ç ... ... |
÷ |
|
|||||
|
|
ç |
A1n |
A2n |
... |
|
÷ |
|
|
|
è |
Ann ø |
|
||||
Невырожденная матрица A имеет единственную обратную матрицу A−1 , для которой справедливы следующие свойства:
1) det A−1 = |
1 |
|
; |
2) (A−1)−1 = A ; |
|
3) (AB)−1 |
= B−1 × A−1 ; |
|||||||||||
|
det A |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
T |
−1 |
|
|
|
−1 T |
5) (α A) |
−1 |
1 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|||
4) (A ) |
|
= |
(A |
|
) ; |
|
= |
|
A |
|
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ -2 |
-1 |
0 |
ö |
|
Пример 7. Найти A−1 для матрицы A = ç |
3 |
2 |
-2 |
÷ . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
4 |
1 |
3 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|||
25
Решение. Найдем матрицу B , присоединенную к A . Для этого вычислим алгебраические дополнения всех элементов матрицы A :
A = (-1)1+1 |
× |
|
2 |
-2 |
|
= 8, A |
|
= (-1)1+2 × |
|
|
3 |
|
|
-2 |
|
|
= -17, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11 |
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A = (-1)1+3 |
× |
|
|
3 2 |
|
|
|
|
= -5, A = (-1)2+1 × |
|
-1 0 |
|
|
|
= 3, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13 |
|
|
|
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
A = (-1)2+2 × |
|
-2 0 |
|
= -6, A = (-1)2+3 × |
|
-2 -1 |
|
= -2, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
22 |
|
|
|
|
4 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
A = (-1)3+1 × |
|
|
-1 0 |
|
|
|
= 2, A = (-1)3+2 × |
|
|
-2 0 |
|
= -4, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
-2 |
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
-2 |
|
|
|
|
|||||
A = (-1)1+1 × |
|
|
|
-2 -1 |
|
|
= -1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ A |
A |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
= |
|
|
æ |
|
8 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 ö |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
B = ç A11 |
A21 |
|
A31 |
÷ |
|
|
ç -17 |
|
|
|
-6 |
|
-4 |
÷ . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç A12 |
A22 |
|
A32 |
÷ |
|
|
|
ç |
-5 |
|
|
|
-2 |
|
-1 |
÷ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
23 |
|
33 ø |
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|||||||||||||
Вычислим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
-1 |
|
|
0 |
|
= -12 + 8 + 9 - 4 =1. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Тогда по формуле (11) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
A−1 = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
æ |
|
8 |
3 |
|
|
|
|
2 ö |
æ |
8 |
|
|
|
|
3 |
2 ö |
|||||||||||||||||||||
|
|
× B = |
×ç |
-17 |
-6 |
-4 |
|
÷ |
= ç |
-17 |
-6 -4 |
÷ . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
ç |
-5 |
-2 -1 |
÷ |
ç |
-5 -2 -1 |
÷ |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø è |
ø |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Полученный результат проверим используя формулу (9): |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
−1 |
= |
æ -2 -1 0 öæ |
8 |
|
3 2 ö æ1 0 0ö |
. □ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
AA |
|
ç |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
-2 |
֍ |
-17 |
-6 |
|
|
-4 |
÷ = |
|
|
|
ç |
0 1 0 |
÷ |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ç |
4 1 3 |
|
|
֍ |
-5 -2 -1 |
÷ |
|
|
|
ç |
0 0 1 |
÷ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
øè |
ø è |
ø |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 8. Найти A−1 |
для матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
4 |
|
|
|
5 |
|
|
|
0ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = ç |
-2 |
|
3 |
|
|
|
4 |
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
6 |
|
|
13 |
|
4 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение. Для данной матрицы A−1 |
не существует, т.к. det A = 0 . □ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
26
æ1 |
-2 |
1ö |
æ |
2 1 |
0ö |
|||
Пример 9. Для матриц A = ç |
1 |
0 |
4 |
÷ |
, B = ç |
-1 2 |
0 |
÷ |
ç |
0 |
-2 |
1 |
÷ |
ç |
-3 0 |
2 |
÷ |
è |
ø |
è |
ø |
|||||
проиллюстрировать выполнение свойства 3).
Решение. Вычислим A = 8; B =10 . Используя формулы (11) и (4) будем иметь:
A−1 |
æ1 |
-2 |
1ö−1 |
|
|
1 |
|
æ |
8 0 |
-8ö |
|
|
1 |
æ |
8 0 -8ö |
|
||||||||||||||
= ç |
1 |
0 4 |
÷ |
= |
|
|
|
|
|
|
ç |
-1 1 |
-3 |
÷ |
= |
ç |
-1 1 |
-3÷ |
, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
ç |
0 |
-2 |
1 |
÷ |
|
|
A |
|
|
ç |
-2 2 2 |
÷ |
8 |
ç |
-2 2 2 |
÷ |
|
||||||||||||
|
è |
ø |
|
|
|
|
è |
ø |
è |
ø |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
B−1 |
æ |
2 1 |
0ö−1 |
|
|
1 |
|
æ 4 |
-2 |
0ö |
|
1 |
|
æ4 |
-2 |
0ö |
|
|
||||||||||||
= ç |
-1 2 |
0 |
÷ |
= |
|
|
|
|
ç |
2 |
4 0 |
÷ |
= |
|
ç |
2 |
4 |
0 |
÷ |
, |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
ç |
-3 0 |
2 |
÷ |
|
|
B |
|
|
ç |
6 |
-3 |
5 |
÷ |
|
10 |
|
ç |
6 |
-3 |
5 |
÷ |
|
|
||||||
|
è |
ø |
|
|
|
è |
ø |
|
|
è |
ø |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
B−1A−1 = |
1 |
æ 4 |
-2 |
0ö |
|
1 |
æ |
8 0 |
-8ö |
|
1 |
æ34 -2 -26ö |
|
|||||||
ç |
2 |
4 |
0 |
÷ |
× |
ç |
-1 1 |
-3 |
÷ |
= |
ç |
12 4 |
-28 |
÷ |
, |
|||||
|
|
|
||||||||||||||||||
10 |
ç |
6 |
-3 |
5 |
÷ |
|
8 |
ç |
-2 2 |
2 |
÷ |
|
80 |
ç |
41 7 |
-29 |
÷ |
|
||
è |
ø |
|
è |
ø |
|
è |
ø |
|
||||||||||||
æ1 |
-2 |
1öæ |
2 1 0ö |
|
æ |
1 -3 |
2ö |
|
AB |
|
|||||||||||
AB = ç |
1 |
0 4 |
֍ |
-1 |
2 0 |
÷ |
= ç |
-10 1 8 |
÷ , |
|
= 80 , |
||||||||||
ç |
0 |
-2 |
1 |
֍ |
-3 |
0 2 |
÷ |
|
ç |
-1 |
-4 |
2 |
÷ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
è |
øè |
ø |
|
è |
ø |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
æ |
1 -3 |
2ö−1 |
|
1 |
æ34 -2 -26ö |
|
|
|
|||||||||||
( AB)−1 = ç |
-10 1 |
|
8 |
÷ |
= |
ç |
12 4 |
|
-28 |
÷ . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
ç |
-1 -4 |
|
÷ |
|
80 |
ç |
41 7 |
|
-29 |
÷ |
|
|
|
||||||
|
|
è |
2ø |
|
è |
|
ø |
|
|
|
|||||||||||
Таким образом, получили (AB)−1 = B−1 × A−1 . □
30. Элементарные преобразования матрицы и применение их для построения обратной матрицы. К элементарным преобразованиям
матрицы относятся:
1)умножение столбца (строки) матрицы на число, не равное нулю;
2)прибавление к одному столбцу (строке) матрицы другого столбца
(строки), умноженного на произвольное число, не равное нулю; 3) перестановка местами двух столбцов (строк) матрицы.
Если матрица B получена из матрицы А с помощью элементарных преобразований, то будем говорить «матрица А эквивалента матрице В» и писать A ~ B .
Очевидно, что если A ~ B и B ~ C , то A ~ C .
Любую невырожденную матрицу можно преобразовать в единичную с помощью элементарных преобразований только столбцов (или только строк).
Для построения обратной матрицы A−1 удобно записывать матрицы А и Е через черту одна под другой, если преобразуются столбцы, или рядом, если
27
преобразуются строки. Матрица, полученная на месте единичной после того, как матрица А преобразуется в единичную, и будет матрицей A−1 . Такой метод нахождения матрицы A−1 называется методом Гаусса.
Пример 10. Найти A−1 |
æ 3 |
-1 |
2 |
ö |
|
для матрицы A = ç |
2 |
1 |
2 |
÷ . |
|
|
ç |
0 |
2 |
1 |
÷ |
|
è |
ø |
|||
Решение. Используем элементарные преобразования строк. Имеем
æ |
3 |
-1 |
2 |
|
1 |
0 |
0 |
ö |
æ |
1 |
-2 0 |
|
1 |
-1 |
0 |
ö |
|
|
|
||||||||||||||||
(A | E) ç |
2 |
1 |
2 |
|
0 |
1 |
0 |
÷ |
ç |
2 |
1 |
2 |
|
0 |
1 |
0 |
÷ |
ç |
0 |
2 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
÷ |
ç |
0 |
2 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
÷ |
è |
|
ø |
è |
|
ø |
||||||||||||
æ |
1 |
-2 0 |
|
1 |
-1 |
0 |
ö |
æ |
1 |
-2 |
0 |
|
1 |
-1 0 |
ö |
||
|
|
||||||||||||||||
ç |
0 |
5 |
2 |
|
-2 |
3 |
0 |
÷ |
ç |
0 |
1 |
0 |
|
-2 3 |
-2 |
÷ |
|
ç |
0 |
2 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
÷ |
ç |
0 |
2 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
÷ |
è |
|
ø |
è |
|
ø |
||||||||||||
æ |
1 -2 |
0 |
|
1 -1 0 |
ö æ |
1 |
0 0 |
|
-3 5 -4 |
ö |
= (E | A−1 ). |
||||||||
|
|
||||||||||||||||||
ç |
0 1 |
0 |
|
-2 3 |
-2 |
÷ |
ç |
0 |
1 0 |
|
-2 3 |
|
-2 |
÷ |
|||||
ç |
0 0 |
1 |
|
4 -6 5 |
÷ |
ç |
0 |
0 1 |
|
4 |
|
-6 5 |
÷ |
|
|||||
è |
|
ø è |
|
|
ø |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
-3 5 |
-4ö |
. Легко убедиться, |
|||||||
Получили обратную матрицу A−1 = ç |
-2 |
3 |
|
-2 |
÷ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
4 |
-6 |
5 |
÷ |
|
|
|
|||
AA−1 = A−1A = E . □ |
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 11. Найти A−1 |
для матрицы A = |
æ7 |
2 |
|
3 ö |
|
|
||||||||||||
ç |
3 |
0 |
|
2 ÷ . |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
1 |
1 |
|
÷ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
-1ø |
|
|
|||||
Решение. Используя элементарные преобразования строк, будем иметь
æ |
7 |
2 |
3 |
|
1 |
0 |
0 |
ö |
æ |
1 |
2 |
-1 |
|
1 |
-2 |
0 |
ö |
|
|
||||||||||||||||
(A | E) ç |
3 |
0 |
2 |
|
0 |
1 |
0 |
÷ |
ç |
2 |
1 |
2 |
|
0 |
1 |
0 |
÷ |
ç |
1 |
1 |
-1 |
|
0 |
0 |
1 |
÷ |
ç |
0 |
2 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
÷ |
è |
|
ø |
è |
|
ø |
æ |
1 |
2 -1 |
|
1 -2 |
0 |
ö æ |
1 |
2 -1 |
|
1 -2 0 |
ö |
||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
ç |
0 |
-6 5 |
|
-3 7 |
|
0 |
÷ |
ç |
0 |
1 0 |
|
1 |
-2 |
-1÷ |
|||||||||||||
ç |
0 |
1 0 |
|
1 -2 |
|
÷ |
|
ç |
0 |
|
-6 5 |
|
|
-3 7 0 |
÷ |
||||||||||||
è |
|
-1ø è |
|
|
|
ø |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
-3 - |
6 |
ö |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
æ |
1 |
2 |
-1 |
|
1 |
-2 |
0 |
ö ç |
1 |
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|||||||
|
|
5 |
|
5 |
|
|
|||||||||||||||||||||
ç |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
-2 |
-1 |
÷ |
ç |
0 |
|
1 |
0 |
|
1 |
|
-2 -1 |
÷ |
|
|
|||||||
ç |
0 |
0 |
5 |
|
3 |
-5 |
-6 |
÷ |
ç |
0 |
|
0 |
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
6 |
÷ |
|
|
|||
è |
|
ø |
ç |
|
|
|
-1 |
- |
÷ |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
5 |
÷ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|||
28
|
æ |
|
|
|
- |
2 |
1 |
4 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
ç |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
5 |
5 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ç |
0 1 0 |
1 |
|
-2 -1 |
÷ = (E | A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
ç |
0 |
0 |
1 |
3 |
|
-1 |
- |
6 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ç |
|
|
|
5 |
|
5 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
2 |
|
4 ö |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç - |
|
|
1 |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
|
|||||||
Получили обратную матрицу A−1 = ç |
|
-2 |
|
÷ . |
||||||||||||||||||||||
1 |
|
-1 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
3 |
|
-1 |
- |
6 |
÷ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
5 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
||||
Легко проверить, AA−1 = A−1A = E . □ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Задания для самостоятельной работы |
|||||||||||||||||||
1. Найти сумму A + B , разность A − B , произведения AB, BA матриц |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
æ |
1 |
|
|
|
|
0 2ö |
|
|
|
æ 2 0 |
1ö |
; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
1) A = ç -1 1 1 |
÷, B = ç |
0 1 0 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
ç |
2 |
|
|
|
|
-1 0 |
÷ |
|
|
|
ç |
-1 2 2 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
æ |
-1 4 0 -2ö |
|
æ |
-2 -1 -3 1 ö |
|
||||||||
|
|
ç |
1 0 1 0 |
÷ |
|
ç |
-2 1 0 2 |
÷ |
|
||||||
2) A = |
ç |
÷, B = |
ç |
÷ |
; |
||||||||||
|
|
ç |
-2 1 3 3 |
÷ |
|
ç |
1 -2 2 -3 |
÷ |
|
||||||
|
|
ç |
-1 2 0 -2 |
÷ |
|
ç |
1 4 2 1 |
÷ |
|
||||||
|
|
è |
ø |
|
è |
ø |
|
||||||||
|
|
æ |
1 0 0ö |
|
|
æ -2 -2 1ö |
|
|
|||||||
3) A = |
ç |
1 1 1 |
÷ |
|
|
ç |
0 |
1 0 |
÷ |
|
|
||||
ç |
÷ |
, B = ç |
÷ . |
|
|
||||||||||
|
|
ç |
2 1 |
0 |
÷ |
|
|
ç |
3 |
2 |
1 |
÷ |
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
è |
ø |
|
|
||||||
2. Найти A3 , если |
A = |
æ -1 |
2 |
|
0 ö |
|
|
|
|||||||
ç |
0 |
2 |
|
-1÷ . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ç |
1 |
-1 |
|
1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
|||
3. Найти значение матричного многочлена A3 + 2B2 + 3E при |
|||||||||||||||
æ1 0 1ö |
, B |
æ -1 |
2 0 ö |
, если E – единичная матрица |
|||||||||||
A = ç |
2 |
|
0 1÷ |
= ç |
0 |
2 |
-1÷ |
||||||||
ç |
|
|
÷ |
|
|
ç |
1 |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
è |
0 1 1ø |
|
|
è |
-1 1 ø |
|
|
|
|
||||||
третьего порядка.
29
4. |
Найти An , если |
æ -x |
x ö |
|
|
|||
A = ç |
|
|
÷ . |
|
|
|||
|
|
|
è y |
-y ø |
|
|
||
5. |
Найти произведение AB матриц, если |
|||||||
|
1) A = (-21 |
-31 |
04 -02), BT = (52 10 |
|||||
|
0 |
1 |
2 -1 |
|
T |
= |
( |
-12 |
|
2) A = (-2 |
3 |
-10 3 ), B |
|
0 |
|||
-31 -32);
0 |
1 |
2 |
1 |
-3 |
-3); |
|
|
æ 4 |
1 |
4 |
0 ö |
|
|
æ 1 |
-5 |
|
4ö |
|
|
|||||
3) A = |
|
|
ç |
-1 |
0 |
|
1 |
÷ |
|
|
||||||||
ç |
-1 |
-2 0 -2 |
÷ |
|
|
|
; |
|
||||||||||
, B = ç |
0 |
3 |
0 |
÷ |
|
|||||||||||||
|
|
ç |
1 |
-2 4 9 |
÷ |
|
|
ç |
÷ |
|
|
|||||||
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
è |
-2 |
3 |
|
1 |
ø |
|
|
|
|
|
æ -4 |
1 |
0 |
0 ö |
|
|
æ 0 |
-5 |
|
4 ö |
|
||||||
4) A = |
|
|
ç |
-1 |
0 |
|
-2 |
÷ |
|
|||||||||
ç |
1 -2 0 -2 |
÷ |
|
|
|
|
||||||||||||
, B = ç |
2 3 |
0 |
÷ ; |
|
||||||||||||||
|
|
ç |
1 |
-1 4 7 |
÷ |
|
|
ç |
÷ |
|
||||||||
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
è |
0 |
3 |
|
1 |
ø |
|
||
|
|
æ 0 2 -1 3 ö |
|
|
æ 2 -1 0 2ö |
|||||||||||||
5) A = |
ç |
1 4 |
-2 6 |
÷ |
, B = |
ç |
0 1 |
-3 1 |
÷ |
|||||||||
ç |
-1 0 0 2 |
÷ |
ç |
-2 0 0 1 |
÷ . |
|||||||||||||
|
|
ç |
÷ |
|
|
ç |
÷ |
|||||||||||
|
|
è |
1 |
-2 0 |
-2 |
ø |
|
|
è |
2 1 0 0 |
ø |
|||||||
6. Найти произведения AB, BA матриц |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
æ0 1 0 1 |
ö |
|
æ -1 -1 0 1ö |
|
|
|
||||||||||||
ç |
1 0 1 0 |
÷ |
|
ç |
0 |
1 |
|
|
0 1 |
÷ |
|
|
|
|||||
A = ç |
÷, B = |
ç |
|
|
÷ . |
|
|
|
||||||||||
ç |
0 1 0 1 |
÷ |
|
ç |
-1 0 -1 1 |
÷ |
|
|
|
|||||||||
ç |
1 0 1 0 |
÷ |
|
ç |
1 1 0 0 |
÷ |
|
|
|
|||||||||
è |
ø |
|
è |
ø |
|
|
|
|||||||||||
7. Найти A + A−1 , если A = |
æ |
1 |
|
2 |
|
3 ö |
|
|
|
|
|
|||||||
ç |
-2 |
|
3 |
|
2 ÷ . |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
0 |
-1 |
÷ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
-1ø |
|
|
|
|
|
||||
8. Найти A−1 и проверить, что AA−1 = A−1A = E , если |
|
|
|||||||||||||||
æ |
-2 3 0ö |
; 2) |
æ 4 -2 1ö |
; |
|
æ -4 |
|||||||||||
1) A = ç |
-1 0 2 |
÷ |
A = ç |
1 |
-2 0 |
÷ |
|
3) A = ç |
1 |
||||||||
ç |
2 -1 0 |
÷ |
|
ç |
-1 5 2 |
÷ |
|
|
ç |
0 |
|||||||
è |
ø |
|
è |
ø |
|
|
è |
||||||||||
æ |
6 |
-8 2ö |
|
|
æ 2 |
0 |
2 |
|
1ö |
|
æ 2 |
||||||
ç |
1 |
4 0 |
÷ |
|
|
ç |
0 |
|
-1 |
0 |
|
1 |
÷ |
; 6) A = |
ç |
6 |
|
4) A = ç |
÷ |
; 5) A = ç |
2 |
|
1 |
0 |
|
2 |
÷ |
ç |
|||||||
ç |
6 |
-4 2 |
÷ |
|
|
ç |
|
|
÷ |
|
ç |
5 |
|||||
è |
ø |
|
|
è |
1 |
1 |
-2 2 |
ø |
|
è |
|||||||
2 |
1ö |
; |
|
|
-2 |
3 |
÷ |
|
|
-1 |
2 |
÷ |
|
|
ø |
|
|
||
5 |
7 |
ö |
|
|
3 |
4 |
÷ |
; |
|
÷ |
||||
-2 |
-3 |
÷ |
|
|
ø |
|
|||
30