26. Cтепенные ряды в комплексной области. Теорема Абеля, радиус сходимости

(1), где и а - действительные числа, наз-ся степенным рядом с центром х=а. Заменой=х-а такой ряд приводится к виду (вместо  пишем х):

(2) поэтому можно ограничится изучением ряда (2). Ряд (2) всегда сходится к точке х=0: S(0)=C.

Т-ма Абеля

Если ряд (2) сходится в точке , то он абсолютно сходится прих<, т.е. на ]-,[; если он расходится в точке 0, то расходится при х<, т.е. на ]-,-[ и ],+[.

Если сходится , тои сходящаяся последовательность{} ограничена:(n)[ M](n)[|Cn|  M/|n|. Если |x|<||, то= =Cn|x|n M/|n||x|n= M(|x|/||)n= =Mqn, где q=|x|/||<1. Из сходимости геометрического рядапо признаку сравнения следует сход-тьт.е. абсолютная сход-ть ряда (2) при рассматриваемомх<. Eсли ряд (2) расходится в точке 0, то при х> он не может сходится, т.к. по доказанному он бы сходился в точке  при х> ряд (2) расходится .

Т-ма о радиусе сходимости

Для каждого ряда (2)сущ-ет неотрицательное число RŔ такое, что на ]-R,R[ ряд абсолютно сходится, а вне отрезка [-R,R] (т.е. на ]-,-R[ u ]R,+[) расходится.

Если (2) ходится в единственной точке х=0, то полагают R=0 (в точке х= 0 ряд (2) сходится абсолютно). Пусть сущ-ют χ 0, в которых ряд сходится, назовем их точками сход-ти. Мн-во модулей точек сход-ти обозначим Х={ χ }, и пусть R= sup X. Т.к. имеются точки χ 0, т.е.  χ >0, то Sup X>0, т.е. R>0. Пусть х<R, тогда х меньшее чем Sup X не может быть верхней границей мн-ва Х и потому найдется  χ Х такой, что  χ >x. Из сход-ти (2) в точке χ по т-ме Абеля следует абсолютная сход-ть ряда в точке х. Таким образом ряд (2) абсолютно сходится на ]-R,R[. В частности если R=+, то на ]-,+[. Пусть R<+, т.е. R-конечное число, тогда если х>R, то х не может быть точкой сход-ти,

Число R наз-ся радиусом сход-ти степенного ряда (2), ]-R,R[ -интервалом сходимости.

Замечание.

Для степенного ряда (1) интервалом сход-ти явл-ся ]a-R,a+R[.

Если для ]-R,R[  -R<  <R, т.е. -R<x-a<R  a-R< x <a+R

27. Ряд Тейлора. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора

Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестноститочки a. Формальный ряд:называется рядом Тейлора функции f в точке a.

Это равенство выолняется(ряд Тэйлора сходится в окрестнн. Точки a ) если оствток ряда равен: . Если функция f(x)бесконечно диференцир. В интервале (a-h,a+h) и ее производные равеомерно огранич.в интервале ,т.е существ. Такое пложит. число C (не зависещ. от т),что:при всехx из интерв.(a-h,a+h), то верно равенство во всм интервале (a-h,a+h).Формула (1) в частном случае при (a=0) определяет раздожене в ряд Маклорена:

Основные разложения в ряд Тейлора:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

28. Нули аналитических функций. И их классификация.

Пусть функция f (z) является аналитической в точке Точканазывается нулем функции f (z), если ее значение в этой точке равно нулю, т.е. f () = 0.

В разложении функции в ряд Тейлора в окрестности нуля этой функции (т. ) отсутствует свободный член:= f() = 0.

Если при этом в разложении отсутствуют и слагаемые, содержащие степени разности (z-) до n-ой степени, т.е. разложение имеет вид:или f(z)=Cn(z-)n+Cn+1(z-)n+1+…, Cn≠0 то точканазывается нулем порядка n функции f(z).

Нуль первого порядка (n = 1) называется простым нулем.

Следующие условия являются необходимым и достаточным условиями нуля порядка n функции f (z) в точке z0:

a). f(n)() ≠0, f(k)()=0, k=0,1,… ,(n-1);

b). f(z)=(z-)n*ψ(z), ψ()=Cn ≠0 представление функции в виде произведения:

Порядок нуля в точке функции, полученной в результате перемножения аналитических функций

f (z) = f1(z) f2(z) равен сумме порядков нуля (n1 + n2) в этой точке функций сомножителей

( n1 - порядок нуля в точке функции f1(z), n2 - порядок нуля в точкефункции f2(z) ).