35.Классификац.Ур. Матфизики.

F(x₁,…x_n,u,……)=0(1);m₁+m₂+…+m_n=m; Ур(1) связывающее искомую функцию и, независимые переменные х₁...х_п и частные производные искомой функции по этим независимым пере­менным, называется дифференциальным уравнением в частных произ­водных. Здесь F— известная функция своих аргументов. Наивысший порядок частных производных, входящих в уравне­ние (1), называется порядком этого уравнения. Решением уравнения (1) в некоторой области D называется любая функция u=u(x_1…x_n), необходимое число раз дифференцируемая и обращающая его в тождество. (1)—линейное, если неизвестн. ф-я и ее частные производные входят в него линейным образом. Линейн. ур. 2-го порядка с постоянн.коэффиц. имеет вид: ++a₀u=f(2),a_ki, a_k ,a₀R; a_ki=a_ik; Рассмотрим (2) u=u(x,y); a₁₁+2a₁₂+a₂₂+a₁+a₂+a₀u=f(x,y)(3) ; a_{11 ,} a_12, a₂₂, a₂, a₁, a₀R, f(x,y)-заданная ф-я, ур(3) соответсвует квадратичн. форма: (z₁,z₂)=a_{11 (}z₁)²+ 2a₁₂z₁z₂+a₂₂₍z₂)²(4)где a₁₂=a₂₁ ур (3)класисифицир. от собственн. значений ,матрицы А. Классификация:1)ур (3)-ур эллиптического типа, если*>0. 2)ур(3)- ур гиперболического типа, если*<0. 3)ур(3)- ур параболического типа. если*=0.= a_{11 * a22} –(a₁₂)²= *,то: 1)*= a_{11 *} a₂₂ –(a₁₂)²>0 (3)элептический вид, применим линейную замену переменных ;=,получим:+=f(,,)2)Если *= a_{11 *} a₂₂ –(a₁₂)²<0 (3)сводится к -a= f(,,);a²=->0 3)a_{11 *} a₂₂ –(a₁₂)²=0,=f(,,);=f(,,).При этом ур. - =f(,y,u,,)либо = f(,y,u,,)-канонич.ур. гиперболич.типа. = f(,y,u,,)-канонич.ур. гиперболич.типа. + =f(,y,u,,)-канонич.ур. элиптич.типа.

36.Приведение ур. к кононическому виду можно осуществить либо при помощи преобраз. Квадрат. Формы Q()=+2+(1) к ортогональн. виду, либо при помощи нелинейной замены переменных с помощью характеристик. Для этого сост. харак. ур.-2dxdy+(2)-ур. Характеристик,распадается на 2 ур.=() (3),=() (4). Пусть+2+++(5)-ур. гиперболич. типа0;0A=, где=

-0Д>0 и (2) имеет 2 действит. корня ур. харак. зад. 2-мя интегралами:u(x,y)=;(x,y)=, в этом случае в (5) делают замену переем. ξ=(x,y); η=(x,y) котор. приводит (5) к кононич. виду. Если (5) –параболического типа -=0, Д=0, ур. характ.F(,u,……интегр.u(x,y)=C.

Замена: ξ=(x,y); η=(x,y), где (x,y)- некот. произв. ф-ция,для которой 0, затем (5) прив. к конон. виду , если (5)-элиптич. типа0⇒Д0 (2)имеет комплекс. ур. характер. (x,y)(x,y)=,,-действит. ф-ции.=(x,y); η=(x,y) (5) прив. к канон. виду. Дополнит. условия: 1. начальные u(x,t)=0, (f(x)); (x,t)=0(g(x));2.граничные(краевые) u(x,t),s=Д

37-1.Ур-ние колебания струны,теплопроводности.Струна длиной натянута с силойи находиться в прямолин. положении равновесия в момент врем.t=0.Точкам струны сообщ. начальн. скорость и отклонение. Выведем ур-ние малых поперечных колебаний струны при t>0,если концы струны:a)закреплены жёстка,б)свободно, в)закреплены упруго,г)двигаються в поперечном направлении по заданным законам .Пусть Ох совпадает с направл. струны в положении равновесия. Силы натяжения и силы инерции направлены по оси Оу. dx.Значит удлинение участков струны не происходит, след. по з.Гука сила натяжения не зависит от времени ни отx.=(x,t). Пустьp(x,t)-непрерыв. линейная плотность внешних сил, тогда на участок АВ вдоль Оу действует сила p(x,t).Момент инерции:-m ,m-масса участка;m=,-–проекция всех сил на ось Оy.

+p(x,t)-=0-ур-ние вынужденных колебаний струны. Если=соst,то =+f(x,t),где =,

f(x,t)=-. Кроме того ф-ция удовлетворяет начальн. условиямa)y=0;y=0;б)=0;=0; в)()=0; ()=0,h=,k-коэф. упругости;г) y=(t); y=(t).(t),(t)-определяют закон движения концов струны.

37-2.

Ур-ние теплопроводности.Рассмотрим в пространстве , декартов системы координат,твёрдое телоV и пусть температура этого тела в любой точке этого тела в момент t опред. U(x,y,z,t),тогда производные ,,характер. скорость изменения температ. в момент времениt в направлении осей ,,.Предпологаем, что тепл.cв-ва тела V не зависят от направления.-коэф. теплопроводности-const;C-удельная теплоёмкость—const. Кол-во теплоты проход. через переднюю грань кубика в положении оси Оx за время равно,через заднюю граньt . Тогда=;=;=; тогда общее кол-во теплоты=().C другой стороны кол-во теплоты равно произвед С и -скорость измен. времени.=(2),=,=.Ур-ние (2) получ. при условии,что внутри тела отсутствуют тепловые источники.Если плотность тепловых источников равнаF(x,y,z,t) то ур-ние (2) примет вид =+f(x,y,z,t)(3). Граничные условия для ур-ния (2-3) могут быть заданы в виде: 1)U =f(s,t) значение U на границе s-области, где f(s,t) –неизвест. ф-ция своих аргументов s-площадь поверх. этого тела. ?2)=F(s,t) ,u(x,y,z,t)=-некот. извест. ф-ция.=-ур-ние диффузии ; Ф(x,t)-концентрация раст-ра

=T()+P(x,y,t)-ур-ние поперечных колебаний мембраны,-плотность,Т-сила натяжения,P(x,y,t)-внешняя сила.

38.Метод реш. ур-ний мат. физики.Метод Д'Аламбера для колебаний струны.=(1),-<x<,t>0

начальн.условия U(x,0)=f(x) (2);(x,0)=F(x)(3). Найдём для (1) ур-ние характеристик -=0,dxadt=0,

x+at=,x-at=.В (1) выполним замену=x+at,η=x-at.=0.Решением этого ур-ния будет ф-цияu(,η)=()+(η)

, где -производ. Дважды непрерыв. диф ф-ции.Из начальн. условийu(x,0)=f(x)=()+(x) (*), (x,0)=a(x)- a(x) из (3) следует a(x)- a(x)=F(x). Значит a- a=dt (**).(*)и(**) относительно ф-ции и, получ. что

Искомое решение ур-ния (1) имеет вид u(x,t)=+dz(4) ф-ла Д’Аламбера для бесконечной струны.

39.Метод Фурье решение волнового ур-ния.Задача Штурма-Лиувилля.Рассмотрим задачу колеб. Конечной струны закреплённой в точках x=0,x=, состоящ. В решении ур-ния=(1) -<x<,t>0 при начальных условиях u(x,0)=f(x);(x,0)=F(x)(2) и граничных условиях u(0,t)=u(l,t)=0 (3). Решение (1) ищется в виде u(x,t)=X(x)T(t) (4), где X(x)0,T(t)0 дважды диф. ф-ции. Подставим (4) в (1)X(x)(t)=(x)T(t). ==-λ=const,зн. Что -constпри xи -constдля t0.Получаем сист. обыкн. диф. ур-ний )+T(t)=0 и )+X(x)=0 (5).

Из (6) получаем X(0)T(t)=0; X(𝑙)T(t)=0,T(t)≢0X(0)=X()=0, тогда ф-цияX явл. Решением задачи )+λX(x)=0,X(0)=X(𝑙) (6)-(краевая задача)задача Штурма-Лиувилля, λ-собственн. знач. этой ф-ции. X(x)-собст. ф-ция. +λ=0,=,если=,гдеn-натур. число, то ненулев. решение (6) будут (x)=sin x, где n-натур. число. (7) λ =, тогда общее решение(t)=cos+sin; ,- константы. Согласно (4)(x,t)=(x)(t) будет частичным решением ур-нием (1). А общее решение u(x,t)==(8),=,=; из нач. условий (2) следует

u(x,0)==f(x); ==F(x); из (8) =dx; =dx; (9), Подставив (9) в (8), получим решение (1) удовл. услов. (2) и (3)

40.Решение задачи Дирихре для ур-ния Лапласа в круге методом Фурье. Ур-ние теплопровод. в стационар. случае имеет вид ++=0 (1 ) однород. ур-ние Лапласа;u=0 –оператор. форма. Для задач относящихся к плоским фигурам ур-ние имеет вид +=0 (2); Задача Дирихле для ур. Лапласа состоит в том, чтобы найти ф-циюu=u(x,y) удовлет. (2) и гранич. услов.: u=f(x,y) (3). Введём поляр. сист. координат: x=cos,y=sin, 0, 0тогда (2) запишеться в виде()+=0 (4) гдеũ()=u(cossin). Решение (4) ищем ũ()=R()Ф(). Подставляем посл. равенство в (4) получим+λФ=0; Ф≢0 и()-λR=0,R≢0 тогда ф-ция ()=cos+sin- общее решение диф. ур-ния относит. Ф(), где А и Вconst, ф-ция ũ() явл. ф-ция 2-период. То=n, n=0,1,2… следовательно ()=cos+sin. Диф ур-ния относ. ф-ции R() имеет общее решение вида()=+, где-const. Так как ũ() удовлет. ур. Лапласа следова. явл. гармонич. и непрерыв. в круге 0, 0. Согласно теореме Вейерштрасса эта ф-ция ограничена в круге , зн. Необходимо полож. Что=0, дляn=0,1,2…. Значит част. реш. ур-ния (4) задачи Дирихре для круга явл. ф-ция ()=(cos+sin)=(cos+sin). ũ()=+(5) –общее решение.Чтобы опред. коэф.,использ. нач. условиеũ=f̃()=f̃(.Тогда решение задачи Дирихле :ũ()=гдеz=

41.Метод сеток для решения ур-ний математической физики: задача решения диф. ур-ния в частных производных с непрерывной обл. изменению аргументов и краевыми условиями подменяем другой задачей, вместо непрер. обл. изменения аргументов рассматривается дискретная обл. Решен. ур. с двумя переменными: будем считать x,y декартов. ортогон. координ. точки на плоскости.Покроем эту плоскость сеткой x=mh, y=nh; m,n=0,, гдеh-заданное положит. число. Узел-вершина каждого квадрата полученной сетки, шаг-число h. В каждом узле (x,y) при условии, что все шесть точек (x,y),(x-h,y),(x+h,y),(x,y-h),(x,y+h),(x+h,y+h)облD ф-ции u(x,y), дважды непрер. диф. в D. ,,;

; ; a(x,y)+2b(x,y)+ c(x,y)+d(x,y)+l(x,y)+f(x,y)u=g(x,y).Решение ур. теплопров. методом сеток:=(1),u=u(x,y)-искомая ф-ция определяет распределение температуры в люб. точке x стержня длиной l в люб. момент времени t. Начальн. условия u(x,0)=f(x), краевые условия u(0,t)=,u(l,t)=(t); f(x),-непрерыв. ф-ции. Сист. координатOxt и в области 0xl, t. =mh, =n, =u(). Аппроксимируем ур. (1)L(u)=--=0(2) конечно-разностным=, преобазуем=+(1-2)+(3) , где=,-положит. числов. множитель.L(u)-(u)=R(u)(4)-ошибка аппроксимации ,выберем =,L͞(u)=+O() (5), подставимв (3)

=(6)()=()=sin

конечно-разностная схема будет устойчивой при любых если ф-цияw() останетс ограниченной приt,достаточно , чтобы при всех k выполн. Неравенство |1-4|1, 0–определяет достаточное условие устойчивости.