40. Теорема Лагранжа
Теорема
8. Если функция f(x) непрерывна на отрезке
[a; b] и дифференцируема на интервале (a;
b), то существует по крайней мере одна
точка ξ ∈ (a; b), такая, что f(b) − f(a) = f’(ξ)(b
− a). Доказательство. Составим
вспомогательную функцию
(x)
= (b
− a)f(x)
–(f(b)
−f(a))x.
Покажем, что функция
(x)
удовлетворяет условиям теоремы Ролля.
Действительно: 1)
(x)
непрерывна на [a;
b],
так как является суммой непрерывных на
[a;
b]
функций; 2)
(x)
дифференцируема на (a;
b),
так как является суммой дифференцируемых
на (a;
b)
функций; 3)
(a)
=
(b)
= bf(a)
− af(b).
Итак,
(x)
удовлетворяет условиям теоремы Ролля,
причем
‘(x)
= (b
− a)f
‘(x)
– (f(b)
− f(a)
). По теореме Ролля существует точка ξ
∈ (a;
b),
такая, что
‘(ξ)
= 0, т.е. (b
− a)f’(ξ)
–(f(b)
− f(a))=
0 ⇔ f(b)
− f(a)
= f’(ξ)(b
− a).
41 Теорема Коши. Обобщением теоремы Лагранжа является теорема Коши.
Теорема
9. Пусть функции f(x) и g(x) удовлетворяют
следующим условиям:
1) непрерывны на
отрезке [a; b];
2) дифференцируемы в интервале (a;
b), причем g‘(x)
0, ∀x ∈ (a; b). Тогда существует по крайней
мере одна точка ξ ∈ (a; b) такая, что
Доказательство.
Составим вспомогательную функцию
Заметим,
что g(b)
g(a). Действительно, если бы g(b) = g(a), то для
функции g(x) на отрезке [a; b] были бы
выполнены все условия теоремы Ролля, и
по этой теореме внутри отрезка [a; b]
нашлась бы по крайней мере одна точка
ξ, для которой g’(ξ) = 0, что противоречит
условию теоремы. Следовательно
g(b)
g(a).
Покажем,
что вспомогательная функция
(x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля.
действительно: 1)
(x) непрерывна на [a; b] как сумма непрерывных
на [a; b] функций; 2)
(x) дифференцируема на интервале (a; b) как
сумма дифференцируемых на (a; b) функций;
3)
(a) = 0,
(b) = 0 поэтому и
(a) =
(b). Найдем
По
теореме Ролля существует точка ξ ∈ (a;
b) такая, что
(ξ) = 0, поэтому
42-43 Раскрытие неопределенностей. Остановимся на одном частном, но полезном приеме отыскания предела отношения функций, известном как правило Лопиталя.
Теорема 10 (Неопределенность вида 0/0 ). Пусть:
1)
функции f(x) и g(x) определены в промежутке
(a; b]; 
3)
в промежутке (a;
b]
существуют конечные производные f’(x)
и g’(x),
причем g’(x)
0; 4) существует (конечный
или бесконечный) предел
Доказательство. Дополним определения
функций f(x) и g(x), положив их при x = a равными
нулю: f(a) = g(a) = 0. Тогда эти функции окажутся
непрерывными во всем замкнутом промежутке
[a; b]; их значения в точке a совпадают с
пределами при x → a, а в прочих точках
непрерывность вытекает из существования
конечных производных. Применяя теорему
Коши, получим
где
a < c < x. То обстоятельство, что g(x)
0, т.е. g(x)
g(a) есть следствие предложения g’(x) = 0.
Когда x → a, очевидно, и c → a, так что, в
силу условия 4)
Теорема
11 (Неопределенность вида ∞/∞). Пусть:
1) функции f(x)
и g(x)
определены в промежутке (a;
b];
3)
существуют в промежутке (a; b] конечные
производные f’(x) и g’(x), причем g’(x)
0;
4)
существует (конечный или бесконечный)
предел
